次ぎの問題は基本的な電力伝送回路に配線抵抗が加わったもの。



計算は負荷で消費される電力量を求めるもの。

電源が内部抵抗rで起電力Eの電池をm個直列に接続してあり、負荷は抵抗Rがn個並列に接続されている。この回路の全体を流れる電流は回路図から。

I=(m*E)/(m*r+R0+R/n)

となる。

従って負荷で消費される電力は

P=I^2*(R/n)=((m*E)/(m*r+R0+R/n))^2*(R/n)

ということになる。

次ぎの問題は以前にあった電力伝送とマッチングの問題の電源側バージョン。内部抵抗rで起電力Eの電池をm個直列接続したものをn並列してマッチングを最大にする条件(m,n)を求めるもの。




回路から負荷に流れる電流は

I=(m*E)/(m*r/n+RL)

N=m*n

なのでnを置き換えると

I=(m*E)/(m^2*r/N+RL)

分母と分子をmで割って

I=E/(m*r/N+RL/m)

負荷電力が最大になるためには電流が最大になる必要があり、上の式の分母が最小になるmを求めれば良い。

上の式の分母をmで微分すると

(%i3) diff(m*r/N+RL/m,m);
(%o3) r/N-RL/m^2

従って微分係数が0となる点が電流を最大値にするので

r/N-RL/m^2=0

となるmを求めると

(%i4) solve(r/N-RL/m^2=0,m);
(%o4) [m=-sqrt((N*RL)/r),m=sqrt((N*RL)/r)]

従って

m=sqrt((N*RL)/r)

なので

n=N/m=N/sqrt((N*RL)/r)

一見すると著者の解と違うが

(%i12) radcan(%);
(%o12) (sqrt(r)*sqrt(N))/sqrt(RL)

こうすると同じ形になる。

m,nを電流の式に代入して負荷電力を求めると

P=I^2*RL=(E*sqrt((N*RL)/r))/((sqrt(r)*sqrt(RL)*sqrt((N*RL)/r))/sqrt(N)+RL)^2*RL
=((E*sqrt(N))/(2*sqrt(r)*sqrt(RL)))^2*RL

(%i25) ((E*sqrt(N))/(2*sqrt(r)*sqrt(RL)))^2*RL;
(%o25) (E^2*N)/(4*r)

となり著者と同じ結果が得られる。

今度はカロリーと電力の関係の問題。

15℃の水200リットルを電熱器で30分加熱して40℃にするのに必要な電力を求めよというもの。正し電力の70%が水を温めるのに使用されるとする。

言い換えれば、３０分間の発熱量の70%で水を所定の温度まで温めることができる電熱器の総電力量を求めよという意味。

電熱器の総電力量をPとし、30分で水を所定の温度に温めるのに必要な電力量をP0とすると

P0=P*0.7/2

という関係になる。

また容量Lリットルの水をt℃上昇させるのに必要な電力量P0は

P0=L*t/860

従ってこれらの２つの式から

P*0.7/2=L*t/860

∴P=L*t*2/(860*0.7)

L=200,t=40-15=25

を代入すると

P=200*25*2/(860*0.7)

(%i1) P=200*25*2/(860*0.7);
(%o1) P=16.61129568106312

必要な電熱器は16.6kWhということになる。

熱量と電力量の単位の関係がいまいち曖昧だ。

1ジュールは秒当たりのW数。従って1時間分の秒数を乗じればWhとなる。
1カロリーは1gの水を1℃暖めるのに必要な熱量で、1リットルの水であれば1kカロリーとなる。カロリーとJとkWhはそれぞれ変換できる。1kWh=3600kJ=860kカロリー。３０分は１時間の半分なので１時間換算の半分である。単位や次元も注意しないとややこしい。

次ぎの問題は熱量に関係するが、更に比熱と融点というのがからんでくる。



半径rの導体に電流Iを流した時に導体が溶けるまでの時間を求めるというもの。フューズの問題だと思った方がぴったりかもしれない。

導体が溶解する温度（融点）まで導体が加熱されるために要する熱量を計算し、１秒当たりの発熱量で割れば溶融までの時間が出るはずである。

溶融する温度はθで与えられている。初期状態の温度を室温θ0と同じにおくと導体をθ-θ0℃だけ上昇させる必要がある。水の場合にはカロリーという簡単な単位があったが、導体の場合はいろいろ金属の種類によって熱し易さが違う。一定の質量の金属を一定温度上昇させるのに要する熱量をその質量と温度で割った値が比熱という単位である。比熱が高ければ同じ質量でも同じ温度まで熱するのに要する熱量を多く必要とすることを意味し、熱し難いと言える。

問題では更に物質の密度dが指定されている。質量を体積で割った値が密度である。これは与えられた半径と長さで示される導体の円柱の体積から質量を求めるのに用いることができる。

導体に流れる電流Iと導体の抵抗がわかれば発熱量がわかる。問題では抵抗値は与えられていないが抵抗率ρが与えられているので同じように導体の断面積と長さから抵抗値を計算することができる。

ここで注意しなければいけないのは比熱は発熱量を質量と温度で割ったものだが、元の発熱量の単位にはジュールとカロリーの２種類がある。そのどちらを扱うかによって計算式は変わってします。著者の解答例を見るとどうやらカロリーを元にしているようである。

そうすると電流と抵抗から計算される熱量はジュールなので式の上では熱量の単位を共通にするための変換を適宜行う必要がある。

まず溶融までに要する時間をtとするとそれまでの間に導体で発生する発熱量Pをカロリー換算で表すと

P=0.24*I^2*ρ*L*t/(%pi*r^2)

ということになる。0.24は1ジュールに対するカロリーの比である。

次ぎに導体が融点まで達するのに必要な熱量（カロリー）P0は

P0=%pi*r^2*L*d*c*(θ-θ0)

で表すことができる。

P=P0なので

%pi*r^2*L*d*c*(θ-θ0)=0.24*I^2*ρ*L*t/(%pi*r^2)

従って時間tは

t=%pi*r^2*L*d*c*(θ-θ0)*(%pi*r^2)/(0.24*I^2*ρ*L)
=(4.166666666666667*%pi^2*c*d*r^4*(θ-θ0))/(ρ*I^2)

ということになる。Lが相殺されて無関係になっている。

フューズの場合電流値に影響を与えない程度抵抗値が低ければヒューズが切れるまでに要する時間にはフューズ自体の長さに無関係だということだけはわかる。

次ぎは前の問題の続きである。前問で導体が溶融するまでに要する時間を求める式を導いたが、今度はその時の温度上昇速度を導けというもの。

室温θ0から融点θまで時間tで直線的に上昇するものとみなせば、前の式より

(θ-θ0)/t=0.24*I^2*ρ*L/(%pi*r^2)*(%pi*r^2*L*d*c)
=0.24*I^2*ρ/(%pi^2*r^4*d*c)

ということになる。

次ぎは温度係数を扱う問題。少しひねってある。互いに異なる温度係数α1,α2を持つ抵抗R1,R2を直列に接続した場合、合成された抵抗の温度係数を導けというもの。



まず温度係数の定義を思い出す必要がある。温度係数は微少な温度変化に比例した抵抗値の微少な変化の割合である。

R1とR2を直列に接続した合成抵抗Rtの温度係数をαとすると

Rt=(R1+R2)*(1+αΔt)

と表すことができる。

一方で合成抵抗はR1,R2それぞれの温度係数α1,α2から

Rt=R1*(1+α1*Δt)+R2*(1+α2*Δt)

であるので２つの式は等しいことから

(R1+R2)*(1+αΔt)=R1*(1+α*Δt)+R2*(1+α*Δt)

これをαについて解くと

(%i2) solve((R1+R2)*(1+a*t)=R1*(1+a1*t)+R2*(1+a2*t),ro);
(%o2) [a=(a2*R2+a1*R1)/(R2+R1)]

ということで

α=(α2*R2+α1*R1)/(R2+R1)

ということで著者の解と同じ結果が得られた。

この式から温度係数がプラスとマイナスの抵抗を直列に接続すればその温度係数が予めわかれば抵抗値を調整すれば合成温度係数を0にすることも可能であるのがわかる。現実には温度係数はすべての温度範囲で一定ではないので広い範囲で温度係数を0とすることはできないが減らすことは可能である。

次ぎの問題は温度係数を応用した温度計が可能であることを示す問題。



問題文は導体の抵抗値を測定することによって導体の温度を測定できることを示せとだけある。

予め温度係数がαである温度t0における抵抗値がR0だということがわかっている導体がt1になった時に抵抗値R1へ変化したとするとその時のR1は以下の関係式で近似することができる。

R1=R0*(1+α*(t1-t0))

従ってt1を求めるには上の式をt1に付いて解けば

(%i3) solve(R1=R0*(1+a*(t1-t0)),t1);
(%o3) [t1=(R1+(a*t0-1)*R0)/(a*R0)]

(%i5) factor(%);
(%o5) [t1=(R1+a*t0*R0-R0)/(a*R0)]

となり、予め一定の温度(t0)での抵抗値(R0)と温度係数(α)がわかっていれば、現在の抵抗値(R1)を測定すれば現在の温度(t1)を近似的に求めることができる。

著者の解にまたしても誤植があることを発見。

R2の式で説明に出て来ないα1とかいう温度係数が使われているがその後の式でこれはα0の誤植であることが明白である。

次ぎの問題も温度係数に関するもの。



導線の抵抗値が温度とともに直線的に増加するものとした場合に温度t1での温度係数α1が与えられて居るときに温度t2での温度係数α2を導けというもの。

ちょっとグラフを書いてみると狐につままれたような感じもしないでもない。温度にともなって直線的に抵抗値が増加するのであればそのカーブは直線になるはず。するとどこでも温度係数は同じじゃないかと思えてしまう。

著者の解法を見るとやはり狐につままれたような感じがする。


グラフの温度係数の関係式から

R3=R1*(1+α1*(t3-t1))=R2*(1+α2*(t3-t2))

また

R2=R1*(1+α1*(t2-t1))

をR3の式に代入すると

R1*(1+α1*(t3-t1))=R1*(1+α1*(t2-t1))*(1+α2*(t3-t2))

R1は共通項なので相殺され

(1+α1*(t3-t1))=(1+α1*(t2-t1))*(1+α2*(t3-t2))

右辺を展開すると

1+α1*(t3-t1)=1+α1*(t2-t1)+α2*(t3-t2)+α1*α2*(t2-t1)*(t3-t2)

両辺の同値を相殺すると

α1*(t3-t2)=α2*(t3-t2)+α1*α2*(t2-t1)*(t3-t2)

両辺を(t3-t2)で割ると

α1=α2+α1*α2*(t2-t1)=α2*(1+α1*(t2-t1))

従って

α2=α1/(1+α1*(t2-t1))

t2=t1ならα2=α1である。

t2>t1の時に温度係数は低下、t2<t1の時は増加するという意味になる。

やはり狐につままれた感じだ。

著者は単に温度係数としているが、検索してみると抵抗率温度係数と抵抗温度係数の２つの定義がある。

抵抗率温度係数は文字通り抵抗率の温度に対する変化率である。

抵抗温度係数が著者の言う温度係数に該当し、抵抗値の温度に対する変化率である。

温度係数の測定に使う式にはまた別のものもあったりして混乱する。

謎が判明した。

姉妹本の「詳解　電磁気学演習」の第５章　定常電流の解説と演習問題がほとんど同じ内容に見えるが実は微妙に違っている。

というのも姉妹本の方では温度係数は電気回路演習の解説とは違って抵抗率の温度係数として説明されている。しかも演習問題も問題７４と文章が一部違うだけでほぼ同じものである。

しかし重要な点が違っていた。

電磁気学演習にある電気回路演習の問題７４とそっくりの問題の文面はこうである

「抵抗率が温度に対して直線的に増加し、t1℃での温度係数がα1のとき、t2℃での温度係数α2を求めよ。」

それに対して電気回路演習のは

「t1℃のときの温度係数α1なる導線の抵抗値が、温度とともに直線的に増加するとき、t2℃での温度係数α2を求めよ」

明らかに電気回路演習の方は抵抗温度係数として書かれている。

抵抗温度係数はよくTCR(Temperature Coefficient ofResistance)という略語がデータシートとかでは使われる。