引用：

ありがとうございます。数学公式集とかこの教科書のこの次ぎの問題あたりから連立方程式の解を行列式と決まってますね。

学生の頃に教わったはずですが社会に出てから実務で使う機会が無かったので行列式は面倒だというのだけが頭から離れません。

本当は複雑な連立方程式を簡単に解けるのでしょうけど。

食わず嫌いせずにいろいろ試してみようと思います。

だいぶまた間があいてしまったが、再開。

今度は簡単なアッテネーター。内部抵抗がrの電圧計にかかる電圧を入力電圧Eの1/nにするような直列抵抗R2を決定し、更に入力から見た合成抵抗が電圧計の内部抵抗と同じになるように並列抵抗R1を決定する。



合成抵抗を求めると

1/(1/R1 + 1/(R2 + r)) = r

という式が成り立つ。

整理すると

R1・(R2 + r)/(R1 + R2 + r) = r

分母を両辺にかけると

R1・(R2 + r) = r・(R1 + R2 + r)

R1・rの項が両辺で相殺され

R1・R2 = r・(R2 + r)

従って

R1 = r・(R2 + r)/R2 = r・(1 + r/R2)

ということになる。この時点でまだR2は未知数なので次ぎにR2を求めることになる。

R2とrを流れる電流は等しいことから

(E - E/n)/R2 = (E/n)/r

従って

R2 = (E - E/n)・r/(E/n) = (1 - 1/n)・r/(1/n) = (n - 1)・r

これを先のR1の式に代入すると

R1 = r・(1 + r/((n -1)・r)) = r・(1 + 1/(n - 1)) = r・n/(n - 1)

が得られる。

問題２９は、よくオーディオアンプの入力部にあるボリュームコントロール用の可変抵抗器による簡易アッテネーター回路。



問題は可変抵抗器のタップを1/nにした時の出力負荷抵抗RLの両端の出力電圧(EL)と入力電圧(E)の比率を求めるというもの。

ELは抵抗分圧でEとの関係が求められる。

EL = E・(RLとR-R/nの合成抵抗値）/(回路全体の合成抵抗値）

従ってELとEの比率は

EL/E = (RLとR-R/nの合成抵抗値）/(R/n + RLとR-R/nの合成抵抗値)
= 1/(R/n/(RLとR-R/nの合成抵抗値) + 1)

として導くことができる。

RLとR-R/nの合成抵抗値は

1/(1/RL + 1/(R - R/n))
= 1/(1/RL + 1/R・(1 - 1/n))
= 1/(1/RL + n/R・(n - 1))
= 1/((R・(n - 1) + n・RL)/(RL・R・(n - 1)))
= RL・R・(n - 1)/(R・(n - 1) + n・RL)

従って

EL/E = 1/(R/n/(RL・R・(n - 1)/(R・(n - 1) + n・RL)) + 1)
= 1/(R・(R・(n - 1) + n・RL)/n・(RL・R・(n - 1)) + 1)
= n・(RL・R・(n - 1)/(R・(R・(n - 1) + n・RL) + n・(RL・R・(n - 1)))
= n・RL・(n - 1)/(R・(n - 1) + n・RL + n・n・RL - n・RL)
= n・RL・(n - 1)/(R・(n - 1) + n・n・RL)

ホィットストーンブリッジ回路がバランスしている条件での抵抗値の関係は簡単に求めることができるが、バランスしていない時に検流計（ガルバノメーター）に流れる電流を求めるのはブリッジ回路の解析結果の一般解を得るということになる。



解き方としては他の回路解析の問題のようにn元一次の連立方程式をたてればよい。キルヒホッフの法則に基づいた枝電流法や網目電流法を使用するのは一緒。著者の解では網目電流法を使って３元連立一次方程式を立て、それを数学公式集に必ず載っているn元一次連立方程式の一般解の公式（行列式で表現したもの）で解を得ているが、消去法でも煩雑だが同じ結果が得られるはず。

連立方程式はたてたが、展開すると式が大変なことになってしまって因数分解がまた大変なことに。

著者の解では行列式を展開した式をいとも簡単に因数分解して結果を得ているが、そんな簡単にはいかない。

消去法では限界が出てきたので連立方程式を解くのに以前紹介されたMaximaを使ってみることに。

まず連立方程式をたてる。R1を流れる電流をI1,検流計(Rg)を流れる電流をIgとして全体を流れる電流をIとした場合、キルヒホッフの法則から以下が成り立つ。

E = I1*R1 + (I1 - Ig)*R2
E = (I - I1)*R3 + (I - I1 + Ig)*R4
E = I1*R1 + Ig*Rg + (I - I1 + Ig)*R4
E = (I - I1)*R3 - Ig*Rg + (I1 - Ig)*R2

この４つの式をMaximaに与えI,I1,Igを一気に解いてみる。

(%i34) e1: E=I1*R1+(I1-Ig)*R2;
(%o34) E=(I1-Ig)*R2+I1*R1
(%i35) e2: E=(I-I1)*R3+(I-I1+Ig)*R4;
(%o35) E=(-I1+I+Ig)*R4+(I-I1)*R3
(%i36) e3: E=I1*R1+Ig*Rg+(I-I1+Ig)*R4;
(%o36) E=(-I1+I+Ig)*R4+I1*R1+Ig*Rg
(%i37) e4: E=(I-I1)*R3-Ig*Rg+(I1-Ig)*R2;
(%o37) E=(I-I1)*R3+(I1-Ig)*R2-Ig*Rg
(%i38) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,Ig]);
Dependent equations eliminated: (2)
(%o38) [[I=(E*((R3+Rg)*R4+Rg*R3)+E*R1*(R4+Rg)+R2*(E*(R3+Rg)+E*R1))/(R2*(R1*(R4+R3)+(R3+Rg)*R4+Rg*R3)+R1*((R3+Rg)*R4+Rg*R3)),I1=
(E*((R3+Rg)*R4+Rg*R3)+E*R2*R3)/(R2*(R1*(R4+R3)+(R3+Rg)*R4+Rg*R3)+R1*((R3+Rg)*R4+Rg*R3)),Ig=
(E*R2*R3-E*R1*R4)/(R2*(R1*(R4+R3)+(R3+Rg)*R4+Rg*R3)+R1*((R3+Rg)*R4+Rg*R3))]]

著者の解と分母の記述が異なる。著者の解は綺麗にRgの共通項が因数分解されて見やすいがMaximaで自動で因数分解すると分子は因数分解されるが分母は逆に展開され、おまけに負号が付いてしまっている。

factor(%);
(%o39) [[I=(E*(R3*R4+R1*R4+Rg*R4+R2*R3+Rg*R3+R1*R2+Rg*R2+Rg*R1))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*R4+Rg*R2*R4+Rg*R1*R4+R1*R2*R3+Rg*R2*R3+Rg*R1*R3),I1=
(E*(R3*R4+Rg*R4+R2*R3+Rg*R3))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*R4+Rg*R2*R4+Rg*R1*R4+R1*R2*R3+Rg*R2*R3+Rg*R1*R3),Ig=-
(E*(R1*R4-R2*R3))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*R4+Rg*R2*R4+Rg*R1*R4+R1*R2*R3+Rg*R2*R3+Rg*R1*R3)]]

これをRg, R1*R2, R3*R4の共通項を手で因数分解すると

Ig = (R2*R3 - R1*R4)*E/(R2*R3*R4 + R1*R3*R4 + R1*R2*R4 + R1*R2*R3 + Rg*(R2*R4 + R1*R4 +R2*R3 + R1*R3))
= (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))

と著者の解と同じ結果が得られていることがわかる。

ちなみに著者の解は網目電流法で３つの閉回路について方程式をたててそれを解いている。同様にMaximaでその方程式を解かせてみると、

(%i53) e1: (R1+R3+Rg)*I1+(R1+R3)*I2-R3*I3=0;
(%o53) I1*(R3+R1+Rg)+I2*(R3+R1)-I3*R3=0
(%i54) e2: (R1+R3)*I1+(R1+R2+R3+R4)*I2-(R3+R4)*I3=0;
(%o54) I2*(R4+R3+R2+R1)+I3*(-R4-R3)+I1*(R3+R1)=0
(%i55) e3: -R3*I1-(R3+R4)*I2+(R3+R4)*I3=E;
(%o55) I3*(R4+R3)-I2*(R4+R3)-I1*R3=E
(%i56) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,I3]);
(%o56) [[I1=(E*R2*R3-E*R1*R4)/(R3*(R1*(R4+R2+Rg)+R2*R4+Rg*R2)+R1*(R2*R4+Rg*R4)+Rg*R2*R4),I2=
(R3*(E*R4+Rg*E)+E*R1*R4+Rg*E*R4)/(R3*(R1*(R4+R2+Rg)+R2*R4+Rg*R2)+R1*(R2*R4+Rg*R4)+Rg*R2*R4),I3=
(R3*(E*R4+E*R2+Rg*E)+R1*(E*R4+E*R2+Rg*E)+Rg*(E*R4+E*R2))/(R3*(R1*(R4+R2+Rg)+R2*R4+Rg*R2)+R1*(R2*R4+Rg*R4)+Rg*R2*R4)]]

Ig=I1なので

Ig = I1 =(E*R2*R3-E*R1*R4)/(R3*(R1*(R4+R2+Rg)+R2*R4+Rg*R2)+R1*(R2*R4+Rg*R4)+Rg*R2*R4)

これも同様に手で因数分解すると

Ig = (R2*R3 - R1*R4)*E/(R3*R1*R4 + R3*R1*R2 + Rg*R3*R1 + R3*R2*R4 + Rg*R2*R3 + R1*R2*R4 + Rg*R4*R1 + Rg*R2*R4)
= (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))

とこれも著者の解と同じ結果が得られていることがわかる。

Maximaを使えば面倒な連立方程式を解くのも一瞬だし、行列式とかも扱う必要は無い。連立方程式はたてて、あと見やすいように手で因数分解して整理すればよい。

今回Maximaは以前本屋で見つけたブルーバックスの「はじめての数式処理ソフト」に付録で付いているCD-ROMからインストール。



かなりオススメ。

これでかなり後続の問題を解くのが楽しみに。著者の解答例だとすべからく連立方程式の解を行列式で解いている。行列式も今後当たり前に教科書に出てくるのでいずれ習得しないといけないが。慣れの問題である。今から行列式に慣れていれば後の回路解析理論についていけるとの配慮だろう。

数式処理システムも電卓のように瞬時に答えを出してくるので、出た答えはすべて正しいと信じてしまいがちだ。

そこに落とし穴があった。

最初教科書の著者の解答例の方程式を入力してMaximaで解いてみたが分子は合っていたが分母が似てるものの異なる式だった。

恥ずかしくも誤植の可能性を疑ってしまった。というのも著者の解答例の式の分母の式に最初一瞬検流計の内部抵抗Rgの要素が含まれてないように見誤ってしまったからだ。

まさか検流計に流れる電流を決める要素に検流計の内部抵抗値がまったく関係ないというのは明らかに怪しい。

そう思って記事を半分書きかけたところで思い直して与えた式を見直してみた。１文字間違えていた。

間違った式を与えてもMaximaはそれなりに方程式を強引に解いてしまう。解けてしまうというのもすごい。よく紙に書いて消去法で解いた時に途中に式転記する際に文字を書き間違えたり読み間違えたりした時の結果と一緒である。正しい解とは似てもにつかぬ式になってしまう。

コンピューターが出した答えだから一瞬正しいと錯覚してしまうのだが、入力を与えたのは人間なので誤りがつきものである。

数式処理システムで解を求めてしまうことの弊害としては、最終的な解の式に見られる美しさというか自然の法則の不思議さを感じる機会を逸するということがある。

著者の解は関心の高い要素を共通項として分母の式を因数分解しているが、数式処理システムは人間が一番関心のある変数が何かなどは気にもかけないので無頓着なまま式を表示してしまう。

実際にはおもしろい法則というか美しさみたいなものが式には発見できるのだが数式処理システムに任せっぱなしにするとそれを気づかずに通り過ぎてしまう。美しさを発見すればパターンがわかり、式を記憶にとどめることができる。それがいつの日か回路にある種の法則性を発見する時の直感力を養う。

数学も電気工学も共通して直感力というか美しいパターンの発見というのがかなり重要な要素を占めている。これは人間ならではの特権である。コンピューターに美が理解できる日は来るのだろうか？

問題３１は問題３０のおまけみたいなもの。

同じブリッジ回路で剣流計と電池を取り替えて接続した場合に、剣流計に流れる電流の逆数の差を求めるもの。

出題の意図がいまいちわからない。電流の逆数という概念も今まで登場してこなかっただけに何を意味するのか不明。電流値に反比例する尺度ってなんだ、電流の流れ難さ？　抵抗の逆数はコンダクタンスというのは出てきたけど。電流の逆数に電圧をかければ抵抗値になるという関係はある。

抵抗を２つだけ動かして剣流計と電池を入れ替えたのと同じ回路にしなさいという、マッチ棒クイズみたいにも見える。

実際に著者の解答はそうしたものだった。これも２つの回路の間の間違い探しみたいな、パターンの発見というか直感力を試すもので、回路解析とはとどのつまりそういうことだと言いたいのかもしれない。

まじめに解くと、問題３０の回路で剣流計と電池を交換した回路図を描いて、同じように剣流計に流れる電流の式を求めて、２つの回路のそれぞれの剣流計に流れる電流の逆数の差を求めれば良いことになる。

元の回路の剣流計に流れる電流Igは

Ig = (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))

同じ回路で剣流計と電池を取り替えた時に剣流計に流れる電流Ig'は、以下の方程式を解くことによって得られる。

E = I1*R1 + (I1 - Ig')*R3
E = (I - I1)*R2 + (I - I1 + Ig')*R4
E = I1*R1 + Ig'*Rg + (I - I1 + Ig')*R4

これを例によってMaximaを使って解くと

(%i1) e1: E=I1*R1 + (I1 - Ig)*R3;
(%o1) E=(I1-Ig)*R3+I1*R1
(%i2) e2: E=(I - I1)*R2 + (I-I1+Ig)*R4;
(%o2) E=(-I1+I+Ig)*R4+(I-I1)*R2
(%i3) e3: E=I1*R1 + Ig*Rg + (I-I1+Ig)*R4;
(%o3) E=(-I1+I+Ig)*R4+I1*R1+Ig*Rg
(%i4) solve([e1,e2,e3],[I,I1,Ig]);
(%o4) [[I=(E*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)+E*R1*(R4+Rg)+(E*(R2+Rg)+E*R1)*R3)/(R3*(R1*(R4+R2)+(R2+Rg)*R4+Rg*R2)+R1*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)),I1=
(E*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)+E*R2*R3)/(R3*(R1*(R4+R2)+(R2+Rg)*R4+Rg*R2)+R1*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)),Ig=
(E*R2*R3-E*R1*R4)/(R3*(R1*(R4+R2)+(R2+Rg)*R4+Rg*R2)+R1*((R2+Rg)*R4+Rg*R2))]]

整理すると

Ig' = (R2*R3 - R1*R4)*E/(R3*R1*R4 + R3*R1*R2 + R3*R4*R2 + R3*R4*Rg R3*R2*Rg + R1*R4*R2 + R1*R4*Rg + R1*R2*Rg)
= (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R3*R4 + R3*R2 + R1*R4 + R1*R2) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))
= (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R1 + R3)*(R2 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))

Rgに関係する項以外は以前と同じ。

従って

1/Ig - 1/Ig' =
(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))/(R2*R3 - R1*R4)*E - (Rg*(R1 + R3)*(R2 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) - Rg(R1 + R3)*(R2 + R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R1*R3 + R2*R3 + R1*R4 + R2*R4 - R1*R2 - R3*R2 - R1*R4 - R3*R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R1*R3 + R2*R4 - R1*R2 - R3*R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R3 - R2)*(R1 - R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E

として同じ結果が得られた。

これと著者の解き方以外にも、問題３０で求めた剣流計に流れる電流の式をRg=0,R2=3*R1,R3=3*R4にして書き換えることによっても同様の結果が得られるはず。

剣流計以外の電流の式は二次式とか出て来て恐ろしいことになっているが因数分解すればもっとシンプルな式になることは想像がつく。

問題３２は以下の図のようなブリッジ回路で剣流計の内部抵抗を０とした場合に剣流計似流れる電流Igを求めるもの。



剣流計の内部抵抗が０ということはブリッジが短絡しているということと一緒なのでそのブリッジに流れる電流を求めれば良い。

以前と同様に抵抗R1を流れる電流をI1、全体を流れる電流をIとすると以下の方程式が成り立つ

E = I1*R1 + (I1 - Ig)*3*R1
E = I1*R1 + (I - I1 + Ig)*R2
E = (I - I1)*3*R2 + (I - I1 + Ig)*R2

これをMaximaで解くと

(%i7) e1: E=I1*R1+(I1-Ig)*3*R1;
(%o7) E=3*(I1-Ig)*R1+I1*R1
(%i8) e2: E= I1*R1+(I - I1 +Ig)*R2;
(%o8) E=(-I1+I+Ig)*R2+I1*R1
(%i9) e3: E=(I-I1)*3*R2+(I-I1+Ig)*R2;
(%o9) E=(-I1+I+Ig)*R2+3*(I-I1)*R2
(%i10) solve([e1,e2,e3],[I,I1,Ig]);
(%o10) [[I=(3*E*R2^2+10*E*R1*R2+3*E*R1^2)/(12*R1*R2^2+12*R1^2*R2),I1=(E*R2+3*E*R1)/(4*R1*R2+4*R1^2),Ig=(2*E)/(3*R2+3*R1)]]

整理すると

Ig = 2*E/3*(R1 + R2)

となり著者の解と同じ結果が得られた。

問題３３は４つの抵抗器のひとつを剣流計と分流抵抗に置き換えたブリッジを平衡状態にすることによって、未知の剣流計の内部抵抗を求めるというもの。



解き方はいろいろあるように見える。ブリッジ回路の平衡条件式を利用して求めるのが著者の解答例。これだと方程式をたてる必要が無いので最も簡単な解き方、模範解答である。がそれと同じことをやっても意味が無いので、バカの一つ覚えで方程式をたててみる。その場合にキルヒホッフの第一の法則による分流法を使う、第二の法則による網目電流法を使う、もしくは単純に抵抗の並・直列回路として解くという３つぐらいが考えられる。

バカの一つ覚えで分流法でやると

(%i1) e1: E=I1*R1 + I1*R2;
(%o1) E=I1*R2+I1*R1
(%i2) e2: E=(I-I1)*R3+(I-I1-Ig)*Rm;
(%o2) E=(I-I1)*R3+Rm*(-I1+I-Ig)
(%i3) e3: E=(I-I1)*R3+Ig*Rg;
(%o3) E=(I-I1)*R3+Ig*Rg
(%i4) e4: E=(I-I1)*R3+I1*R2;
(%o4) E=(I-I1)*R3+I1*R2
(%i5) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,Ig,Rg]);
(%o5) [[I=(E*R3+E*R1)/((R2+R1)*R3),I1=E/(R2+R1),Ig=-(E*R2*R3-Rm*E*R1)/((Rm*R2+Rm*R1)*R3),Rg=-(Rm*R2*R3)/(R2*R3-Rm*R1)]]

Rgの式の負号を取り除く形に書き換えると

Rg = (Rm*R2*R3)/(Rm*R1 - R2*R3)

ということで著者と同じ結果が得られる。

著者のやり方でも結構最後の式にするには以下の様な整理が必要である。

R2*R3 = R1*R4 = R1*Rg*Rm/(Rg + Rm)

R2*R3*(Rg + Rm) = R1*Rg*Rm

R2*R3*Rg + R2*R3*Rm = R1*Rg*Rm

R2*R3*Rm = R1*Rg*Rm - R2*R3*Rg

R2*R3*Rm = Rg*(R1*Rm - R2*R3)

∴
Rg = R2*R3*Rm/(R1*Rm - R2*R3)