またまた疑惑的な記述を発見

著者の解の真ん中で

「の関係を用いて、式(14.5)、(1.46)を整理する。...」

とあるが、式(14.5)、(1.46)ってどれだ？

そんな式は無い。解答では式には(a)、(b)、...とアルファベットしか付けられていない。(ss.nn)が付いているのは章の始めの理論の説明に出てくる式だけだ。しかもssは章番号だし、14章なんて章はこの本には存在しない。もちろん第１章は(1.26)が最後に現れる式である。それ以降は無い。おそらく(1.46)は(14.6)の単純な誤植だろう。それに整理する対象の２式はおそらく(d)で示される２式だろう。ということはこの記述は本来は

「の関係を用いて、式(d)を整理する。...」

とすべきだと思う。

これは模範解答としては酷すぎる。著者も校正をまじめにしていなかったと思われる。もしかして自分で解いた解ではないのかもしれないとまで思えてくる。参考にした原典があって、それを著者なりにアレンジして内容を書き換えたが、式の採番を変えた際に式を参照する記述を直すのを忘れてしまったと推測される。

この本の解答はかなり詳細なステップまで説明されているが、それでもかなり式と式の間の操作の経過が省略されているので、なぜこうなるのか自分で確かめてみないと信じられない程である。

姉妹本の詳解電磁気学演習にも同じ内容の問題と解が載っているが、そちらは極めて簡潔な内容となり、詳細なステップは省略されているが内容的には首尾一貫している。またそれ以外にも漸化式を用いる問題が載っている。

これはやはり自分で解くしかないな。

どうやらこの問題は数学的には微分方程式の境界値問題というらしい。

普通の数学の授業では微分方程式の一般解を求めるところまでしか教わらない。一般解は定数項を含んだままなので、定数項によって実際の解は無限のパターンを取り得る。それでは数学的には解けたと行っても実用上は解けたことにならない。

微分方程式を現実問題に当てはめて解くには、定数項を確定しなければならない。それが境界値問題ということになり、いわゆる物理学とか熱伝導、電子回路での計算シミュレーションの分野で課題とされるところである。

前の問題では境界条件が与えやすかった。

今度の問題は片方の境界条件（電源端の電流）がもう片方の境界条件（回路の末端の電流）がわからないと定まらないし、逆も真なりで難しい。

これを解くには方法がいくつかあるようで、微分方程式の境界値問題で調べるといくつか見つかる。

著者はその中で差分法というのを利用していることが最後に用いているΔの記号でわかる。

しかしこの差分法がまた唐突的に用いられると理解しがたい。

手持ちの数学公式集にはなんとか差分法による解法の説明があるが記述が短いのでそれだけでは私には理解することが出来ない。

著者がやっていることはたぶんそれを応用しているのだろうと思われる。

数学の授業でも普通ここまでやるのはよほど学生が優秀で理解が早く進んで時間を持てあました時とかぐらいかもしれない。市販の微分方程式の解き方を解説した参考書を見ても境界値問題まで触れているのは少ない。たぶん普通は試験の範囲がそこまで広くないという現状を反映しているのだろう。

もう少し探求してみればある日突然理解できるのかもしれない。

少し著者の解法の一端が理解できた。というより式の流れの意味が解っただけだが。

抵抗ラダーの繰り返し部分の漸化式を、sinh(a)=sqrt(R1/4*R2)と置いて解くと

I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a)

というのになるのはまだ理解できないが、次ぎのステップで回路の両端の境界条件

(r+R1+R2)*I[0]-R2*I[1]=E
(R1+R2)*I[n]=R2*I[n-1]

を先の一般解から求めたI[0],I[1],I[n],I[n-1]を代入すると

C*(r+R1+R2-R2*cosh(2*a))-D*R2*sinh(2*a)=E
C*((R1+R2)*cosh(2*n*a)-R2*cosh(2*(n-1)*a))+D*((R1+R2)*sinh(2*n*a)-R2*sinh(2*(n-1)*a))=0

というのは理解できた。

この２つの式はC,Dに関する連立一次方程式と見なすことができるので、C,Dを解くことができる。Maximaでそれをやると、

(%i1) e1: C*(r+R1+R2-R2*cosh(2*a))-D*R2*sinh(2*a)=E;
(%o1) C*(-cosh(2*a)*R2+R2+R1+r)-sinh(2*a)*D*R2=E
(%i2) e2: C*((R1+R2)*cosh(2*n*a)-R2*cosh(2*(n-1)*a))+D*((R1+R2)*sinh(2*n*a)-R2*sinh(2*(n
-1)*a))=0;
(%o2) D*(sinh(2*a*n)*(R2+R1)-sinh(2*a*(n-1))*R2)+C*(cosh(2*a*n)*(R2+R1)-cosh(2*a*(n-1))*R2)=0

(%i3) solve([e1,e2],[C,D]);

(%o3) [[C=((sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*E*R2+sinh(2*a*n)*E*R1)/((sinh(2*a*n)+cosh(2*a)*
(sinh(2*a*(n-1))-sinh(2*a*n))+sinh(2*a)*(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))-sinh(2*a*(n-1)))*R2^2+(
(-cosh(2*a)*sinh(2*a*n)+2*sinh(2*a*n)+sinh(2*a)*cosh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*R1+
(sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*r)*R2+sinh(2*a*n)*R1^2+sinh(2*a*n)*r*R1),D=-(
(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))*E*R2+cosh(2*a*n)*E*R1)/((sinh(2*a*n)+cosh(2*a)*
(sinh(2*a*(n-1))-sinh(2*a*n))+sinh(2*a)*(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))-sinh(2*a*(n-1)))*R2^2+(
(-cosh(2*a)*sinh(2*a*n)+2*sinh(2*a*n)+sinh(2*a)*cosh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*R1+
(sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*r)*R2+sinh(2*a*n)*R1^2+sinh(2*a*n)*r*R1)]]

ということでC,Dが解けるというのは理解できる。Maximaの解は複雑なので整理して著者の解と同じになるかどうか別途確認が必要である。

電車に乗りながらいろいろ考えたら、他にもまったく違うアプローチで解けそうな予感もしてきた。それはまた別の機会に。

いずれにせよこうした問題を直流回路の段階でやるというのは躓きの元かもしれない。漸化式の境界値問題とかを扱っている参考書はほとんど皆無だし、数学的にも昔から応用数学ということで扱われ工学系とかの学生が少しかじる程度の末端の分野である。

国会図書館とかの蔵書を探せばなにか見つかるかもしれないが、そんな時間と出かける余裕は無い。

数値シミュレーションとかを扱う人には避けて通れない数学的、工学的な問題でもあるので、今もこれと決まった解き方があるわけでもなさそうである。微分方程式においてもすべての微分方程式に適用できる解法が無いのと似ている。

境界値問題も境界（インタフェース）部分の式を立てることが出来れば解けるので、式が立てられるような応用であればそれなりに解くことが出来ると思われる。

式が立てられないような複雑で膨大なネットリストとかについては数式処理システムで解くのは限界がある。それ専用の行列演算を高速で行うようなシステムが必要である。

とりあえずMaximaを使って以前に立てた漸化式と境界問題を解いてみる。

ラダー部分の漸化式

I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2=(I[k-1]-I[k])*R2

をMaximaで解くと

(%i1) load("solve_rec")$
(%i2) solve_rec(I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2=(I[k-1]-I[k])*R2,I[k]);
(%o2) I[k]=(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k)/2^k+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^k)/2^k

という一般解が得られる。

これを線路の始点と終点それぞれの境界条件の式

(%i3) e1: E=(r+R1)*I[0]+(I[0]-I[1])*R2;
(%o3) E=(I[0]-I[1])*R2+I[0]*(R1+r)

(%i7) e2: (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1;
(%o7) (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1

に適用して

(%i4) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^0)/2^0+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)
-2*R2-R1)/R2)^0)/2^0, I[0], E=(I[0]-I[1])*R2+I[0]*(R1+r));
(%o4) E=(%k[2]-I[1]+%k[1])*R2+(%k[2]+%k[1])*(R1+r)

(%i5) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^1)/2^1+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)
-2*R2-R1)/R2)^1)/2^1, I[1], E=(%k[2]-I[1]+%k[1])*R2+(%k[2]+%k[1])*(R1+r));
(%o5) E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r)

(%i6) e1: E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r);
(%o6) E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r)

(%i8) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))/2^(n-1)+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^(n-1))/2^(n-1), I[n-1], (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1);
(%o8) R2*(%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-I[n])=I[n]*R1

(%i9) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^n)/2^n, I[n], R2*(%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-I[n])=I[n]*R1);

(%o9) R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n
+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n)

(%i10) e2: R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n);
(%o10) R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n
+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n)

２つの任意定数(%k[1],%k[2])に関する連立方程式を導くと

(%i11) solve([e1,e2],[%k[1],%k[2]]);
(%o11) [[%k[1]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n),%k[2]=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)]]

一般解の式に上の%k[2]と%k[1]を代入すると

I[k]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+
E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-
2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))

という見たくもないぐらい複雑な式となる。これが著者が導いた解と等価なのかどうか。問題の趣旨は双曲線関数で表す式になることを証明せよということなので、単純に二階の漸化式の境界値問題を解くというだけでは不十分である。数値計算するには解くだけで良いのだが。

もともとべき乗の式が双曲線関数の式になるところが理解できない。双曲線関数は自然対数のべき乗の和と等価なのはわかるが、最初にどうやったら結びつくのかが謎。元々二階の漸化式の解が双曲線関数で表されるというのを前提にしているような気もする。数学の参考書でそこの部分を詳しく解説しているのが見あたらない。説明するのがよほど面倒なのかもしれない。

後日そこを解明してみよう。

Maximaで得られた解が正しいかどうか確かめてみた。

まず最も簡単なケース(n=1)について回路図を描いて回路の合成抵抗から回路に流れる電流I0を求めてみた。



またMaximaで解いた解の式にk=0を代入

(%i2) subst(0, k, I[k]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)
+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^k*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)));
(%o2) I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)

更にこの式でn=1を代入すると

(%i3) subst(1, n, I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)
+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2
+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2
+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2
+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n));
(%o3) I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+r*E*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2)+E*R1*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)/(R1*(r*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)+R1^2*((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2-(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)-r*E*(-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-E*R1*(-(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2-(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)/(R1*(r*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)+R1^2*((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)

これを整理すると

(%i4) factor(%);
(%o4) I[0]=(E*(R2+R1))/(2*R1*R2+r*R2+R1^2+r*R1)

従って同じ結果が得られたことになる。

同様に今度は2段のケース(n=2)についても計算してみる。

まず回路図から手計算で合成抵抗から電流を求めてみると。



かなり複雑になるがこの程度ならまだ手で計算することは可能。

前と同様にI[0]の式でn=2を代入してMaximaで処理すると

(%i8)
subst(2, n, I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)
+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2
+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2
+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2
+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n));
(%o8) I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3+
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+
(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+r*E*
((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3)+E*R1*(
(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3+(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+
(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+
(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)/(R1*(r*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+
(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)-
(2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^2+
(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2)+r^2*(
(2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3
)+R1^2*
((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)
+(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4-
(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)-r*E*
(-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)-E*R1*(-
(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3-(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4-
(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)/(R1*(r*(
(2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+
(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)-(2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2+
(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4
-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2)+r^2*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+
(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)+R1^2*
((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)
+(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)

これを整理すると

(%i9) factor(%);
(%o9) I[0]=(E*(R2^2+3*R1*R2+R1^2))/(3*R1*R2^2+r*R2^2+4*R1^2*R2+3*r*R1*R2+R1^3+r*R1^2)

ということで同じ結果が得られたのでどうやら解としては正しそうである。

単純に漸化式を解いただけではエレガントもくそも無いとてつもなく複雑で手に負えない式となるが、双曲線関数で解を表現すると極めてエレガントな解になる。数学的にはエレガントな解が求められる。どうしてもマスターしたいところではある。また後日。

心配なのでn=1の時のI1も合成抵抗と分流則から計算すると

(%i5) (E/(r+R1+1/(1/R2+1/R1)))*(R2/(R1+R2));
(%o5) (E*R2)/((1/(1/R2+1/R1)+R1+r)*(R2+R1))
(%i6) factor(%);
(%o6) (E*R2)/(2*R1*R2+r*R2+R1^2+r*R1)

今度はn=1の時の漸化式の解からk=n,n=1としてMaximaで処理すると

(%i2)
subst(n, k, I[k]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)
+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^k*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)));
(%o2) I[n]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+
E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*
(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-
2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*
(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2*
R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))
(%i3)
subst(1, n, I[n]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)
+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)
+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((
-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2
+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)));
(%o3) I[1]=((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+
(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+r*E*
((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2)+E*R1*(
(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+
(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)
)/(2*R2*(R1*(r*
((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)
-2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4*
(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2*
((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)
+R1^2*
((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+
(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2))+((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*
(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2-
(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)-r*E*
(-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-E*R1*(-
(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2-
(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2))/(2*R2*(R1*(r*
((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)
-2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4*
(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2*
((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)
+R1^2*
((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+
(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2))
(%i4) factor(%);
(%o4) I[1]=-(E*(sqrt(R1*(4*R2+R1))-2*R2-R1)*(sqrt(R1*(4*R2+R1))+2*R2+R1))/(4*R2*(2*R1*R2+r*R2+R1^2+r*R1))
(%i9) ratsimp(%);
(%o9) I[1]=(E*R2)/((2*R1+r)*R2+R1^2+r*R1)

となり同じ結果が得られるので正しそうである。

n=2の時のI[1],I[2]は手計算が難しくなるので割愛。

単純に各段の電流を求めるには後に出てくるテブナンの定理を使って電源と内部抵抗と負荷抵抗が直列につながった等価回路として置き換えて計算する方法がある。

試験に出るよく似た抵抗ラダー回路の計算問題はそれを利用して解いた方が簡単かもしれない。

もちろん一部を合成抵抗に置き換えて、より単純な等価回路として電圧源と内部抵抗それに負荷抵抗の回路として考えても良い。

漸化式や差分方程式はコンピューターが無かった時代に微分方程式の近似解を数値計算するのに使用されていたという歴史がある。今でも微分方程式の近似計算のアルゴリズムとして使われていると思われるが、人間が紙の上でそれをもうやる必要が無い。

コンピューターが無かった時代に複雑な真空管回路やトランジスタ回路とかのアナログ挙動を数値計算でシミュレーションするのは大変なことだったろうと想像される。計算機があれば紙の上では到底扱え切れないような複雑で長い式でもたちどころに正確に計算してしまう。人間はそうはいかない。

漸化式も離散系の信号処理とかにも関係すると思われる。昔乱数データ列生成によく使ったM系列乱数も漸化式で表現される。FPGAとかでアナログ信号をデジタル回路で信号処理や演算する場合にも漸化式が理解できないとアルゴリズムが理解できないしRTLも書けないということになる。

しかしながら漸化式は数学的にはニッチな分野なのでよほど余裕がない限り教わらないで終わる可能性もある。

学生時代に習った記憶が無いのは授業をさぼっていたのか寝ていたのか、はたまた講義内容がはしょられてしまったのかは謎。

昔一時期夢中になったフラクタル幾何で有名なマンデルブロー集合はどれも一見単純で短い漸化式で表される。それらは複素数の漸化式なのだが、一次元空間に写像するとその数列は一見規則性の無い乱数列にしか見えないがもっと高い次元で見ると複雑だが自己相似性のある奇妙な規則性のある姿をプロットする。

デジタル回路を構成する上でも漸化式はマスターしておく必要はありそうである。いずれFPGAとかでディジタル信号処理の実験をするためにそれに必要な知識と設備を整えているのだし。

著者の解答で説明が省略されている最初の部分がわかった。

I[k+1]+I[k-1]=2*cosh(2*a)*I[k]

でI[k]=x^kとおいて解くと

(x^2-2*cosh(2*a)*x+1)*x^k-1=0

x^k-1≠0であるので

x^2-2*cosh(2*a)*x+1=0

を解くと

x=cosh(2*a)-sqrt(cosh(2*a)^2-1),x=sqrt(cosh(2*a)^2-1)+cosh(2*a)

cosh(2*a)^2は公式より

cosh(2*a)^2=1+sinh(2*a)^2

で置き換えると

x=cosh(2*a)-sinh(2*a)=((exp(2*a)+exp(2*a))/2-(exp(2*a)-exp(2*a))/2)=exp(-2*a),x=sinh(2*a)+cosh(2*a)=((exp(2*a)-exp(2*a))/2+(exp(2*a)+exp(2*a))/2)=exp(2*a)

従って一般解は

I[k]=K1*exp(-2*a)^k+K2*exp(2*a)^k
=K1*exp(-2*k*a)+K2*exp(2*k*a)

再び双曲線関数に関するオイラーの公式

exp(±x)=cosh(x)±sinh(x)

により

I[k]=K1*(cosh(2*k*a)-sinh(2*k*a))+K2*(sinh(2*k*a)+cosh(2*k*a))
=(K1+K2)*cosh(2*k*a)+(K2-K1)*sinh(2*k*a)

ここで

K1+K2=C
K2-K1=D

と置き換えると

I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a)

という具合に著者の一般解を導くことができることが判明した。

意外にも泥臭かった。Maximaではさすがにこういう気の利いたことはやってくれない。

双曲線関数と指数関数の間のオイラーの公式は双曲線関数の指数関数表現から自明だが、これがキーになっている。

著者の解法では漸化式をたてる段階から双曲線関数表現に直し、それ以降も極力双曲線関数でシンプルな記述になるように整理することで命題の解が導かれることを証明している。

単純にMaximaのsolve_recで漸化式を解いて一般解を求めた後、何も考えずに定数部を境界条件の連立方程式から解いて置き換えた結果と比較すると似てもにつかぬ式になることは承知の通り。

しかしその二つの式は実は等価であるというのを検証してこの問題を終えたいと思う。

おさらいでMaximaのsolve_recで漸化式をそのまま解くと

(%i8) solve_rec((I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2,I[k]);
(%o8) I[k]=(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k)/2^k+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^k)/2^k

という平方根とかの式が入った一見複雑な式になるが、これが予め漸化式を双曲線関数を使って書き直したものと等価であるか検証してみよう。

Maximaのsolve_recは漸化式に対する特性方程式の以下の根に基づいて一般解を導いているのは明らか

(%i2) solve(x^2-(2+R1/R2)*x+1=0,x);
(%o2) [x=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/(2*R2),x=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/(2*R2)]

この基本解が予め双曲線関数で漸化式を表したものから求めたものと等価なのだろうか？

問題ではa=sinh^-1(sqrt(R1/4*R2))としている。

これはすなわち

sinh(a)=sqrt(R1/4*R2)=sqrt(R1/R2)/2
sinh^2(a)=R1/4*R2
R1/R2=4*sinh^2(a)

ということになる

双曲線関数を使わないで得た特性方程式の根を整理してみよう。

x=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/(2*R2)=(2*R2+R1-sqrt(4*R1*R2+R1^2))/(2*R2)=(1+R1/(2*R2)-sqrt(R1/R2+R1^2/4*R2^2))=(1+2*sinh^2(a)-sqrt((R1/R2)*sqrt(1+R1/(4*R2))))=(1+2*sinh^2(a)-2*sinh(a)*sqrt(1+R1/(4*R2)))

公式より1+sinh^2(a)=cosh^2(a),1+2*sinh^2(a)=cosh(2*a)なので

x=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*sqrt(1+R1/(4*R2)))=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*sqrt(1+sinh^2(a)))=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*sqrt(cosh^2(a)))=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*cosh(a))

また公式より2*sinh(a)*cosh(a)=sinh(2*a)なので

x=cosh(2*a)-sinh(2*a)=((exp(2*a)+exp(2*a))/2-(exp(2*a)-exp(2*a))/2)=exp(-2*a)

同様に

x=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/(2*R2)=(sqrt(R1/R2+R1^2/(4*R2^2))+1+R1/(2*R2))=(sqrt((R1/R2)*(1+R1/(4*R2)))+1+2*sinh^2(a))=(sqrt(R1/R2)*sqrt(1+R1/(4*R2))+cosh(2*a))=(2*sinh(a)*sqrt(1+sinh^2(a))+cosh(2*a))=(2*sinh(a)*sqrt(cosh^2(a))+cosh(2*a))=(2*sinh(a)*cosh(a)+cosh(2*a))=(sinh(2*a)+cosh(2*a))=((exp(2*a)-exp(2*a))/2+(exp(2*a)+exp(2*a))/2)=exp(2*a)

なので一般解は

I[k]=K1*exp(-2*a)^k+K2*exp(2*a)^k=K1*exp(-2*k*a)+K2*exp(2*k*a)

exp(±x)=cosh(x)±sinh(x)

なので

I[k]=K1*(cosh(2*k*a)-sinh(2*k*a))+K2*(sinh(2*k*a)+cosh(2*k*a))=(K1+K2)*cosh(2*k*a)+(K2-K1)*sinh(2*k*a)

ここで

K1+K2=C
K2-K1=D

とすると

I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a)

となり著者の解と等価であることが証明できた。

最終的な式も同様に公式を駆使して整理すれば等価であることが証明できるはずである。

まあこれで良しとしよう。

双曲線関数と指数関数は公式集に載っている公式だけではなくそれ以外の公式を自分で作りながら式をよりエレガントな形に整理するスキルが不可欠である。IQ値が低い者はバカの壁があるので地道に手探りでたどり着くしかない。