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webadm | 投稿日時: 2007-10-30 4:48 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 引き続き問題59の著者の解法を精読していたところまたしても数多くの誤植を発見した。
(a)注釈欄のところに双曲線関数の式を整理する過程が解説されているがそこに誤りがある。 =R2{2cosh(2n-1)αsinh(-α)}-R1sinh2nα =-sqrt(R1R2){2sqrt(R2/R1)cos(2n-1)αsinα+2sqrt(R1/4R2)sinh2nα とあるが、何故か三角関数のcos,sinが式の中に出現しているし閉じ括弧が無くなっている。これは本来は =-sqrt(R1R2){2sqrt(R2/R1)cosh(2n-1)αsinh(α)+2sqrt(R1/4R2)sinh2nα} とすべきだろう。sinh(-α)=-sinh(α)もこの式の変形のミソだ。 (b)あと境界条件の式から定数C,Dを求める記述で 「式(f),(g)より定数C,Dを求めると C=Ecosh(2n+1)/Δ D=-Esinh(2n-1)α/Δ 」 とあるが、Cの式が間違っている。 本当は C=Ecosh(2n+1)α/Δ じゃないといけない。 (c)連立方程式の解を求める際の行列式Δを整理する際に =rcosh(2n+1)α+sqrt(R1R2){sinhαcosh(2n+1)+coshαsinh(2n+1)α} とあるが、αが抜け落ちている。正しくは =rcosh(2n+1)α+sqrt(R1R2){sinhαcosh(2n+1)α+coshαsinh(2n+1)α} 原稿段階で抜け落ちていたか写植時に抜け落ちたか。そしてゲラ刷りの際に見落としたと。 この本のこの問題59は鬼門すぎ。共立出版ダメすぎ。著者だめすぎ。 これは躓くだけでなく、こっから先学ぶ気力を完全に失うぞ普通。 なめとんのか、ゴラー。 と言いたくなる。 やはり著者は自分でこの問題を解いたわけではなさそうな予感が濃厚。 いきなり一般的な抵抗ラダー回路を初歩の直流回路学びたての段階で解かせるのは無謀過ぎる。こんな面倒なのは後にも先にも分布常数回路が出てくるまで無いはず。せいぜいR-2Rラダー回路程度を出題しておけばよかったのかもしれない。 がっかりだな。 しかりこれで著者の解法についてはばっちり理解することが出来た。これでこの問題の研究は終わりとしよう。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-29 10:07 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 R-2Rラダー回路について簡単そうだったので自分で解いてみた。
漸化式はk段目の閉回路に関してキルヒホッフの法則から以下の通り (I[k-1]-I[k])*2*R=I[k]*R+(I[k]-I[k+1])*2*R これを整理するとRは無関係になり I[k+1]-(5/2)*I[k]+I[k-1]=0 特性方程式は x^2-(5/2)*x+1=0 これを満たす根は x=2, x=1/2 なので漸化式の一般解は I[k]=K1*2^k+K2/2^k となる。Maximaのsolve_recで解くと (%i3) solve_rec(2*(I[k-1]-I[k])*R=2*(I[k]-I[k+1])*R+I[k]*R,I[k]); (%o3) I[k]=%k[1]*2^k+%k[2]/2^k と同じ結果が得られる。 回路の終端の境界条件から (I[n-1]-I[n])*2*R=I[n]*2*R 回路の電源側の境界条件から E=(r+R)*I[0]+(I[0]-I[1])*2*R; これらにI[0],I[1],I[n-1],I[n]をそれぞれ一般解の式を適用して代入すると 2*(-K2/2^n+2^(1-n)*K2-2^n*K1+2^(n-1)*K1)*R=2*(K2/2^n+2^n*K1)*R E=(K2+K1)*(R+r)+2*(K2/2-K1)*R この2つからK1,K2を解くと K1=0,K2=E/(2*R+r) 従って解は I[k]=E/(2^k*(2*R+r)) となりラダーの段数に無関係に段数が多くなるにつれ流れる電流は2のべき乗に反比例する。ちなみに回路で内部抵抗r=0とした場合のI[0]を計算すると I[0]==E/2*R となり回路図から求めたものと合っている。 更に各段の抵抗2Rの両端の電圧V[k]は (%i2) V[k]=(I[k]-I[k+1])*2*R; (%o2) V[k]=2*(I[k]-I[k+1])*R で表される。I[k],I[k+1]をそれぞれ代入すると V[k]=(E*R)/(2^k*(2*R+r)) となり、電流と同じように2のべき乗に反比例する。r=0とした場合の初段の2Rの両端の電圧は V[0]=(E*R)/(2^0*(2*R+0))=E/2 ということで電源電圧Eの半分となる。 R-2Rラダー回路を使って簡単なD-A変換回路を構成することが可能である。R-2Rで検索すると沢山でてくる。市販のD-A変換ICも古くからあるものはR-2Rラダー回路である。電流値を加算すれば応答性の良い低ノイズなD-Aコンバーターが出来る。実際に古い低周波シンセサイザーやファンクションジェネレーターではそうしたものが使われていた。 昔まだ現在のようなサウンドカードとかが無かった頃にPCのプリンタポートにR-2Rラダー回路で構成したD-A変換回路を介してオーディオアンプをつないで音楽を鳴らしていたいかれた人たちが居た。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-29 1:45 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 Maximaを使って求めた漸化式の一般解と著者が示している一般解は等価であることが証明できたが、それなりの微分方程式の参考書を見ると二階微分方程式の解法の例としてこの例は載っていたりする。従って公式のようなものだった。
オーム社のコンパクト版電気工学ハンドブックの巻末にある数学公式にはちゃんと丁寧に二階微分方程式の解法の解説が記載されていて、上記のケースがそのものズバリ公式として載っていた。 この問題の抵抗ラダー回路は電池に内部抵抗があったり、終端が短絡されているというケースだが、これをR1とR2の関係をRと2Rにして終端をRとするとD-A変換に使える抵抗ラダー回路になる。各段の電圧降下が2のべき乗分の1になるらしい。 興味があれば解いてみるのもおもしろいかもしれない。電池の内部抵抗があると式が複雑になるので無しとしても良いしr=0と後で置き換えて式を簡単にしても良いかもしれない。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-27 20:53 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 著者の解法では漸化式をたてる段階から双曲線関数表現に直し、それ以降も極力双曲線関数でシンプルな記述になるように整理することで命題の解が導かれることを証明している。
単純にMaximaのsolve_recで漸化式を解いて一般解を求めた後、何も考えずに定数部を境界条件の連立方程式から解いて置き換えた結果と比較すると似てもにつかぬ式になることは承知の通り。 しかしその二つの式は実は等価であるというのを検証してこの問題を終えたいと思う。 おさらいでMaximaのsolve_recで漸化式をそのまま解くと (%i8) solve_rec((I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2,I[k]); (%o8) I[k]=(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k)/2^k+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^k)/2^k という平方根とかの式が入った一見複雑な式になるが、これが予め漸化式を双曲線関数を使って書き直したものと等価であるか検証してみよう。 Maximaのsolve_recは漸化式に対する特性方程式の以下の根に基づいて一般解を導いているのは明らか (%i2) solve(x^2-(2+R1/R2)*x+1=0,x); (%o2) [x=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/(2*R2),x=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/(2*R2)] この基本解が予め双曲線関数で漸化式を表したものから求めたものと等価なのだろうか? 問題ではa=sinh^-1(sqrt(R1/4*R2))としている。 これはすなわち sinh(a)=sqrt(R1/4*R2)=sqrt(R1/R2)/2 sinh^2(a)=R1/4*R2 R1/R2=4*sinh^2(a) ということになる 双曲線関数を使わないで得た特性方程式の根を整理してみよう。 x=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/(2*R2)=(2*R2+R1-sqrt(4*R1*R2+R1^2))/(2*R2)=(1+R1/(2*R2)-sqrt(R1/R2+R1^2/4*R2^2))=(1+2*sinh^2(a)-sqrt((R1/R2)*sqrt(1+R1/(4*R2))))=(1+2*sinh^2(a)-2*sinh(a)*sqrt(1+R1/(4*R2))) 公式より1+sinh^2(a)=cosh^2(a),1+2*sinh^2(a)=cosh(2*a)なので x=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*sqrt(1+R1/(4*R2)))=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*sqrt(1+sinh^2(a)))=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*sqrt(cosh^2(a)))=(cosh(2*a)-2*sinh(a)*cosh(a)) また公式より2*sinh(a)*cosh(a)=sinh(2*a)なので x=cosh(2*a)-sinh(2*a)=((exp(2*a)+exp(2*a))/2-(exp(2*a)-exp(2*a))/2)=exp(-2*a) 同様に x=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/(2*R2)=(sqrt(R1/R2+R1^2/(4*R2^2))+1+R1/(2*R2))=(sqrt((R1/R2)*(1+R1/(4*R2)))+1+2*sinh^2(a))=(sqrt(R1/R2)*sqrt(1+R1/(4*R2))+cosh(2*a))=(2*sinh(a)*sqrt(1+sinh^2(a))+cosh(2*a))=(2*sinh(a)*sqrt(cosh^2(a))+cosh(2*a))=(2*sinh(a)*cosh(a)+cosh(2*a))=(sinh(2*a)+cosh(2*a))=((exp(2*a)-exp(2*a))/2+(exp(2*a)+exp(2*a))/2)=exp(2*a) なので一般解は I[k]=K1*exp(-2*a)^k+K2*exp(2*a)^k=K1*exp(-2*k*a)+K2*exp(2*k*a) exp(±x)=cosh(x)±sinh(x) なので I[k]=K1*(cosh(2*k*a)-sinh(2*k*a))+K2*(sinh(2*k*a)+cosh(2*k*a))=(K1+K2)*cosh(2*k*a)+(K2-K1)*sinh(2*k*a) ここで K1+K2=C K2-K1=D とすると I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a) となり著者の解と等価であることが証明できた。 最終的な式も同様に公式を駆使して整理すれば等価であることが証明できるはずである。 まあこれで良しとしよう。 双曲線関数と指数関数は公式集に載っている公式だけではなくそれ以外の公式を自分で作りながら式をよりエレガントな形に整理するスキルが不可欠である。IQ値が低い者はバカの壁があるので地道に手探りでたどり着くしかない。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-27 11:05 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 著者の解答で説明が省略されている最初の部分がわかった。
I[k+1]+I[k-1]=2*cosh(2*a)*I[k] でI[k]=x^kとおいて解くと (x^2-2*cosh(2*a)*x+1)*x^k-1=0 x^k-1≠0であるので x^2-2*cosh(2*a)*x+1=0 を解くと x=cosh(2*a)-sqrt(cosh(2*a)^2-1),x=sqrt(cosh(2*a)^2-1)+cosh(2*a) cosh(2*a)^2は公式より cosh(2*a)^2=1+sinh(2*a)^2 で置き換えると x=cosh(2*a)-sinh(2*a)=((exp(2*a)+exp(2*a))/2-(exp(2*a)-exp(2*a))/2)=exp(-2*a),x=sinh(2*a)+cosh(2*a)=((exp(2*a)-exp(2*a))/2+(exp(2*a)+exp(2*a))/2)=exp(2*a) 従って一般解は I[k]=K1*exp(-2*a)^k+K2*exp(2*a)^k =K1*exp(-2*k*a)+K2*exp(2*k*a) 再び双曲線関数に関するオイラーの公式 exp(±x)=cosh(x)±sinh(x) により I[k]=K1*(cosh(2*k*a)-sinh(2*k*a))+K2*(sinh(2*k*a)+cosh(2*k*a)) =(K1+K2)*cosh(2*k*a)+(K2-K1)*sinh(2*k*a) ここで K1+K2=C K2-K1=D と置き換えると I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a) という具合に著者の一般解を導くことができることが判明した。 意外にも泥臭かった。Maximaではさすがにこういう気の利いたことはやってくれない。 双曲線関数と指数関数の間のオイラーの公式は双曲線関数の指数関数表現から自明だが、これがキーになっている。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-26 20:49 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 単純に各段の電流を求めるには後に出てくるテブナンの定理を使って電源と内部抵抗と負荷抵抗が直列につながった等価回路として置き換えて計算する方法がある。
試験に出るよく似た抵抗ラダー回路の計算問題はそれを利用して解いた方が簡単かもしれない。 もちろん一部を合成抵抗に置き換えて、より単純な等価回路として電圧源と内部抵抗それに負荷抵抗の回路として考えても良い。 漸化式や差分方程式はコンピューターが無かった時代に微分方程式の近似解を数値計算するのに使用されていたという歴史がある。今でも微分方程式の近似計算のアルゴリズムとして使われていると思われるが、人間が紙の上でそれをもうやる必要が無い。 コンピューターが無かった時代に複雑な真空管回路やトランジスタ回路とかのアナログ挙動を数値計算でシミュレーションするのは大変なことだったろうと想像される。計算機があれば紙の上では到底扱え切れないような複雑で長い式でもたちどころに正確に計算してしまう。人間はそうはいかない。 漸化式も離散系の信号処理とかにも関係すると思われる。昔乱数データ列生成によく使ったM系列乱数も漸化式で表現される。FPGAとかでアナログ信号をデジタル回路で信号処理や演算する場合にも漸化式が理解できないとアルゴリズムが理解できないしRTLも書けないということになる。 しかしながら漸化式は数学的にはニッチな分野なのでよほど余裕がない限り教わらないで終わる可能性もある。 学生時代に習った記憶が無いのは授業をさぼっていたのか寝ていたのか、はたまた講義内容がはしょられてしまったのかは謎。 昔一時期夢中になったフラクタル幾何で有名なマンデルブロー集合はどれも一見単純で短い漸化式で表される。それらは複素数の漸化式なのだが、一次元空間に写像するとその数列は一見規則性の無い乱数列にしか見えないがもっと高い次元で見ると複雑だが自己相似性のある奇妙な規則性のある姿をプロットする。 デジタル回路を構成する上でも漸化式はマスターしておく必要はありそうである。いずれFPGAとかでディジタル信号処理の実験をするためにそれに必要な知識と設備を整えているのだし。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-26 20:24 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 心配なのでn=1の時のI1も合成抵抗と分流則から計算すると
(%i5) (E/(r+R1+1/(1/R2+1/R1)))*(R2/(R1+R2)); (%o5) (E*R2)/((1/(1/R2+1/R1)+R1+r)*(R2+R1)) (%i6) factor(%); (%o6) (E*R2)/(2*R1*R2+r*R2+R1^2+r*R1) 今度はn=1の時の漸化式の解からk=n,n=1としてMaximaで処理すると (%i2) subst(n, k, I[k]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n) +E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^k*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))); (%o2) I[n]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+ E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E* (2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n- 2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E* (-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2* R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)) (%i3) subst(1, n, I[n]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n) +E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 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+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^n*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))); (%o3) I[1]=((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+ ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+ (E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+r*E* ((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2)+E*R1*( (sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+ (r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2) )/(2*R2*(R1*(r* ((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2) -2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4* (-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2* ((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2) +R1^2* ((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+ (2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2))+((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E* (((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2- (-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)-r*E* (-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-E*R1*(- (3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2- (-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2))/(2*R2*(R1*(r* ((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2) -2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4* (-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2* ((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2) +R1^2* ((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+ (2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)) (%i4) factor(%); (%o4) I[1]=-(E*(sqrt(R1*(4*R2+R1))-2*R2-R1)*(sqrt(R1*(4*R2+R1))+2*R2+R1))/(4*R2*(2*R1*R2+r*R2+R1^2+r*R1)) (%i9) ratsimp(%); (%o9) I[1]=(E*R2)/((2*R1+r)*R2+R1^2+r*R1) となり同じ結果が得られるので正しそうである。 n=2の時のI[1],I[2]は手計算が難しくなるので割愛。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-26 4:28 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 同様に今度は2段のケース(n=2)についても計算してみる。
まず回路図から手計算で合成抵抗から電流を求めてみると。 かなり複雑になるがこの程度ならまだ手で計算することは可能。 前と同様にI[0]の式でn=2を代入してMaximaで処理すると (%i8) subst(2, n, I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n) +R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2 +R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2 +R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2 +R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n)); (%o8) I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3+ ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+ (E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+r*E* ((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3)+E*R1*( (sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3+(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+ (r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+ (E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)/(R1*(r*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+ (12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)- (2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^2+ (2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2)+r^2*( (2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3 )+R1^2* ((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4) +(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*( ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4- (-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)-r*E* (-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)-E*R1*(- (3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3-(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4- (-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4/R2^3)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4)/(R1*(r*( (2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+ (2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)-(2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2+ (4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4 -(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^2)+r^2*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3+ (4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^4)/R2^3)+R1^2* ((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^3+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4) +(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2^4) これを整理すると (%i9) factor(%); (%o9) I[0]=(E*(R2^2+3*R1*R2+R1^2))/(3*R1*R2^2+r*R2^2+4*R1^2*R2+3*r*R1*R2+R1^3+r*R1^2) ということで同じ結果が得られたのでどうやら解としては正しそうである。 単純に漸化式を解いただけではエレガントもくそも無いとてつもなく複雑で手に負えない式となるが、双曲線関数で解を表現すると極めてエレガントな解になる。数学的にはエレガントな解が求められる。どうしてもマスターしたいところではある。また後日。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-26 4:13 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 Maximaで得られた解が正しいかどうか確かめてみた。
まず最も簡単なケース(n=1)について回路図を描いて回路の合成抵抗から回路に流れる電流I0を求めてみた。 またMaximaで解いた解の式にk=0を代入 (%i2) subst(0, k, I[k]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n) +E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^k*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))); (%o2) I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n) 更にこの式でn=1を代入すると (%i3) subst(1, n, I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n) +R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*(( -sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2 +R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2 +R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2 +R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2 +R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2) +2*R2+R1)/R2)^n)); (%o3) I[0]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+r*E*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2)+E*R1*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2+(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)/(R1*(r*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)+R1^2*((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2-(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)-r*E*(-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-E*R1*(-(3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2-(r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2-(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2/R2)+(E*R1^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)/(R1*(r*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(12*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)-2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2+(2*r^2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2+4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)-2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)+r^2*((2*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2+(4*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(2*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)^2)/R2)+R1^2*((8*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2+(4*r*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2)+(2*R1^3*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/R2^2) これを整理すると (%i4) factor(%); (%o4) I[0]=(E*(R2+R1))/(2*R1*R2+r*R2+R1^2+r*R1) 従って同じ結果が得られたことになる。 |
webadm | 投稿日時: 2007-10-25 22:12 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 とりあえずMaximaを使って以前に立てた漸化式と境界問題を解いてみる。
ラダー部分の漸化式 I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2=(I[k-1]-I[k])*R2 をMaximaで解くと (%i1) load("solve_rec")$ (%i2) solve_rec(I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2=(I[k-1]-I[k])*R2,I[k]); (%o2) I[k]=(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k)/2^k+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^k)/2^k という一般解が得られる。 これを線路の始点と終点それぞれの境界条件の式 (%i3) e1: E=(r+R1)*I[0]+(I[0]-I[1])*R2; (%o3) E=(I[0]-I[1])*R2+I[0]*(R1+r) (%i7) e2: (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1; (%o7) (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1 に適用して (%i4) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^0)/2^0+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2) -2*R2-R1)/R2)^0)/2^0, I[0], E=(I[0]-I[1])*R2+I[0]*(R1+r)); (%o4) E=(%k[2]-I[1]+%k[1])*R2+(%k[2]+%k[1])*(R1+r) (%i5) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^1)/2^1+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2) -2*R2-R1)/R2)^1)/2^1, I[1], E=(%k[2]-I[1]+%k[1])*R2+(%k[2]+%k[1])*(R1+r)); (%o5) E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r) (%i6) e1: E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r); (%o6) E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r) (%i8) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))/2^(n-1)+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^(n-1))/2^(n-1), I[n-1], (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1); (%o8) R2*(%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-I[n])=I[n]*R1 (%i9) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^n)/2^n, I[n], R2*(%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-I[n])=I[n]*R1); (%o9) R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n +%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n) (%i10) e2: R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n); (%o10) R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n +%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n) 2つの任意定数(%k[1],%k[2])に関する連立方程式を導くと (%i11) solve([e1,e2],[%k[1],%k[2]]); (%o11) [[%k[1]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n),%k[2]=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)]] 一般解の式に上の%k[2]と%k[1]を代入すると I[k]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+ E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n- 2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n* ((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2* ((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)) という見たくもないぐらい複雑な式となる。これが著者が導いた解と等価なのかどうか。問題の趣旨は双曲線関数で表す式になることを証明せよということなので、単純に二階の漸化式の境界値問題を解くというだけでは不十分である。数値計算するには解くだけで良いのだが。 もともとべき乗の式が双曲線関数の式になるところが理解できない。双曲線関数は自然対数のべき乗の和と等価なのはわかるが、最初にどうやったら結びつくのかが謎。元々二階の漸化式の解が双曲線関数で表されるというのを前提にしているような気もする。数学の参考書でそこの部分を詳しく解説しているのが見あたらない。説明するのがよほど面倒なのかもしれない。 後日そこを解明してみよう。 |
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