少し著者の解法の一端が理解できた。というより式の流れの意味が解っただけだが。

抵抗ラダーの繰り返し部分の漸化式を、sinh(a)=sqrt(R1/4*R2)と置いて解くと

I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a)

というのになるのはまだ理解できないが、次ぎのステップで回路の両端の境界条件

(r+R1+R2)*I[0]-R2*I[1]=E
(R1+R2)*I[n]=R2*I[n-1]

を先の一般解から求めたI[0],I[1],I[n],I[n-1]を代入すると

C*(r+R1+R2-R2*cosh(2*a))-D*R2*sinh(2*a)=E
C*((R1+R2)*cosh(2*n*a)-R2*cosh(2*(n-1)*a))+D*((R1+R2)*sinh(2*n*a)-R2*sinh(2*(n-1)*a))=0

というのは理解できた。

この２つの式はC,Dに関する連立一次方程式と見なすことができるので、C,Dを解くことができる。Maximaでそれをやると、

(%i1) e1: C*(r+R1+R2-R2*cosh(2*a))-D*R2*sinh(2*a)=E;
(%o1) C*(-cosh(2*a)*R2+R2+R1+r)-sinh(2*a)*D*R2=E
(%i2) e2: C*((R1+R2)*cosh(2*n*a)-R2*cosh(2*(n-1)*a))+D*((R1+R2)*sinh(2*n*a)-R2*sinh(2*(n
-1)*a))=0;
(%o2) D*(sinh(2*a*n)*(R2+R1)-sinh(2*a*(n-1))*R2)+C*(cosh(2*a*n)*(R2+R1)-cosh(2*a*(n-1))*R2)=0

(%i3) solve([e1,e2],[C,D]);

(%o3) [[C=((sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*E*R2+sinh(2*a*n)*E*R1)/((sinh(2*a*n)+cosh(2*a)*
(sinh(2*a*(n-1))-sinh(2*a*n))+sinh(2*a)*(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))-sinh(2*a*(n-1)))*R2^2+(
(-cosh(2*a)*sinh(2*a*n)+2*sinh(2*a*n)+sinh(2*a)*cosh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*R1+
(sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*r)*R2+sinh(2*a*n)*R1^2+sinh(2*a*n)*r*R1),D=-(
(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))*E*R2+cosh(2*a*n)*E*R1)/((sinh(2*a*n)+cosh(2*a)*
(sinh(2*a*(n-1))-sinh(2*a*n))+sinh(2*a)*(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))-sinh(2*a*(n-1)))*R2^2+(
(-cosh(2*a)*sinh(2*a*n)+2*sinh(2*a*n)+sinh(2*a)*cosh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*R1+
(sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*r)*R2+sinh(2*a*n)*R1^2+sinh(2*a*n)*r*R1)]]

ということでC,Dが解けるというのは理解できる。Maximaの解は複雑なので整理して著者の解と同じになるかどうか別途確認が必要である。

電車に乗りながらいろいろ考えたら、他にもまったく違うアプローチで解けそうな予感もしてきた。それはまた別の機会に。

いずれにせよこうした問題を直流回路の段階でやるというのは躓きの元かもしれない。漸化式の境界値問題とかを扱っている参考書はほとんど皆無だし、数学的にも昔から応用数学ということで扱われ工学系とかの学生が少しかじる程度の末端の分野である。

国会図書館とかの蔵書を探せばなにか見つかるかもしれないが、そんな時間と出かける余裕は無い。

数値シミュレーションとかを扱う人には避けて通れない数学的、工学的な問題でもあるので、今もこれと決まった解き方があるわけでもなさそうである。微分方程式においてもすべての微分方程式に適用できる解法が無いのと似ている。

境界値問題も境界（インタフェース）部分の式を立てることが出来れば解けるので、式が立てられるような応用であればそれなりに解くことが出来ると思われる。

式が立てられないような複雑で膨大なネットリストとかについては数式処理システムで解くのは限界がある。それ専用の行列演算を高速で行うようなシステムが必要である。

どうやらこの問題は数学的には微分方程式の境界値問題というらしい。

普通の数学の授業では微分方程式の一般解を求めるところまでしか教わらない。一般解は定数項を含んだままなので、定数項によって実際の解は無限のパターンを取り得る。それでは数学的には解けたと行っても実用上は解けたことにならない。

微分方程式を現実問題に当てはめて解くには、定数項を確定しなければならない。それが境界値問題ということになり、いわゆる物理学とか熱伝導、電子回路での計算シミュレーションの分野で課題とされるところである。

前の問題では境界条件が与えやすかった。

今度の問題は片方の境界条件（電源端の電流）がもう片方の境界条件（回路の末端の電流）がわからないと定まらないし、逆も真なりで難しい。

これを解くには方法がいくつかあるようで、微分方程式の境界値問題で調べるといくつか見つかる。

著者はその中で差分法というのを利用していることが最後に用いているΔの記号でわかる。

しかしこの差分法がまた唐突的に用いられると理解しがたい。

手持ちの数学公式集にはなんとか差分法による解法の説明があるが記述が短いのでそれだけでは私には理解することが出来ない。

著者がやっていることはたぶんそれを応用しているのだろうと思われる。

数学の授業でも普通ここまでやるのはよほど学生が優秀で理解が早く進んで時間を持てあました時とかぐらいかもしれない。市販の微分方程式の解き方を解説した参考書を見ても境界値問題まで触れているのは少ない。たぶん普通は試験の範囲がそこまで広くないという現状を反映しているのだろう。

もう少し探求してみればある日突然理解できるのかもしれない。

またまた疑惑的な記述を発見

著者の解の真ん中で

「の関係を用いて、式(14.5)、(1.46)を整理する。...」

とあるが、式(14.5)、(1.46)ってどれだ？

そんな式は無い。解答では式には(a)、(b)、...とアルファベットしか付けられていない。(ss.nn)が付いているのは章の始めの理論の説明に出てくる式だけだ。しかもssは章番号だし、14章なんて章はこの本には存在しない。もちろん第１章は(1.26)が最後に現れる式である。それ以降は無い。おそらく(1.46)は(14.6)の単純な誤植だろう。それに整理する対象の２式はおそらく(d)で示される２式だろう。ということはこの記述は本来は

「の関係を用いて、式(d)を整理する。...」

とすべきだと思う。

これは模範解答としては酷すぎる。著者も校正をまじめにしていなかったと思われる。もしかして自分で解いた解ではないのかもしれないとまで思えてくる。参考にした原典があって、それを著者なりにアレンジして内容を書き換えたが、式の採番を変えた際に式を参照する記述を直すのを忘れてしまったと推測される。

この本の解答はかなり詳細なステップまで説明されているが、それでもかなり式と式の間の操作の経過が省略されているので、なぜこうなるのか自分で確かめてみないと信じられない程である。

姉妹本の詳解電磁気学演習にも同じ内容の問題と解が載っているが、そちらは極めて簡潔な内容となり、詳細なステップは省略されているが内容的には首尾一貫している。またそれ以外にも漸化式を用いる問題が載っている。

これはやはり自分で解くしかないな。

またまた本の誤植を発見

2+R1/R2=2+4sinh^2α=2(1+2sinh^2α)=1+2((e^α-e^-α)/2)^2=1+((e^2α-2+e^-2α)/2)=(e^2α+e^-2α)/2=cosh2α

て本には書いてあるけど、式の途中で２の倍数の項が無くなってしまっている。本当は以下が正しいはず

2+R1/R2=2+4sinh^2α=2(1+2sinh^2α)=2(1+2((e^α-e^-α)/2)^2)=2(1+((e^2α-2+e^-2α)/2))=2((e^2α+e^-2α)/2)=2cosh2α

そうでないとその後に書き換えた漸化式と辻褄が合わなくなる。

最初に立てた漸化式

I[k+1]=I[k]*(R1/R2+2)-I[k-1]

を変形して

I[k+1] - Ik*(R1/R2+2) + I[k-1] = 0

とすると特性方程式は

x^2 - (R1/R2+2)*x + 1 = 0

ということになる。

これを解くと

(%i14) solve(x^2-(R1/R2+2)*x+1=0,x);
(%o14) [x=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/(2*R2),x=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/(2*R2)]

なにやら見覚えのある内容の解が得られた。

Maximaのsolve_recも内部では特性方程式を使って解いているのかもしれない。

やはり著者の解法を研究するしかないのか。

体調が悪い中寝床に横になりながら眠れずにこの問題のことを考えていた。

最初に立てた漸化式

(I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2

これを展開すると

I[k-1]*R2 - I[k]*R2 = I[k]*R1 + I[k]*R2 - I[k+1]*R2

I[k-1]*R2 = I[k]*(R1 + 2*R2) - I[k+1]*R2

これを整理すると

I[k+1]*R2 = I[k]*(R1 + 2*R2) - I[k-1]*R2

両辺をR2で割ると

I[k+1] = I[k]*(R1/R2 + 2) - I[k-1]

ということで著者の解法でもこれと同じ漸化式を導いているのでこれはこれで合っている。

あとA端とB端についても

E=r*I[0]+R1*I[0]+R2*(I[0]-I[1])

R2*(I[n-1]-I[n])=R1*I[n]

というのは容易に導ける。

著者の場合は特性方程式を使った微分方程式の解法に似たような感じで魔法の様に解いてしまっている。解答例に出てくる式が唐突過ぎてなぜそれらが導かれるのかまったく理解不能である。

まあ、IQが低い自分が悪いのだけども。

微分方程式の解に双曲線関数が出てくるというのも珍しい。数学公式集にもあることにはあるが、解き方までは書いていない。

この問題は先の問題５８、５８と同様に姉妹本の電磁気学演習にも出てくるが、微妙に使われている記号が違っていて書かれている式も異なるが意味はまったく同一である。この問題はおそらくどこかに出典があるのだろうけど、著者は憶えていないという理由で一切参考図書を明らかにしていない。もしかして著作権上問題があるのではないかと勘ぐってしまうが、おそらく古い文献や論文とかで数十年もたっているから問題ないか、オリジナルがどこからきたのか著者も知らないのかもしれない。こういうのは日本の場合問題だと思う。先駆者が居たからこの問題が後生に伝えられたのに先駆者の名前が忘れられているというのは悲しい。たぶん外国人だから、敵国だからということで名前は伏せられたのかもしれない。だとしたらまったく恥ずかしい話である。北米の電気回路の参考書には所々に先駆者の顔と小史が解説されている。そういう先駆者を尊敬しその労苦を追体験するというのが大事だということを忘れていないためだろう。日本人も見習って欲しいものである。

脱線してしまったが、この問題の回路のR1と直列にインダクタンスLを、R2と並列にキャパシタンスCを追加すると分布常数回路となる。この回路は分布常数回路からLとCの影響を無視したものと捉えることもできる。まあ、直流で電流に変化が無い場合はLもCも無視できるのであるが。

たぶんこの問題そのものは数学の授業で扱う範囲を遙かに超えている。回路解析には単純なものもあるけど、一見単純そうに見えて恐ろしく複雑なこともあるという一例である。

さて今しばらくいろいろ考えを巡らせてみよう。微分方程式の解き方についても復習しないと。まったく憶えていないというのもひどすぎる。

この問題をクリアできれば、残りは電力と温度係数に関係する簡単な演習だけになる。いよいよ直流回路理論を卒業か。

問題５７と問題５８をクリアして自身満々だったところで待ち受けていたのはそれを粉々に打ち砕くような難問だった(´д` )

著者の図は著者の解法と絡んでいてちょっと誤解を招くような電流の書き方になっている。厳密には以下の通りだ。



問題の趣旨は架線を流れる電流であるが、著者の図では網目電流法に基づいて電流の流れを記載している。実際に漏洩抵抗に流れる電流は隣り合った閉回路を流れる電流の差となる。

この回路もI0から段々と電流値が減っていく指数関数カーブを描くことが直感的に予想される。問題では双曲線関数に式の一部を置き換えた場合の電流値の一般解の予想を証明せよというもの。

別にここで双曲線関数を持ち出さなくても良いのにと思うが、この手の問題は電信方程式とか振動方程式とかにつながるものであるのでそうしたことに慣れるようにという配慮だと思われる。しかし読者は否応がなしに双曲線関数を復学しなければならないことになる。

確かsinhと書いてhyperbolic-sinとか呼ぶはずだったように学生の時の記憶で憶えている。もしかしたらsin-hyperbolicだったかもしれない。いずれにせよHyperbloicというのは双曲線に対する英語である。手元の数学公式集を見てもsinhという記号は双曲線正弦という意味しか説明されておらず、数学辞典でも引かない限り読み方は書いていない。このあたりが日本の数学教育の破綻している点である。あるところまでは日本固有の呼称を押しつけておきながら記号は欧米のまま流用、読み方は口伝でしか教えないという。たぶん数学の授業を受けないと、実際にどう読むのかは教わる機会はないだろう。

双曲線関数は三角関数と相似的な名前が付けられている。これはその数学的な性質が三角関数と相似していることによる。普通は三角関数を学んだ後に双曲線関数もついでに習っているはずである。かろうじて記憶に残っているが、詳しいことはほとんど忘れている。

さて本題にもどって、上図の回路から、k段目の閉回路についてキルヒホッフの法則によって以下の式が成り立つ。

(I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2

これは漸化式なのでそのまま解いてみると

(%i7) solve_rec((I[k-1]-I[k])*R2=I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2,I[k]);
(%o7) I[k]=(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k)/2^k+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^k)/2^k

恐ろしく複雑な式が現れる。初期条件を与えることが出来れば解けるのだが、回路からわかる通り容易には初期条件は得られない。

もう一つの設問を忘れていた。

各ブリッジ抵抗Rkの両端の電圧Ekの一般解を導かなければいけない。

これも著者の解答例は唐突的で理解しがたいものがある。「これが瞬時に理解できないIQの低い者はとっとと失せろ」という著者のメッセージが秘められてなくもない。

著者の解き方はいずれじっくり理解するとして、自分なりに解いてみよう。

これも漸化式が立てられる。k段目の閉回路で先の設問と同じようにキルヒホッフの法則から

Ek = (n-k)*I*R + Ek+1 + (n-k)*I*R
= 2*(n-k)*I*R + Ek+1

これをMaximaで解くと

(%i1) load("solve_rec")$
(%i2) solve_rec(E[k]=2*(n-k)*I*R+E[k+1],E[k]);
(%o2) E[k]=%k[1]-k*(2*n-k+1)*I*R

ということで初期項(%k[1])が未知数のままである。

そこで初期条件としてE0=Eを与えると

(%i3) solve_rec(E[k]=2*(n-k)*I*R+E[k+1],E[k],E[0]=E);
(%o3) E[k]=E-k*(2*n-k+1)*I*R

見事に著者と同じ答えた一発で得られた。

なんだ簡単じゃないか（´∀｀　）

いろいろ検索していたらMaximaでも漸化式が解けることを発見。

漸化式とは英語でrecurrencesという。これを解くためのオプションのパッケージがあるのでそれをロードして使用する。

(%i1) load("solve_rec")$

ここで漸化式と求める一般解を与えて解かせると、

(%i2) solve_rec(R[k]=2*R*(n-k)+R[k+1],R[k]);
(%o2) R[k]=%k[1]-k*(2*n-k+1)*R

という具合に初期項(%k[1])が未知なまま残ってしまう。

そこでR[n]=Rという初期条件を与えてやり直すと

(%i3) solve_rec(R[k]=2*R*(n-k)+R[k+1],R[k],R[n]=R);
(%o3) R[k]=(n^2+n+1)*R-k*(2*n-k+1)*R

と解けた模様。これを因数分解すると

(%i4) factor(%);
(%o4) R[k]=(n^2-2*k*n+n+k^2-k+1)*R

Maximaではここまでが限界、これを手で因数分解すれば

R[k]=((n-k)^2+(n-k)+1)*R

ということになり、著者と同じ答えが得られた。

これで良しとしよう（´∀｀　）

前の問題５７もそうだが著者の解法は理解できないところがある。

問題５８の解き方に至っては途中が説明されていないので突然つながりの無い式が出てきてしまっている。

漸化式や差分方程式の参考書を見つけて買って読んでみたものの、著者のような解き方はどこにも書いていない。

漸化式に至ってはどれも初期項が予め与えられている場合しか載っていない。

しかしここで挫折していてはまだ入り口で引き返すことを意味する。

だいぶ久々に八重洲ブックセンターに足を運んでみた。昔と変わっていなくてほっとした。日本橋の丸善はまったく新しくなってしまったものの扱う書籍が少なくなってしまってがっかりだったが、ここはまだ８Ｆで洋書の専門書を扱っている。

電気回路の本を見てみたら日本で出版されている電気回路の教科書とかなり内容が違うのに気づいた。

直流回路を最初にやるのは一緒だが、日本の教科書はどれも次ぎに交流回路を学ぶことになるが、外国ではオペアンプ回路が出てくる。それから交流回路という具合。交流回路の部分も日本の本だと三角関数の公式とかがいきなり出てきて数学の本かと間違う程だが、外国のはなるべく数学の知識が無くても扱えるものを最初に憶えてしまうという感じ。

当然ながら漸化式とか差分方程式を扱うような直流回路の演習問題などは無い。

日本の本でも漸化式を解く問題５７とかを載せている本は少ない。どれも直流回路はオームの法則とキルヒホッフの法則を理解したら十分で、本命は交流回路だと言わんばかりに直流回路のページ数は少ない。交流回路は普段使っている商用電源とかで密接に関連しているし、電気工事とかでは必須の知識であるからだろう。抵抗だけの直流回路は交流回路として扱っても同じなので後からいくらでも細かいことは勉強する時間があるということなのかもしれない。

たぶん高校で漸化式を教えなくなってからは、漸化式を扱う電気回路は大学でも教え辛くなったのかもしれない。

さて著者の解法をどうやって理解するかが問題だ。