著者はどうもエネルギーの式をいきなり説明も無く書いている。

どの本にも磁気エネルギーは

wL=(1/2)*L*I^2=(1/2)I*Φ

とだけ書いているのみである。Φは磁束でL*Iとして定義される。

この理屈を知ろうとするとどうやら電磁気学の世界に足を踏み入れないといけないらしい。電気の歴史ではどちらかというと電磁気学の方が歴史が古い。

いずれ電磁気学も学ぶとしてそれまで保留しておこう。

インダクタンスに蓄えられる磁気エネルギーは

i=Em*sin(ωt+θ-π/2)/(ω*L)

とすると

wL=(1/2)*L*(Em*sin(ωt+θ-π/2)/(ω*L))^2
=(1/2)*L*(-Em*cos(ωt+θ)/(ω*L))^2
=(1/2)*Em^2*cos(ωt+θ)^2/(ω^2*L)

ここで三角関数の公式

cos(2A)=2cos(A)^2-1

より

wL=(1/2)*Em^2(1+cos(2ωt+2θ))/(2*ω^2*L)

これはどうも参考書に書いてある式とは似てもにつかない。原因は電圧の式に基づいているからである。

インダクタンスを流れる電流は

|I|=Im*sin(ωt+θ-π/2)

と表すことができる。一方

|I|=Em*sin(ωt+θ-π/2)/(ω*L)

なので２式は等しいことから

Im*sin(ωt+θ-π/2)=Em*sin(ωt+θ-π/2)/(ω*L)

これより

Im=Em/(ω*L)

従って先の磁気エネルギーの式をImを使って書き換えると

wL=(1/2)*L*Im^2*(1+cos(2ωt+2θ))/2

ここで

|I|=Im/sqrt(2)

であることから

wL=(1/2)*L*|I|^2*(1+cos(2ωt+2θ))

ようやく著者と同じ式が導けた。

今度はキャパシタンス(C)に蓄えられる静電エネルギーは

wC=(1/2)*C*e^2

と定義されているので

e=Em*sin(ωt+θ)

を代入すると

wC=(1/2)*C*(Em*sin(ωt+θ))^2=(1/2)*C*Em^2*sin(ωt+θ)^2

ここで三角関数の公式

cos(2A)=1-2sin(A)^2

より

wC=(1/2)*C*Em^2*sin(ωt+θ)^2=(1/2)*C*Em^2*(1-cos(2ωt+2θ))/2
=(1/4)*C*Em^2(1-cos(2ωt+2θ))

ここで

|E|=Em/sqrt(2)

なので

wC=(1/2)*C*|E|^2*(1-cos(2ωt+2θ))

と同じ式が得られる。

今度は磁気エネルギーの時間平均を求めると

WL=Integral((1/2)*L*|I|^2*(1+cos(2ωt+2θ)),t,0,T/2)/(T/2)

cos(2ωt+2θ)項は平均すると0になるのは明らか。従って

WL=(1/2)*L*|L|^2

静電エネルギーの時間平均は

WC=Integral((1/2)*C*|E|^2*(1-cos(2ωt+2θ)),t,0,T/2)/(T/2)

同様にcos(2ωt+2θ)項は平均すると0

WC=(1/2)*C*|E|^2