角速度、周波数、位相についての認識を確かめる問題に代わって今度は正弦波の合成に関する認識を確かめる問題。

引用：

三角関数の合成の問題である。

(1)の場合、

i=i1+i2=Im*sinωt+Im*cosωt=Im*(sinωt+cosωt)

三角関数の公式

sinA+cosA=sqrt(2)*sin(π/4+A)

により

i=sqrt(2)*Im*sin(ωt+π/4)

著者は三角関数の加法定理の公式を適用できるように式を変形している。

(2)の場合、

i=i1+i2=Im*sinωt+Im*sin(ωt-π/2)=Im*(sinωt+sin(ωt-π/2))
=Im*(sinωt-cosωt)

ここで三角関数の公式

cosA-sinA=sqrt(2)*sin(π/4-A)=sqrt(2)*cos(π/4+A)

により

i=-sqrt(2)*Im*cos(ωt+π/4)
=sqrt(2)*Im*sin(ωt-π/2+π/4)
=sqrt(2)*Im*sin(ωt-π/4)

(3)の場合、

これはややこしいので検討中

i=i1+i2+i3=Im1*sin(ωt+θ1)+Im2*sin(ωt+θ2)+Im3*sin(ωt+θ3)

三角関数の加法定理

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

をつかって３つのsinをそれぞれ置き換えると

i=Im1*(sin(ωt)cos(θ1)+cos(ωt)sin(θ1))+Im2*(sin(ωt)cos(θ2)+cos(ωt)sin(θ2))+Im3*(sin(ωt)cos(θ3)+cos(ωt)sin(θ3))
=(Im1*cos(θ1)+Im2*cos(θ2)+Im3*cos(θ3))*sin(ωt)+(Im1*sin(θ1)+Im2*sin(θ2)+Im3*sin(θ3))*cos(ωt)

ここで

Ima=Im1*cos(θ1)+Im2*cos(θ2)+Im3*cos(θ3)
Imb=Im1*sin(θ1)+Im2*sin(θ2)+Im3*sin(θ3)
Im=sqrt(Ima^2+Imb^2)
sin(θ)=Imb/Im
cos(θ)=Ima/Im
tan(θ)=Ima/Imb

と置くと三角関数の合成定理により

i=Ima*sin(ωt)+Imb*cos(ωt)=Im*((Ima/Im)*sin(ωt)+(Imb/Im)*cos(ωt))
=Im*(cos(θ)sin(ωt)+sin(θ)cos(ωt))

三角関数の加法定理により

i=Im*sin(ωt+θ)

θ=arctan(Ima/Imb)

となる。

(4)も同様に

i=i1+I2+i3+...+iN=Im1*sin(ωt+θ1)+Im2*sin(ωt+θ2)+Im3*sin(ωt+θ3)+...+ImN*sin(ωt+θN)
=Im1*(sin(ωt)cos(θ1)+cos(ωt)sin(θ1))+Im2*(sin(ωt)cos(θ2)+cos(ωt)sin(θ2))+...+ImN*(sin(ωt)cos(θN)+cos(ωt)sin(θN))
=(Im1*cos(θ1)+Im2*cos(θ2)+...+ImN*cos(θN))*sin(ωt)+(Im1*sin(θ1)+Im2*sin(θ2)+...+ImN*sin(θN))*cos(ωt)

Ima=Σ(Imn*cos(θn)) (n=1,2,...,N)
Imb=Σ(Imn*sin(θn)) (n=1,2,...,N)
Im=sqrt(Ima^2+Imb^2)
sin(θ)=Imb/Im
cos(θ)=Ima/Im
tan(θ)=Imb/Ima

と置くと

i=Ima*sin(ωt)+Imb*cos(ωt)
=Im*((Ima/Im)*sin(ωt)+(Imb/Im)*cos(ωt))
=Im*(cos(θ)*sin(ωt)+sin(θ)cos(ωt))

三角関数の加法定理により

i=Im*sin(ωt+θ)

θ=arctan(Imb/Ima)

と表すことが出来る。

今度は具体的な式が与えられた２つの同一周波数の正弦波交流の合成

e1=10*sin(ωt+π/3)
e2=20*sin(ωt+π/6)

この２つを合成する

e1=Im1*sin(ωt+θ1)
e2=Im2*sin(ωt+θ2)

の合成した瞬時値eは前の問題で解いた通り

Ima=Σ(Imn*cos(θn)) (n=1,2)
Imb=Σ(Imn*sin(θn)) (n=1,2)
Im=sqrt(Ima^2+Imb^2)
θ=arctan(Imb/Ima)

と置くと

e=Im1*sin(ωt+θ1)+Im2*sin(ωt+θ2)
=Im*sin(ωt+θ)

であり従って題意よりIm1=10,Im2=20,θ1=π/3,θ2=π/6なのでそれぞれ代入すると

Ima=Im1*cos(θ1)+Im2*cos(θ2)=10*cos(π/3)+20*cos(π/6)

(%i1) 10*cos(%pi/3)+20*cos(%pi/6);
(%o1) 10*sqrt(3)+5

従って

Ima=10*sqrt(3)+5

Imb=Im1*sin(θ1)+Im2*sin(θ2)=10*sin(π/3)+20*sin(π/6)

(%i3) 10*sin(%pi/3)+20*sin(%pi/6);
(%o3) 5*sqrt(3)+10

従って

Imb=5*sqrt(3)+10

Im=sqrt(Ima^2+Imb^2)=sqrt((10*sqrt(3)+5)^2+(5*sqrt(3)+10)^2)

(%i7) sqrt((10*sqrt(3)+5)^2+(5*sqrt(3)+10)^2);
(%o7) sqrt((10*sqrt(3)+5)^2+(5*sqrt(3)+10)^2)
(%i8) factor(%);
(%o8) 10*sqrt(2*sqrt(3)+5)
(%i9) float(%), numer;
(%o9) 29.09312911176409

Im=29.1

θ=arctan(Imb/Ima)=arctan((5*sqrt(3)+10)/(10*sqrt(3)+5))

(%i10) atan((5*sqrt(3)+10)/(10*sqrt(3)+5));
(%o10) atan((5*sqrt(3)+10)/(10*sqrt(3)+5))
(%i11) float(%), numer;
(%o11) 0.69631814032434

従って

e=29.1sin(ωt+0.696)

と表すことができる。

著者の解答を見たら解説のページで最初に導出した２つの正弦波の合成公式の方を用いていた。

今度は同一周波数の２つの正弦波電流の間の位相差がπ[rad]の場合に合成された正弦波電流の実効値がもとの２つの正弦波電流の実効値の差に等しいことと示せというもの。

位相差がπということは180度違うということである。すなわちまったく正反対の極性を持っていることを意味する。



それがわかれば答えは自明なのだけどちゃんと証明する必要がある。

i1=Im1*sin(ωt+θ)
i2=Im2*sin(ωt+θ+π)

の二つの正弦波電流を合成することを考える。

i=i1+i2=Im1*sin(ωt+θ)+Im2*sin(ωt+θ+π)

三角関数の加法定理を利用して式を展開すると

i=Im1*(sin(ωt)cos(θ)+cos(ωt)sin(θ))+Im2*(sin(ωt)cos(θ+π)+cos(ωt)sin(θ+π))
=(Im1*cos(θ)+Im2*cos(θ+π))*sin(ωt)+(Im1*sin(θ)+Im2*sin(θ+π))*cos(ωt)

ここで

Ima=Im1*cos(θ)+Im2*cos(θ+π)
Imb=Im1*sin(θ)+Im2*sin(θ+π)
Im=sqrt(Ima^2+Imb^2)
sin(φ)=Imb/Im
cos(φ)=Ima/Im
tan(φ)=Imb/Ima

とすると三角関数の合成定理により

i=Im*((Ima/Im)*sin(ωt)+(Imb/Im)*cos(ωt))
=Im*(cos(φ)*sin(ωt)+sin(φ)*cos(ωt))
=Im*sin(ωt+φ)

φ=arctan(Imb/Ima)

と表すことができる。

ここで問題になっている振幅の実効値をIとすると

I=Im/sqrt(2)

ということになる。従ってIは

I=sqrt(Ima^2+Imb^2)/sqrt(2)
=sqrt((Im1*cos(θ)+Im2*cos(θ+π))^2+(Im1*sin(θ)+Im2*sin(θ+π))^2)/sqrt(2)
=sqrt((Im1^2*cos(θ)^2+2*Im1*Im2*cos(θ)*cos(θ+π)+Im2^2*cos(θ+π)^2)+(Im1^2*sin(θ)^2+2*Im1*Im2*sin(θ)*sin(θ+π)+Im2^2*sin(θ+π)^2)/sqrt(2)

(%i5) I=sqrt((Im1*cos(s)+Im2*cos(s+%pi))^2+(Im1*sin(s)+Im2*sin(s+%pi))^2)/sqrt(2);
(%o5) I=sqrt((Im1*sin(s)-Im2*sin(s))^2+(Im1*cos(s)-Im2*cos(s))^2)/sqrt(2)
(%i6) factor(%);
(%o6) I=(abs(Im2-Im1)*sqrt(sin(s)^2+cos(s)^2))/sqrt(2)
(%i8) trigreduce(I=(abs(Im2-Im1)*sqrt(sin(s)^2+cos(s)^2))/sqrt(2));
(%o8) I=abs(Im2-Im1)/sqrt(2)

すなわち

I=|Im2-Im1|/sqrt(2)=|Im2/sqrt(2)-Im1/sqrt(2)|
=|I2-I1|

ということで２つの正弦波電流の実効値I1,I2の差であることが証明された。

今度は周波数が異なるが極めて近い２つの正弦波交流を合成する場合に振幅がゆっくり変動するうなり現象が見られることを示せというもの。



以下の同じ振幅でわずかに異なる角速度を持つ正弦波電流を合成すると

i1=Im*sin(ω1*t)
i2=Im*sin(ω2*t)

i=i1+i2=Im*(sin(ω1*t)+sin(ω2*t))

三角関数の公式

sinA+sinB=2*sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

により

i=Im*(2*sin((ω1+ω2)*t/2)*cos((ω1-ω2)*t/2))

Δω=(ω1-ω2)/2
ω=(ω1+ω2)/2

と置くと

i=2*Im*sin(ω*t)*cos(Δω*t)

と表すことが出来る。これは角速度ωの正弦波の振幅が角速度Δωというゆっくりとした周波数で変化することを意味している。

このことから異なる周波数の正弦波の足し算をすると互いの周波数の和の半分の周波数の正弦波と差の半分の周波数の正弦波の掛け算になることがわかる。これは以前に導いた異なる周波数の正弦波の乗算が互いの周波数の和と差の正弦波の合成になることと相似している。よく考えれば三角関数の公式の右から左への変換とその逆の変換の違いでしかない。

この問題は既に理論のところでやってしまったのでパス。

２つの正弦波電圧から合成された正弦波電圧の実効値が元の正弦波の実効値の和を超えないことを示せという問題。

当たり前なのだが証明は必要である。

e1=Em1*sin(ωt+θ1)
e2=Em2*sin(ωt+θ2)

の２つの正弦波電圧から合成される正弦波電圧の振幅は

Em=sqrt(Em1^2+Em2^2+2*Em1*Em2*cos(θ1-θ2))

であることからそれぞれの実効値E1,E2,Eが

Em1=sqrt(2)*E1
Em2=sqrt(2)*E2
E=Em/sqrt(2)

という関係にあることから代入すると

E=sqrt((sqrt(2)*E1)^2+(sqrt(2)*E2)^2+2*(sqrt(2)*E1)*(sqrt(2)*E2)*cos(θ1-θ2))/sqrt(2)
=sqrt(2*E1^2+2*E2^2+4*E1*E2*cos(θ1-θ2))/sqrt(2)
=sqrt(2*(E1^2+E2^2+2*E1*E2*cos(θ1-θ2))/sqrt(2)
=sqrt(2)*sqrt(E1^2+E2^2+2*E1*E2*cos(θ1-θ2))/sqrt(2)
=sqrt(E1^2+E2^2+2*E1*E2*cos(θ1-θ2))

また

cos(θ1-θ2)≦1

であるので

E=sqrt(E1^2+E2^2+2*E1*E2*cos(θ1-θ2)) ≦ sqrt(E1^2+E2^2+2*E1*E2)=E1+E2

E≦E1+E2

であることが証明された。

今までは同一周波数の正弦波の合成を扱ってきたが、今度は周波数が異なる正弦波を合成した場合、その実効値が

|E|=sqrt(|E1|^2+|E1|^2)

となることを示せというもの。

最初周波数が異なっていても正弦波同士を合成したら正弦波が出てくるものとばっかり思って解いてみたら見事にはまった。

実は周波数の異なる正弦波を合成した場合には正弦波にはならないのである。

実効値は簡単に求めることができる。

e1=sqrt(2)*|E1|*sin(ω1*t+θ1)
e2=sqrt(2)*|E2|*sin(ω1*t+θ2)

とした場合、その合成した瞬時値は

e=e1+e2
=sqrt(2)*|E1|*sin(ω1*t+θ1)+sqrt(2)*|E2|*sin(ω2*t+θ2)
=sqrt(2)*(|E1|*sin(ω1*t+θ1)+|E2|*sin(ω2*t+θ2))

ここで

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)
sin(θ)=|E1|/|E|
cos(θ)=|E2|/|E|
tan(θ)=|E1|/|E2|

と置くと

e=sqrt(2)*|E|*((|E1|/|E|)*sin(ω1*t+θ1)+(|E2|/|E|)*sin(ω2*t+θ2))
=sqrt(2)*|E|*(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2))

θ=arctan(|E1|/|E2|)

となり合成された実効値は

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)

で表されることが導かれる。

謎なのが三角関数の項

(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2))

これはどう煮ても焼いても単一の正弦波の式にはならない。

著者の解法は律儀に瞬時値の二乗平均を求めている。

確認のために自分で導いた瞬時値の式を二乗平均して確かめてみよう。

e^2=(sqrt(2)*|E|*(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2)))^2
=2*|E|^2*(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2))^2
=2*|E|^2*(cos(θ)^2*sin(ω2*t+θ2)^2+2*cos(θ)*sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)*sin(ω2*t+θ2)+sin(θ)^2*sin(ω1*t+θ1)^2)

三角関数の公式

cos2A=cosA^2-sinA^2=2cosA^2-1=1-2sinA^2

より

cosA^2=(1+cos2A)/2
sinA^2=(1-cos2A)/2

を適用して書き換えると

e^2=2*|E|^2*(((1+cos(2θ)/2)*((1-cos(2*(ω2*t+θ2)))/2)+2*cos(θ)*sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)*sin(ω2*t+θ2)+((1-cos(2θ))/2)*((1-cos(2*(ω1*t+θ1)))/2))
=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-cos(2θ)*cos(2*(ω2*t+θ2)))/4+2*cos(θ)*sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)*sin(ω2*t+θ2)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+cos(2θ)*cos(2*(ω1*t+θ1)))/4)

三角関数の公式

2cosAcosB=cos(A-B)+cos(A+B)
2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)
sin2A=2sinAcosA
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

により

e^2=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-(cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2)))/2)/4+2*((sin(2θ)/2)*((cos((ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))-cos((ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/2)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+(cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1)))/2)/4)

=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-(cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2)))/2)/4+2*((sin(2θ)*cos((ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))-sin(2θ)*cos((ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/4)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+(cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1)))/2)/4)

=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-(cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2)))/2)/4+2*(((sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/2-(sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/2)/4)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+(cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1)))/2)/4)

=|E|^2*(1/2-cos(2*(ω2*t+θ2))/2+cos(2θ)/2-cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))/4+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2))/4+2*sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+2*sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))-sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))/4+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))/4+1/2-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)/2+cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))/4+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1))/4)

=|E|^2*(1-cos(2*(ω2*t+θ2))/2+cos(2θ)/2-cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))/4+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2))/4+2*sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+2*sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))-sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))/4+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))/4-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)/2+cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))/4+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1))/4)

=|E|^2-|E|^2*(cos(2*(ω2*t+θ2))/2+cos(2θ)/2-cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))/4+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2))/4+2*sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+2*sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))-sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))/4+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))/4-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)/2+cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))/4+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1))/4)

ということになり、上記を積分すると最初の|E|^2の項を除いては他はsinとcosとの積であるため定積分すると0となり消えることは明らか。

従ってこの解き方でも

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)

で正しいことになる。

いずれにしても周波数が違う正弦波の合成もベクトルの加算として扱うことができるという点が興味深い。角速度が違うベクトルを加算するということはどういうことなのか想像が付かないが。一方の回転するベクトルの先端を中心点にもう一方のベクトルがぐるぐる回転するのを想像すれば良いのかもしれない。

同様に周波数と振幅の異なる２つの正弦波電圧を合成した以下の瞬時値の式から実効値を計算する問題。

e=10*sqrt(2)*sin(ωt)+5*sqrt(2)*sin(3ωt+π/5)

既に前の解で導いた通り

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)

なので問題の式ではE1=10,E2=5と与えられているので

|E|=sqrt(10^2+5^2)

(%i10) sqrt(10^2+5^2);
(%o10) 5^(3/2)
(%i11) float(%), numer;
(%o11) 11.18033988749895

|E|=11.2 [V]

と導かれる。

著者の解ではこれに飽きたらず、瞬時値の式を二乗平均して同じ答えが得られることを示している。既に前の問題で代数的に証明しているのでパス。著者は微分と積分がお好きなようだ。

今度は同一周波数で位相差が90度の２つの正弦波電圧を合成した場合の実効値を求めよというもの。

これも既に代数的に求めた異なる周波数と位相の正弦波を合成した場合の実効値の式が適用可能である。実効値は周波数や位相にまったく依存しないで決まる。

|E1|=4 [V]
|E2|=3 [V]

と与えられた場合、それぞれの周波数や位相と無関係に

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)
=sqrt(4^2+3^3)

(%i12) sqrt(4^2+3^2);
(%o12) 5

|E|=5 [V]

と計算できる。

今度も実効値を求める問題だが、正弦波ではなく与えられた鋸状の繰り返し波形に関するもの。

正弦波の場合は予め代数的に振幅をsqrt(2)で割ったものが実効値と等しいことになる。ただし正弦波以外ではこのルールは適用できない。

実効値の定義は元々それと同じ直流電圧を与えた場合と負荷で消費される電力が等しいというもので、電力を計算する際に自ずと電圧の二乗平均を求めることになるので、実質的には振幅の二乗平均が実効値ということになる。

従って問題を解くには与えられた波形の繰り返される一周期に対して瞬時値の二乗平均を求めれば良いことになる。

一周期T内では瞬時値は以下のように表される

T=4

(t mod T)が

0〜1の間はe(t)=10t
1〜2の間はe(t)=10
2〜3の間はe(t)=10*(t-1)
3〜4の間はe(t)=0

|E|=sqrt((∫(10t)^2dt+∫(10)^2dt+∫(10*(t-1))^2dt+∫(0)^2dt)/4)

(%i23) sqrt((integrate((10*t)^2,t,0,1)+integrate((10)^2,t,1,2)+integrate((10*(t-1))^2,t,2,3)
+integrate((0)^2,t,3,4))/4);
(%o23) (5*sqrt(11))/sqrt(3)
(%i24) float(%), numer;
(%o24) 9.574271077563381

|E|=9.57 [V]

ということになる。