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webadm | 投稿日時: 2008-1-3 0:15 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
問題40:RLC混成回路の力率 次ぎの問題は抵抗とコンデンサとインダクタンスが混じった回路の力率を求めるもの
回路の力率は回路のインピーダンスの偏角をφとした場合にcosφで表されるので、回路の合成インピーダンスがわかれば、 cosφ=R/|Z| で表される。Rはインピーダンスの実効抵抗値、|Z|はインピーダンスの絶対値である。 回路の合成インピーダンスを求めると Z=R1+jωL1+1/(jωC+1/(R2+jωL2)) 面倒なのでMaximaで (%i28) Z=R1+%i*o*L1+1/(%i*o*C+1/(R2+%i*o*L2)); (%o28) Z=1/(1/(R2+%i*o*L2)+%i*o*C)+R1+%i*o*L1 (%i29) rectform(%); (%o29) Z=%i*(o*L1-(o*C-(o*L2)/(R2^2+o^2*L2^2))/((o*C-(o*L2)/(R2^2+o^2*L2^2))^2+R2^2/(R2^2+o^2*L2^2)^2))+R2/((R2^2+o^2*L2^2)*((o*C-(o*L2)/(R2^2+o^2*L2^2))^2+R2^2/(R2^2+o^2*L2^2)^2))+R1 (%i30) factor(%); (%o30) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2+%i*o^3*C^2*L1*R2^2-%i*o*C*R2^2+R2+o^4*C^2*L2^2*R1-2*o^2*C*L2*R1+R1+%i*o^5*C^2*L1*L2^2 -%i*o^3*C*L2^2-2*%i*o^3*C*L1*L2+%i*o*L2+%i*o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1) (%i31) trigreduce(%); (%o31) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o^3*C^2*L1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(%i*o*C*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1) +R2/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(o^4*C^2*L2^2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(2*o^2*C*L2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+ R1/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o^5*C^2*L1*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(%i*o^3*C*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)- (2*%i*o^3*C*L1*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1) (%i32) rectform(%); (%o32) Z=%i*((o^3*C^2*L1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(o*C*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+ (o^5*C^2*L1*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(o^3*C*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(2*o^3*C*L1*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+ (o*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1))+(o^2*C^2*R1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+ R2/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(o^4*C^2*L2^2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(2*o^2*C*L2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+ R1/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1) (%i33) factor(%); (%o33) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2+%i*o^3*C^2*L1*R2^2-%i*o*C*R2^2+R2+o^4*C^2*L2^2*R1-2*o^2*C*L2*R1+R1+%i*o^5*C^2*L1*L2^2 -%i*o^3*C*L2^2-2*%i*o^3*C*L1*L2+%i*o*L2+%i*o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1) (%i34) rectform(%); (%o34) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2+R2+o^4*C^2*L2^2*R1-2*o^2*C*L2*R1+R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+ (%i*(o^3*C^2*L1*R2^2-o*C*R2^2+o^5*C^2*L1*L2^2-o^3*C*L2^2-2*o^3*C*L1*L2+o*L2+o*L1))/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1) 整理すると Z=(ω^2*C^2*R1*R2^2+R2+ω^4*C^2*L2^2*R1-2*ω^2*C*L2*R1+R1)/(ω^2*C^2*R2^2+ω^4*C^2*L2^2-2*ω^2*C*L2+1)+j(ω^3*C^2*L1*R2^2-ω*C*R2^2+ω^5*C^2*L1*L2^2-ω^3*C*L2^2-2*ω^3*C*L1*L2+ω*L2+ω*L1)/(ω^2*C^2*R2^2+ω^4*C^2*L2^2-2*ω^2*C*L2+1) =(R1*(ω^4*C^2*L2^2-2*ω^2*C*L2+1)+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2)+jω*(ω^2*C^2*L1*R2^2-C*R2^2+ω^4*C^2*L1*L2^2-ω^2*C*L2^2-2*ω^2*C*L1*L2+L2+L1)/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2) =(R1*(ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2)+jω*(L1*(1-ω^2*L2*C)^2+ω^2*C^2*L1*R2^2-C*R2^2+L2*(1-ω^2*C*L2^2))/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2) 従って cosφ=(R1*(ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)/sqrt((R1*(ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)^2+(ω*(1-ω^2*L2*C)^2+ω^2*C^2*L1*R2^2-C*R2^2+L2*(1-ω^2*C*L2^2))^2) ということになる。 |
webadm | 投稿日時: 2008-1-2 22:29 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
問題39:ケルビンの伝送路モデル 次ぎの問題はRとCのラダー回路で出力端の電圧を求めるというもの
これを解くにはやはり最終段のキャパシタに流れる電流を知る必要がある。それには全体を流れる電流を合成インピーダンスと電源電圧から求め、順次出力側へ向かって分流則で割り出していけば計算できないことはない。しかしもはや数段でもこれは大変である。 方程式だけたてて解くのはMaximaでやらせることにしよう。 各抵抗にながれる電流を電源側からI0,I1,I2とすると以下の関係が成り立つ |E1|=I0*R+I1*R+I2*R+|E2| |E1|=I0*R+(I0-I1)/jωC (I1-I2)/jωC=I2*R+|E2| |E2|=I2/jωC この4元連立方程式をI0,I1,I2,E2について解くと (%i10) e1: E1=I0*R+I1*R+I2*R+E2; (%o10) E1=I2*R+I1*R+I0*R+E2 (%i11) e2: E1=I0*R+(I0-I1)/(%i*o*C); (%o11) E1=I0*R-(%i*(I0-I1))/(o*C) (%i12) e3:(I1-I2)/(%i*o*C)=I2*R+E2; (%o12) -(%i*(I1-I2))/(o*C)=I2*R+E2 (%i13) e4: E2=I2/(%i*o*C); (%o13) E2=-(%i*I2)/(o*C) (%i14) solve([e1,e2,e3,e4],[I0,I1,I2,E2]); (%o14) [[I0=(o^3*C^3*E1*R^2-4*%i*o^2*C^2*E1*R-3*o*C*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i),I1=-(%i*o^2*C^2*E1*R+2*o*C*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i),I2=- (o*C*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i),E2=(%i*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i)]] 整理すると E2=j|E1|/(ω^3*C^3*R^3-6*ω*C*R+j(1-5*ω^2*C^2*R^2)) =|E1|/(1-5*ω^2*C^2*R^2+j(6*ω*C*R-ω^3*C^3*R^3)) 著者の解は網目電流法によって各コンデンサを通る3つの閉回路電流に関する方程式をたてて解いた後、最終段のキャパシタに流れる電流にリアクタンスを乗じて電圧を得ている。ここにも誤植があって、Eは本来は題意からすればE1でなければならない。 この回路は電信時代にケルビン卿が伝送路のモデルとして考えていたもので海底電信ケーブルは導体の抵抗とコンデンサだけで出来ていて到底実用にならないと信じていた。後に若い無名の電信技師あがりだったヘビサイドが独学で学んだマクスウェル方程式を応用して電信方程式と呼ばれるLとCによる無損失の伝送路と更に損失を考慮したRLCGモデルの解析を行い、条件によって線路が距離や周波数によらず一定の特性インピーダンスを持ち信号が伝わるという概念を提示したがその手法が斬新なのと学歴が無いためまったく認められなかった。晩年になってやっとケルビン卿がヘビサイドが自分の伝送路モデルを更に改良したという功績をしぶしぶ認めて殿堂入りしたという逸話がある。 電信時代にしてすでに電気を理解するためには高度な応用数学の知識が不可欠あることを奇しくもヘビサイドは体現していたと言える。 |
webadm | 投稿日時: 2008-1-2 21:55 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
問題38:LCラダー回路のインピーダンス 次ぎの問題は趣向が変わってLとCによるラダー回路のインピーダンスを求めよというもの
見る限り段数も少ないのでLとCによる直並列混成回路と見なすことができる。 右端のLC直列回路から順に Z1=XL+XC =jωL+/jωC =j(ωL-1/ωC) =j(ω^2*L*C-1)/ωC それに並列にCが接続されると Z2=1/(1/XC+1/Z1) =1/(jωC+ωC/j(ω^2*L*C-1)) =1/(jωC-jωC/(ω^2*L*C-1)) =-j/(ωC*(1-1/(ω^2*L*C-1))) =-j/(ωC*((ω^2*L*C-2)/(ω^2*L*C-1))) =-j(ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-2)) それにLが直列に接続されると Z3=XL+Z2 =jωL-j(ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-2)) =j(ωL-(ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-2))) =j(ωL*ωC*(ω^2*L*C-2)-(ω^2*L*C-1))/(ωC*(ω^2*L*C-2)) =j(ω^2*L*C*(ω^2*L*C-2)-(ω^2*L*C-1))/(ωC*(ω^2*L*C-2)) =j(ω^4*L^2*C^2-2*ω^2*L*C-ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^2*L*C-2)) =j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^2*L*C-2)) 更にCが並列接続され Z4=1/(1/XC+1/Z3) =1/(jωC+1/(j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^2*L*C-2))))) =1/(jωC+(ωC*(ω^2*L*C-2))/(j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1))) =-j/(ωC-(ωC*(ω^2*L*C-2))/(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)) =-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)-ωC*(ω^2*L*C-2)) =-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1-ω^2*L*C+2)) =-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)) 最後にLが直列に接続 Z=XL+Z4 =jωL-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)) =j(ωL-(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)) =j(ωL*ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)-(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1))/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)) =j(ω^6*L^3*C^3-4*ω^4*L^2*C^2+3*ω^2*L*C-ω^4*L^2*C^2+3*ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)) =j(ω^6*L^3*C^3-5*ω^4*L^2*C^2+6*ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)) ということになる。 Maximaで計算するともっとエレガントに Z=XL+1/(1/XC+1/(XL+1/(1/XC+1/(XL+XC)))) (%i6) Z=%i*o*L+(1/(%i*o*C+1/(%i*o*L+1/(%i*o*C+1/(%i*o*L+1/(%i*o*C)))))); (%o6) Z=1/(1/(1/(1/(%i*o*L-%i/(o*C))+%i*o*C)+%i*o*L)+%i*o*C)+%i*o*L (%i7) factor(%); (%o7) Z=(%i*(o^6*C^3*L^3-5*o^4*C^2*L^2+6*o^2*C*L-1))/(o*C*(o^2*C*L-3)*(o^2*C*L-1)) 分母が更に以下の様に因数分解できることを示している。 Z=j(ω^6*L^3*C^3-5*ω^4*L^2*C^2+6*ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-3)*(ω^2*L*C-1)) この回路は損失の無い線路の電信方程式のモデルである。更に損失を考慮するとLと直列にRがCと並列にGが加わり分布定数回路のモデルになる。 著者の解は全体を流れる電流を連立方程式をたてて行列式で解き、その逆数にEを乗じることでインピーダンスの式を導いている。 |
webadm | 投稿日時: 2008-1-2 4:59 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
問題37:回路間の電圧を求める 次ぎの問題も前問に似た回路間の電圧を求めるもの
RC直列回路とRL直列回路が並列接続されており、回路の中点の電圧を求めるもの これもやり方としては同じでそれぞれの直列回路に流れる電流をI1,I2とすると以下の関係が成り立つ |E|=I1*(R1-jXC) |E|=I2*(R2+jXL) Eab=j(XL*I2+XC*I1) これをI1,I2,Eabについて解くと (%i1) e1:E=I1*(R1-%i*XC); (%o1) E=I1*(R1-%i*XC) (%i2) e2:E=I2*(R2+%i*XL); (%o2) E=I2*(%i*XL+R2) (%i3) e3:Eab=%i*(XL*I2+XC*I1); (%o3) Eab=%i*(I2*XL+I1*XC) (%i4) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Eab]); (%o4) [[I1=-(E*(%i*XL+R2))/(R1*(-%i*XL-R2)+XC*(%i*R2-XL)),I2=(%i*E*XC-E*R1)/(R1*(-%i*XL-R2)+XC*(%i*R2-XL)),Eab=- (%i*E*R1*XL+%i*E*R2*XC)/(R1*(-%i*XL-R2)+XC*(%i*R2-XL))]] (%i5) factor(%); (%o5) [[I1=(E*(%i*XL+R2))/(XC*XL+%i*R1*XL-%i*R2*XC+R1*R2),I2=-(E*(%i*XC-R1))/(XC*XL+%i*R1*XL-%i*R2*XC+R1*R2),Eab= (%i*E*(R1*XL+R2*XC))/(XC*XL+%i*R1*XL-%i*R2*XC+R1*R2)]] (%i6) rectform(%); (%o6) [[I1=(%i*E*(XL*(XC*XL+R1*R2)+R2*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)+(E*(R2*(XC*XL+R1*R2)-XL*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),I2=- (%i*E*(XC*(XC*XL+R1*R2)-R1*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)-(E*(-R1*(XC*XL+R1*R2)-XC*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),Eab= (%i*E*(R1*XL+R2*XC)*(XC*XL+R1*R2))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)+(E*(R1*XL-R2*XC)*(R1*XL+R2*XC))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)]] R1=6 R2=8 XC=8 XL=6 E=100 をそれぞれ代入すると (%i7) R1:6; (%o7) 6 (%i8) R2:8; (%o8) 8 (%i9) XC:8; (%o9) 8 (%i10) XL:6; (%o10) 6 (%i11) E:100; (%o11) 100 (%i12) [[I1=(%i*E*(XL*(XC*XL+R1*R2)+R2*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2) +(E*(R2*(XC*XL+R1*R2)-XL*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),I2=-(%i*E*(XC*(XC*XL +R1*R2)-R1*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)-(E*(-R1*(XC*XL+R1*R2) -XC*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),Eab=(%i*E*(R1*XL+R2*XC)*(XC*XL +R1*R2))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)+(E*(R1*XL-R2*XC)*(R1*XL+R2*XC))/((XC*XL +R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)]]; (%o12) [[I1=8*%i+6,I2=8-6*%i,Eab=96*%i-28]] 従って I1=6+j8 I2=8-j6 Eab=-28+j96 |Eab|=sqrt(28^2+96^2) =sqrt(784+9216) =sqrt(10000) =100 [V] ということになる。 著者の解法とは電位差の極性が異なるが実効値は絶対値なので変わりない。 |
webadm | 投稿日時: 2008-1-2 3:58 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
問題36:複雑な回路間の電圧 次ぎの問題はかなりひねった回路間の電圧を求める問題。
ab間に電圧100Vが加わった場合のcd間及びef間の電圧実効値を求めよというもの。 回路図には抵抗値が併記されているが、抵抗回路ではなく抵抗とインダクタンスとキャパシタンスが混じっていることに注意。記載されているのは抵抗値であったりリアクタンス値だったりする。 cd間の電圧を求めるにはac間とad間の電圧の差を求めれば良いことになる。 ef間の電圧を求めるにはbe間とbf間の電圧の差を求めれば良いとわかる。 これらの電圧を求めるにはやはり全体を流れる電流と枝電流を求める必要がある。 未知数はEcd、Eefそれに電流I,I1,I2ということになるので全部で5元連立方程式をたてる必要がある。 Ecd=Eac-Ead =I1*R-I2*R =(I1-I2)*R Eef=Ebe-Ebf =I1*R-I2*R1 I=I1+I2 E=I1*(R+jXL+R)=|E| E=I2*(R-jXC+R1)=|E| これらからEcd,Eef,I,I1,I2を解くと (%i120) e1:Ecd=(I1-I2)*R; (%o120) Ecd=(I1-I2)*R (%i121) e2:Eef=I1*R-I2*R1; (%o121) Eef=I1*R-I2*R1 (%i122) e3:I=I1+I2; (%o122) I=I2+I1 (%i123) e4:E=I1*(R+%i*XL+R); (%o123) E=I1*(%i*XL+2*R) (%i124) e5:E=I2*(R-%i*XC+R1); (%o124) E=I2*(-%i*XC+R1+R) (%i125) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[Ecd,Eef,I,I1,I2]); (%o125) [[Ecd=-(R*(%i*E*XL+%i*E*XC-E*R1)+E*R^2)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),Eef= (-%i*E*R1*XL+R*(-%i*E*XC-E*R1)+E*R^2)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),I=(%i*E*XL-%i*E*XC+E*R1+3*E*R)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),I1= (-%i*E*XC+E*R1+E*R)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),I2=(%i*E*XL+2*E*R)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2)]] (%i126) rectform(%); (%o126) [[Ecd=-((E*R^2-E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-R*(E*XL+E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)- (%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+R*(E*XL+E*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),Eef= ((E*R^2-E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(-E*R1*XL-E*R*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+ (%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(-E*R1*XL-E*R*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I= ((E*R1+3*E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(E*XL-E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+ (%i*((E*R1+3*E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(E*XL-E*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I1= (E*XC*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(E*R1+E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+ (%i*((E*R1+E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)-E*XC*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I2= (2*E*R*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-E*XL*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*(2*E*R*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+E*XL*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)]] それぞれ与えられた定数を代入すると (%i127) R:200; (%o127) 200 (%i128) R1:100; (%o128) 100 (%i130) XL:300; (%o130) 300 (%i131) XC:400; (%o131) 400 (%i133) E:100; (%o133) 100 (%i135) [[Ecd=-((E*R^2-E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-R*(E*XL+E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL -2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)-(%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+R*(E*XL +E*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),Eef=((E*R^2 -E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(-E*R1*XL-E*R*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC) +R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(-E*R1*XL -E*R*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I=((E*R1 +3*E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(E*XL-E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2 +(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*((E*R1+3*E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(E*XL-E*XC)*(XC*XL +2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I1=(E*XC*(-R*(XL-2*XC) -R1*XL)+(E*R1+E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2) +(%i*((E*R1+E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)-E*XC*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2 +(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I2=(2*E*R*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-E*XL*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL -2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*(2*E*R*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+E*XL*(XC*XL +2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)]]; (%o135) [[Ecd=8-56*%i,Eef=20-40*%i,I=%i/25+7/25,I1=4/25-(3*%i)/25,I2=(4*%i)/25+3/25]] ということで Ecd=8-j56 [V] |Ecd|=sqrt(8^2+56^2) =8*sqrt(1+7^2) =8*sqrt(50) =40*sqrt(2) =56.57 [V] Eef=20-j40 [V] |Eef|=sqrt(20^2+40^2) =sqrt(20^2+(20*2)^2) =20*sqrt(1+2^2) =20*sqrt(5) =44.7 [V] ということになる。 著者の解法は単純に枝電流をそれぞれの直列回路の合成インピーダンスと電圧から得て求め、電位差を計算している。そちらの方が簡単である。 Ecd,Eefを解くには全体を流れる電流を求める必要は無いため実質的には4元連立方程式を解けば済むことになる。 |
webadm | 投稿日時: 2008-1-2 2:48 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
問題35:並列回路の電流 次ぎの問題は複素電流を計算する少しひねった問題。
インピーダンスとそれに並列に接続した抵抗のそれぞれを流れる電流の実効値とインピーダンスの位相角が既知の場合に回路全体を流れる電流の実効値を求めよというもの 全体を流れる電流と枝電流の関係は I=I1+I2 で表される。ここでI1は抵抗Rを流れる電流、I2はインピーダンスZを流れる電流でインピーダンスの位相角がφということが解っている場合 I1=E/R =|E|/R =|I1| I2=E/Z =|E|/(|Z|*(cosφ+j*sinφ)) =|I2|/(cosφ+j*sinφ) =|I2|*(cosφ-j*sinφ)/((cosφ+j*sinφ)*(cosφ-j*sinφ)) =|I2|*(cosφ-j*sinφ)/(cosφ^2+sinφ^2) =|I2|*(cosφ-j*sinφ) と表すことができるので全体を流れる電流は I=I1+I2 =|I1|+|I2|*(cosφ-j*sinφ) =|I1|+|I2|*cosφ-j*|I2|*sinφ 従って全体を流れる電流の実効値は |I|=sqrt((|I1|+|I2|*cosφ)^2+(|I2|*sinφ)^2) =sqrt(|I1|^2+2*|I1|*|I2|*cosφ+|I2|^2*cosφ^2+|I2|^2*sinφ^2) =sqrt(|I1|^2+2*|I1|*|I2|*cosφ+|I2|^2*(cosφ^2+sinφ^2)) =sqrt(|I1|^2+2*|I1|*|I2|*cosφ+|I2|^2) ということになる。 著者の解ではいきなりI2の式を示しているがインピーダンスの位相角が与えられているのだからインピーダンスで割り算する過程があるべきでそれが省略されていてわかり辛い。 |
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