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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-9-11 15:46
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2999
【95】力率一定の可変誘導性負荷の出力軌跡
ようやく交流回路の演習問題の最後。ベクトル軌跡の総仕上げ的な問題である。やっとここまできたよママン(ノД`)



一定電圧Eで一定内部リアクタンスX0を持つ電源に力率が一定な可変誘導性リアクタンス負荷を接続した回路に流れる電流のベクトル軌跡を描き、最大出力電力の点を求め、計算によって検証せよというもの。

回路に流れる電流は

I=E/Z=E*Y
=E/(Z+jX0)

従って回路のアドミッタンスは

Y=1/(Z+jX0)

回路に供給される電力は

P=E^2*Y

で表されるので、最大の電力が供給される条件はアドミッタンスの実効コンダクタンスが最大値を取る点を見いだせば良いことになる。

一方負荷インピーダンスZの力率は一定であることから、その軌跡は原点を通り傾きがφの直線を描くことが明らかである。従ってアドミッタンスYはインピーダンスZの軌跡を虚軸方向にX0だけ並行した直線を描くベクトルの逆数であるので原点を通る円を描くことは明らかである。

アドミッタンスYの軌跡は|Z|=0の時X0の逆数-1/X0を始点とし|Z|=∞で0に至る中心を(-sinφ/2*X0*cosφ,-1/2*X0)とする半径1/2*X0*cosφの円を描く。

従って最大の電力消費となるのはアドミッタンスが最大の実効コンダクタンスを取る点、((1-sinφ)/2*X0*cosφ,-1/2*X0)である。

その時の消費電力は

Pmax=E^2*(1/2*X0*cosφ-sinφ/2*X0*cosφ)
=E^2*(1-sinφ)/2*X0*cosφ

ということになる。



一方これは

P=E^2*Y
=E~2/Z
=E^2/(Z+jX0)
=E^2/(|Z|*(cosφ+j*sinφ)+jX0)
=E^2/(|Z|*cosφ+j*(|Z|*sinφ+X0))
=E^2*(|Z|*cosφ-j*(|Z|*sinφ+X0))/(|Z|^2*cosφ^2+(|Z|*sinφ+X0)^2)
=E^2*(|Z|*cosφ-j*(|Z|*sinφ+X0))/(|Z|^2*cosφ^2+|Z|^2*sinφ^2+2*|Z|*X0*sinφ+X0^2)
=E^2*(|Z|*cosφ-j*(|Z|*sinφ+X0))/(|Z|^2+2*|Z|*X0*sinφ+X0^2)

従って実効電力はその実数部

Pe=E^2*|Z|*cosφ/(|Z|^2+2*|Z|*X0*sinφ+X0^2)

これを|Z|で微分すると

(%i119) diff((cos(p)*E^2*Z)/(Z^2+2*sin(p)*X0*Z+X0^2), Z);
(%o119) (cos(p)*E^2)/(Z^2+2*sin(p)*X0*Z+X0^2)-(cos(p)*E^2*Z*(2*Z+2*sin(p)*X0))/(Z^2+2*sin(p)*X0*Z+X0^2)^2
(%i120) factor(%);
(%o120) -(cos(p)*E^2*(Z-X0)*(Z+X0))/(Z^2+2*sin(p)*X0*Z+X0^2)^2

Pe'=-(cosφ*E^2*|Z|*(|Z|-X0)*(|Z|+X0))/(|Z|^2+2*sinφ*X0*|Z|+X0^2)^2

従ってPeが最大値を取る条件は分子が0となる

(|Z|-X0)*(|Z|+X0)=0

従って

|Z|=X0

これをPeの式に代入すると

(%i121) subst(X0, Z, (cos(p)*E^2*Z)/(Z^2+2*sin(p)*X0*Z+X0^2));
(%o121) (cos(p)*E^2*X0)/(2*sin(p)*X0^2+2*X0^2)
(%i122) factor(%);
(%o122) (cos(p)*E^2)/(2*(sin(p)+1)*X0)

従って

Pmax=(cosφ*E^2)/(2*(sinφ+1)*X0)
=cosφ*(1-sinφ)*E^2/(2*(1-sinφ)*(1+sinφ)*X0)
=cosφ*(1-sinφ)*E^2/(2*(1+sinφ^2)*X0)
=cosφ*(1-sinφ)*E^2/(2*cosφ^2*X0)
=(1-sinφ)*E^2/2*X0*cosφ

従ってベクトル軌跡から導いた値と一致する。

これにて交流回路の演習終わり。
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題名 投稿者 日時
   交流回路の演習問題 webadm 2008-5-29 23:55
     【1】RLC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 0:16
     【2】LC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 0:54
     【3】RLC直列回路の共振点、Q及び電圧 webadm 2008-5-30 2:04
     【4】RLC直列回路の共振点(その3) webadm 2008-5-31 2:44
     【5】RLC直列共振回路のQ webadm 2008-5-31 3:04
     【6】RLC直列回路の共振点(その4) webadm 2008-5-31 3:37
     【7】RLC直列回路の共振点(その後) webadm 2008-5-31 14:25
     【8】RLC直列回路のQの公式の証明 webadm 2008-5-31 15:40
     【9】RLC直列回路の証明問題 webadm 2008-5-31 16:50
     【10】RLC直列回路のQ webadm 2008-5-31 17:12
     【11】RLC直列回路の出力電圧 webadm 2008-6-3 1:57
     【12】RLC直列回路の出力(続き) webadm 2008-6-5 1:20
     【13】RLC直列回路の出力電圧(その2) webadm 2008-6-5 1:44
     【14】RLC直列回路の出力電圧(その3) webadm 2008-6-5 2:29
     【15】RLC直列回路のR webadm 2008-6-6 2:04
     【16】LC並列回路の共振点 webadm 2008-6-7 7:18
     【17】RLC並列回路のQ webadm 2008-6-7 21:51
     【18】RLC並列回路のQ(その2) webadm 2008-6-7 22:47
     【19】RLC混成回路 webadm 2008-6-8 3:21
     【20】RLC混成回路(続き) webadm 2008-6-8 10:08
     【21】LC直列共振回路によるCの測定 webadm 2008-6-8 10:30
     【22】コイルの分布容量の測定 webadm 2008-6-8 11:10
     【23】コイルの分布容量の測定(続き) webadm 2008-6-8 11:38
     【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-8 20:40
       Re: 【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-9 22:05
     【25】RLC混成回路(その2) webadm 2008-6-10 3:25
     【26】RLC混成回路(その3) webadm 2008-6-11 22:04
     【27】LC混成回路の共振点 webadm 2008-6-11 23:16
     【28】RC混成回路 webadm 2008-6-13 1:05
     【29】RLC混成回路(その4) webadm 2008-6-13 1:39
     【30】RLC混成回路(その5) webadm 2008-6-13 21:11
     【31】Y-Δ変換 webadm 2008-6-15 11:08
     【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-23 2:06
       Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-25 1:11
         Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-26 2:03
     【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-6-28 6:07
       Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 13:26
         Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 15:01
     【34】相互誘導回路の等価回路 webadm 2008-7-29 11:38
     【35】相互誘導回路(その1) webadm 2008-7-29 20:13
     【36】相互誘導回路(その2) webadm 2008-7-29 21:27
     【37】相互誘導回路(その3) webadm 2008-7-30 0:29
     【38】相互誘導回路(その4) webadm 2008-7-30 0:53
     【39】相互誘導回路(その5) webadm 2008-7-30 1:29
     【40】相互誘導回路(その6) webadm 2008-7-31 1:23
     【41】相互誘導回路(その7) webadm 2008-7-31 8:52
     【42】相互誘導回路(その8) webadm 2008-7-31 10:33
     【43】相互誘導回路(その9) webadm 2008-7-31 12:52
     【44】相互誘導回路(その10) webadm 2008-8-6 11:05
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     【47】相互誘導回路(その13) webadm 2008-8-23 14:04
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