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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-5-29 23:55
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
交流回路の演習問題
基本的な交流回路の理論を教わった後にその理解を確認する演習問題がまたもや100問近く続く。ここまで終わらないと回路設計や回路解析に必要な基礎的な回路網理論を学ぶ資格が無いということになる。ここまで頑張ってキャッチアップしてきた人だけが先に進むことができる。厳しいようだが飛び越えて行ってもまた舞い戻ってこないといけないのは確かである。何十年も経ってからやっとわかって基本に立ち戻る人も要る。

演習問題は共振回路、ブリッジ回路、相互誘導回路、ベクトル軌跡をカバーしている。理論の説明が簡潔なので、実際にそれらを理解するにはこれらの演習問題を解くことが不可欠であろう。

この演習が終われば、基礎的な回路網理論と今日の電力伝送に用いられている三相交流を包含する多相交流理論、それと現実の歪みのある正弦波交流を扱うフーリエ変換と波形解析を学ぶことになる。これで一応電気理論の基礎を終わったことになるが、更に実際の電気回路や高周波回路の解析や設計をする上で必要な更なるテーマについて下巻で学ぶことになる。それらをすべてマスターすることでやっと電気理論をマスターしたと言えるが、実務を行う上では必須であるものの十分ではないと心知るべきである。電子回路設計を行うには更に電子回路素子や能動素子(真空管、トランジスタ)の電気回路モデルを理解する必要があるし、各種応用回路についてもその解析を独力で行えるだけの演習が不可欠である。まだまだ先が長い。個人的な目標は通信型受信機それもデジタル信号を扱うものを目指しているので、更にその先の専門分野についても理論武装をする必要があると思っている。大変だが、誰かが到達しているのだからきっと到達できると思える。
webadm
投稿日時: 2008-5-30 0:16
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【1】RLC直列回路の共振点
最初の問題はRLC直列回路の共振点に関する問題。



図のようなRLC直列回路で最大の電流が流れるf0とその時の電流I0を求めよというもの。

最大の電流が流れるのは回路のインピーダンスが最小となる共振点であるのでインピーダンスの式

Z=R+j(ωL-1/(ωC))

でZが最小となる

ωL-1/(ωC)=0

なる条件を満たす角周波数は

ω0=1/sqrt(LC)

であることから周波数と角周波数の関係

ω0=2πf0

より

f0=1/(2πsqrt(LC))

となるので定数を代入すると

f0=1/(2πsqrt(10*10-3*1*10^-6))
=1/(2πsqrt(10*10^-9))
=10^4/(2π)
=1592 [Hz]

この時流れる電流はインピーダンスが

Z=R
=10 [kΩ]

となるので

I0=|E|/|Z|=100/10*10^3
=0.01 [A]

ということになる。

シミュレーターで確かめてみると、高い抵抗値が直列に入っているのでQがかなり低くなりなだらかすぎて実際にどこがピークかは判別がつかなくなるが1.5kHz付近に頂上の中心があるのだけは確かである。


webadm
投稿日時: 2008-5-30 0:54
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【2】LC直列回路の共振点
次ぎの問題はLC直列回路の共振点に関するもの。



Lは固定でCを可変すると50Hzで共振させるにはCをいくつに設定すればよいかというもの。

LC直列回路のインピーダンスは

Z=j(ωL-1/ωC)

なので共振点はインピーダンスが最小になる

ω0=1/sqrt(LC)

なる角周波数を周波数に変換すると

f0=1/(2πsqrt(LC))

f0は50Hzと定められているので、Cを解くために式を書き換えると

f0^2=1/(2πsqrt(LC))^2
=1/((2π)^2*LC)

C=1/((2π)^2*L*f0^2)

ということになる。f0=50[Hz],L=0.5[H]をそれぞれ代入すると

C=1/((2π)^2*0.5*50^2)
=2.03*10^-5 [F]
=20.3 [uF]

ということになる。
webadm
投稿日時: 2008-5-30 2:04
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【3】RLC直列回路の共振点、Q及び電圧
次ぎの問題は再びRLC直列回路の共振点を求めるのに加えて、そのQと各素子の電圧を求めよというもの。



RLCが与えられていてその共振点を求めるにはそのインピーダンス

Z=R+j(ωL-1/ωC)

が最小となるのは

ω0=1/√(LC)

なる角速度の時。周波数に変換すると

f0=1/(2π√(LC))

与えられた定数を代入すると

f0=1/(2π√(10*10^-3*1*10^-6))
=10^4/(2π)
=1512 [Hz]

これは最初の問題と同じである。

この時のQはLとRから

Q=ω0L/R
=(1/√(LC))*L/R
=(1/√(10*10^-3*1*10^-6))*10*10^-3/10
=10

共振点ではZ=Rとなるので流れる電流は

I=|E|/|Z|=|E|/R
=100/10
=10 [A]

という大電流が流れることになる。これはLC部分が共振してインピーダンスが0となってしまっているためである。

この結果

ER=R*I=10*10
=100 [V]

EL=jω0L*I=j(1/√(LC))*L*I=j(1/√(10*10^-3*1*10^-6))*10*10^-3*10
=j1000 [V]

EC=-jI/ω0C=-jI/((1/√(LC))*C)=-j10*√(10*10^-3*1*10^-6)/(1*10^-6)
=-j1000 [V]

ということになる。著者はこれと違ってQを用いてEL及びERを導いている。

これからわかることは、共振回路には予想外に高い電流が流れるということと、インダクタンスとキャパシタンスの両端の電圧は供給されている電圧と桁違いに大きな電圧が発生するという点である。十分な耐圧や耐電流が無いと共振時にLやCが発熱し破損してしまうということを想定する必要がある。

実際にこの回路を実験してみることは薦めないが、普通の電子回路用の部品だとたちまちCとかは沸騰してしまうだろう。
webadm
投稿日時: 2008-5-31 2:44
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【4】RLC直列回路の共振点(その3)
次ぎの問題もRLC直列回路の共振点に関わるもの。



Rと誘導性リアクタンスXLが与えられていて、XCを可変して共振点での回路に流れる電流とXCの両端の電圧を求めよというもの。

RLC直列回路の共振点でのインピーダンスは

Z=R

となるので、

回路に流れる電流は

I0=E/Z=100/10
=10 [A]

また共振点では

XL-XC=0

なる関係が成り立つのでXCの電圧降下は

EC=XC*I0
=XL*I0
=200*10
=2000 [V]

ということになる。
webadm
投稿日時: 2008-5-31 3:04
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【5】RLC直列共振回路のQ
次ぎの問題もRLC直列共振回路に関するもの。



回路素子の定数がそれぞれ異なる組み合わせの2つのRLC直列回路についてそれぞれQを算出せよというもの。

Qを算出するには共振点でのLのリアクタンス値を求める必要があるため、まず共振周波数を算出する。

LC直列回路の共振点の角速度は

ω0=1/√(LC)

で表される。その時のLのリアクタンスは

XL=ω0*L
=L/√(LC)

で表されるので、Qの定義から

Q=(ω0*L)/R
=L/(R*√(LC))
=(√(L/C))/R

という式が導かれる。これにそれぞれ定数を代入すると

Q1=(√(10*10^-3/(0.25*10^-6)))/5
=40

Q2=(√(0.1*10^-3/(0.04*10^-6)))/4
=12.5

という結果になりQ1の方がQ2より高い結果となる。

一見するとRの値が小さいQ2の方がQが高いと予想してしまうが、共振点でのリアクタンス値の大きさの関係でQ1に劣るということになっている。
webadm
投稿日時: 2008-5-31 3:37
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【6】RLC直列回路の共振点(その4)
次ぎもRLC直列回路の共振点に関する問題。



Lのみ可変してECが最大になる時の値を求めよというもの。

RLC直列回路では回路に流れる電流が最大となるのが共振点なので共振点となるLとそのときのECを計算すれば良い。

共振周波数とLとCの関係は

ω0=1/√(LC)

で表されるので、両辺を二乗してLについて解くと

L=1/(ω0^2*C)
=XC/ω0

として導くことが出来る。

これに与えられている定数を代入すると

L=100/(2π*500)
=0.0318 [H]

となり。その時のECは

|EC|=Q*|E|=(ω0*L/R)*|E|
=(XL/R)*|E|
=(XC/R)*|E|
=(100/100)*100
=100 [V]

ということになる。

著者は最初の問題の時とは違う回路に流れる電流から電圧を算出しているが、ここでは著者の最初の問題の解き方のようにQとの関係式から中間値を計算することなく電圧の式を導くことで解いた。
webadm
投稿日時: 2008-5-31 14:25
Webmaster
登録日: 2004-11-7
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投稿: 2992
【7】RLC直列回路の共振点(その後)
次ぎの問題もRLC直列回路の共振に関するもの。



共振点と半値幅が与えられているのでQの定義から

Q=f0/(f2-f1)
=1.5*10^6/10*10^3
=1.5*10^2
=150

Lの値は不明だがCの値は解っているのでQの定義から

Q=共振点でのリアクタンス値/抵抗値
=1/(ω0CR)

なのでRに関して解くと

R=1/(ω0CQ)
=1/(2π*f0*C*Q)

として導くことが出来る。それぞれ既知の値を代入すると

R=1/(2π*1.5*10^6*300*10^-12*150)
=2.36 [Ω]

ということになる。

webadm
投稿日時: 2008-5-31 15:40
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【8】RLC直列回路のQの公式の証明
次ぎなる問題は難問である。

既に学んだQの定義

Q=f0/(f2-f1)
(=ω0/(ω2-ω1))

を証明せよというもの。

これが結構難しい。証明のストラテジーが思い浮かばない。

とりあえず半値の電流I1,I2と共振点での電流I0の関係は

|I1|=|I0|/√2

|I2|=|I0|/√2

ここで

|I0|=|E|/R

|I1|=|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2)

|I2|=|E|/√(R^2+(ω2L-1/(ω2C))^2)

でそれぞれ置き換えると

|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2)=|E|/(R*√2)

|E|/√(R^2+(ω2L-1/(ω2C))^2)=|E|/(R*√2)

整理すると

(ω1L-1/(ω1C))^2-R^2=0

(ω2L-1/(ω2C))^2-R^2=0

という関係になる。ここで

Δω=ω2-ω1

とした場合にこれらの3式を連立方程式といsてω1,ω2,ΔωをMaximaでいきなり解いてみると

(%i14) e1:(o1*L-1/(o1*C))^2-R^2=0;
(%o14) (o1*L-1/(o1*C))^2-R^2=0
(%i15) e2:(o2*L-1/(o2*C))^2-R^2=0;
(%o15) (o2*L-1/(o2*C))^2-R^2=0
(%i16) e3:deltao=o2-o1;
(%o16) deltao=o2-o1

(%i17) solve([e1,e2,e3],[o1,o2,deltao]);

(%o17) [[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=0],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=-
(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=-sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=
sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=0],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2
=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=-
(sqrt(C*R^2+4*L)-sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=(sqrt(C*R^2+4*L)+sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=-
(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),
deltao=-R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=-(sqrt(C*R^2+4*L)+sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=-
(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=(sqrt(C*R^2+4*L)-sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=-
(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=-R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=0],[o1=
(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=-sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=
(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=0]]
(%i18)

ω1,ω2,Δωはすべて0より大きい正の値でなければならないので

o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2
=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=R/L

整理すると

ω1=√(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L)
ω2=√(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L)
Δω=R/L

が解ということになる。

Δω=ω2-ω1であるので

Q=ω0/(ω2-ω1)
=ω0/Δω
=ω0/(R/L)
=ω0L/R

と共振点のリアクタンスと抵抗の比となるのでQそのものである。

従って

Q=f0/(f2-f1)=ω0/(ω2-ω1)=ω0L/R

が成り立つことが証明される。

著者は共振点での電流と任意の点での電流の比の式が1/√2になる二次方程式からω1、ω2をそれぞれ解くことによってω2-ω1を導き同様の結果を得ている。

webadm
投稿日時: 2008-5-31 16:50
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2992
【9】RLC直列回路の証明問題
次ぎも証明問題。

2つの角周波数ω1,ω2がそれぞれ流れる電流が等しい時に以下の関係が成り立つことを証明せよというもの。

ω1*ω2=ω0^2

ω0は共振点の角周波数である。

これも証明のストラテジーが思いつかない。

とりあえず2つの角周波数で流れる電流の式を立ててみる

|I1|=|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2)

|I2|=|E|/√(R^2+(ω2L-1/(ω2C))^2)

この二つが等しいという条件なので

|I1|=|I2|

すなわち

|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2)=|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2)

整理すると

(ω1L-1/(ω1C))^2-(ω2L-1/(ω2C))^2=0

が成り立つということを意味する。

これを展開すると

(ω1L)^2-2*ω1L/(ω1C)+1/(ω1C)^2-((ω2L)^2-2*ω2L/(ω2C)+1/(ω2C)^2)=0

∴(ω1^2-ω2^2)*L^2+1/(ω1C)^2-1/(ω2C)^2
=(ω1^2-ω2^2)*L^2+((ω2C)^2-(ω1C)^2)/((ω1C)^2*(ω2C)^2)
=(ω1^2-ω2^2)*L^2+(ω2^2-ω1^2)/(ω1^2*ω2^2*C^2)
=0

なる関係式が導かれる。

ここで

ω0^2=1/(LC)

であることから先の関係式の両辺をL^2で割ると

(ω1^2-ω2^2)+(ω2^2-ω1^2)/(ω1^2*ω2^2*L^2*C^2)=0

従って

(ω1^2-ω2^2)-(ω1^2-ω2^2)*ω0^4/(ω1*ω2)^2=0

と書き換えることができる。

この式をω1*ω2に関して解くために両辺に(ω1*ω2)^2/(ω1^2-ω2^2)を乗じると

(ω1*ω2)^2-ω0^4=0

従って

ω1*ω2=ω0^2

が成り立つことが証明された。

著者の解は最初に得られる二次の関係式から一次の関係式を開平によって導いてそれに共振点の角速度の条件式を適用して最終的に同じ結果を得ているが、二次の式を開平すると2つの一次の関係式が得られるがその片方を使用しない理由を省略している。

こちらの方法でも実際には最後の開平処理で

±ω1*ω2=±ω0^2

という解が得られるが、ω1、ω2どちらも正の値であるため両辺が異符号となる解は実際には存在しない。

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