次ぎの問題は以下の様なトランスの一次側と二次側が共通グラウンドに接続されている場合に回路全体に流れる電流の実効値を求めよというもの。



図より以下の回路方程式が成り立つ

E=(R1+jωL1)*I1+jωM*(I-I1)

E=(R2+jωL2)*(I-I1)+jωM*I1

これをI,I1に関する２元連立方程式として解くと

(%i31) solve([E=(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*(I-I1),E=(R2+%i*o*L2)*(I-I1)+%i*o*M*I1],[I1,I]);
(%o31) [[I1=-(E*(-R2-%i*o*L2)+%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*R2-o^2*L2)+R1*(R2+%i*o*L2)+o^2*M^2),I=(E*(R2+%i*o*L2)+E*R1-2*%i*o*E*M+%i*o*E*L1)/(L1*(%i*o*R2-o^2*L2)+R1*(R2+%i*o*L2)+o^2*M^2)]]
(%i32) factor(%);
(%o32) [[I1=(E*(R2-%i*o*M+%i*o*L2))/(R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I=(E*(R2+R1-2*%i*o*M+%i*o*L2+%i*o*L1))/(R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)]]

従って回路全体を流れる電流の瞬時値は

I=|E|*(R2+R1-2*jωM+jωL2+jωL1)/(R1*R2+jωL1*R1+jωL2*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L2)
=|E|*(R1+R2+jω*(L1+L2-2*M))/(R1*R2+ω^2*(M^2-L1*L2)+jω*(L1*R1+L2*R1))

となる。実効値は上記の絶対値を求めれば良く。上記はベクトルの割り算であるので、その絶対値は|Z1/Z2|=|Z1|/|Z2|であることから

|I|=sqrt(|E|^2*((R1+R2)^2+(ω*(L1+L2-2*M))^2)/((R1*R2+ω^2*(M^2-L1*L2))^2+(ω*(L1*R1+L2*R1))^2)
=|E|*sqrt(((R1+R2)^2+ω^2*(L1+L2-2*M)^2)/((R1*R2+ω^2*(M^2-L1*L2))^2+ω^2*(L1*R1+L2*R1)^2))

ということになる。

著者は相互誘導回路をその等価回路に置き換えて抵抗と漏洩インダクタンスの直並列回路に相互インダクタンスが直列接続された回路として扱い、２つの抵抗と漏洩インダクタンスの直列回路の並列合成インピーダンスと励磁インダクタンスが直列に接続された回路に簡易化した上で回路方程式をひとつですましている。

次ぎは以下の様に３つのコイルが互いに相互誘導結合している際の端子ABから見た合成インピーダンスを求めよという問題。



著者の図を見ると３つのコイルのインダクタンス成分が省かれている。念のために各コイルのインダクタンスをL1,L2,L3として回路方程式をたてると

E=(Z1+jωL1)*I1+jωM12*I2+jωM32*I3

(Z2+jωL2)*I2+jωM12*I1+jωM23*I3=0

(Z3+jωL3)*I3+jωM23*I2+jωM32*I1=0

これをZ1,Z2,Z3に関する三元連立方程式として解くと

(%i44) e1:E=(Z1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M12*I2+%i*o*M31*I3;
(%o44) E=I1*(Z1+%i*o*L1)+%i*o*I3*M31+%i*o*I2*M12
(%i45) e2:Z2*I2+%i*o*L2*I2+%i*o*M12*I1+%i*o*M23*I3=0;
(%o45) I2*Z2+%i*o*I3*M23+%i*o*I1*M12+%i*o*I2*L2=0
(%i46) e3:Z3*I3+%i*o*L3*I3+%i*o*M31*I1+%i*o*M23*I2=0;
(%o46) I3*Z3+%i*o*I1*M31+%i*o*I2*M23+%i*o*I3*L3=0
(%i47) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,I3]);
(%o47) [[I1=(E*(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3)))/(Z1*
(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3))+L1*(o^2*(-L2*Z3-L3*Z2)+%i*o*Z2*Z3+%i*o^3*(M23^2-L2*L3))+
M12^2*(o^2*Z3+%i*o^3*L3)+M31^2*(o^2*Z2+%i*o^3*L2)-2*%i*o^3*M12*M23*M31),I2=-(E*M12*(%i*o*Z3-o^2*L3)+o^2*E*
M23*M31)/(Z1*(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3))+L1*
(o^2*(-L2*Z3-L3*Z2)+%i*o*Z2*Z3+%i*o^3*(M23^2-L2*L3))+M12^2*(o^2*Z3+%i*o^3*L3)+M31^2*(o^2*Z2+%i*o^3*L2)-2*%i*
o^3*M12*M23*M31),I3=(E*M31*(o^2*L2-%i*o*Z2)-o^2*E*M12*M23)/(Z1*
(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3))+L1*(o^2*(-L2*Z3-L3*Z2)+%i*o*Z2*Z3+%i*o^3*(M23^2-L2*L3))+
M12^2*(o^2*Z3+%i*o^3*L3)+M31^2*(o^2*Z2+%i*o^3*L2)-2*%i*o^3*M12*M23*M31)]]
(%i48) factor(%);
(%o48) [[I1=(E*(Z2*Z3+%i*o*L2*Z3+%i*o*L3*Z2+o^2*M23^2-o^2*L2*L3))/(Z1*Z2*Z3+%i*o*L1*Z2*Z3+%i*o*
L2*Z1*Z3+o^2*M12^2*Z3-o^2*L1*L2*Z3+%i*o*L3*Z1*Z2+o^2*M31^2*Z2-o^2*L1*L3*Z2+o^2*M23^2*Z1-o^2*L2*L3*Z1+%i*o^3*
L2*M31^2-2*%i*o^3*M12*M23*M31+%i*o^3*L1*M23^2+%i*o^3*L3*M12^2-%i*o^3*L1*L2*L3),I2=-(o*E*
(%i*M12*Z3+o*M23*M31-o*L3*M12))/(Z1*Z2*Z3+%i*o*L1*Z2*Z3+%i*o*L2*Z1*Z3+o^2*M12^2*Z3-o^2*L1*L2*Z3+%i*o*
L3*Z1*Z2+o^2*M31^2*Z2-o^2*L1*L3*Z2+o^2*M23^2*Z1-o^2*L2*L3*Z1+%i*o^3*L2*M31^2-2*%i*o^3*M12*M23*M31+%i*o^3*L1*
M23^2+%i*o^3*L3*M12^2-%i*o^3*L1*L2*L3),I3=-(o*E*(%i*M31*Z2-o*L2*M31+o*M12*M23))/(Z1*Z2*Z3+%i*o*L1*
Z2*Z3+%i*o*L2*Z1*Z3+o^2*M12^2*Z3-o^2*L1*L2*Z3+%i*o*L3*Z1*Z2+o^2*M31^2*Z2-o^2*L1*L3*Z2+o^2*M23^2*Z1-o^2*L2*
L3*Z1+%i*o^3*L2*M31^2-2*%i*o^3*M12*M23*M31+%i*o^3*L1*M23^2+%i*o^3*L3*M12^2-%i*o^3*L1*L2*L3)]]

端子ABから見たインピーダンスは端子ABに流れる電流Iと電圧から

Z=|E|/I1

で求めることができる。ここで

I1=(E*(Z2*Z3+jωL2*Z3+jωL3*Z2+ω^2*M23^2-ω^2*L2*L3))/(Z1*Z2*Z3+jωL1*Z2*Z3+jωL2*Z1*Z3+ω^2*M12^2*Z3-ω^2*L1*L2*Z3+jωL3*Z1*Z2+ω^2*M31^2*Z2-ω^2*L1*L3*Z2+ω^2*M23^2*Z1-ω^2*L2*L3*Z1+jω^3*
L2*M31^2-2*jω^3*M12*M23*M31+jω^3*L1*M23^2+jω^3*L3*M12^2-jω^3*L1*L2*L3)
=E*(Z2*Z3+ω^2*(M23^2-L2*L3)+jω*(L2*Z3+L3*Z2))/(Z1*Z2*Z3+ω^2*(M12^2*Z3-L1*L2*Z3+M31^2*Z2-L1*L3*Z2+M23^2*Z1-L2*L3*Z1)+jω*(L1*Z2*Z3+L2*Z1*Z3)+jω^3*(L2*M31^2-2*M12*M23*M31+L1*M23^2+L3*M12^2-L1*L2*L3))

であるので

Z=E/I1
=(Z1*Z2*Z3+ω^2*(M12^2*Z3+M31^2*Z2+M23^2*Z1)-ω^2*(L1*L2*Z3+L1*L3*Z2+L2*L3*Z1)+jω*(L1*Z2*Z3+L2*Z1*Z3+L3*Z1*Z2)+jω^3*(L2*M31^2-2*M12*M23*M31+L1*M23^2+L3*M12^2-L1*L2*L3))/(Z2*Z3+ω^2*(M23^2-L2*L3)+jω*(L2*Z3+L3*Z2))

と表すことができる。ここで最初の方程式でjωL1,jωL2,jωL3のそれぞれの誘導性リアクタンスがZ1,Z2,Z3に含まれているものと見なすと、L1,L2,L3に関する項は式から無くなることになる。

従って合成インピーダンスの式からL1,L2,L3の項を削除すると。

Z=
=(Z1*Z2*Z3+ω^2*(M12^2*Z3+M31^2*Z2+M23^2*Z1)-2*jω*M12*M23*M31)/(Z2*Z3+ω^2*M23^2)

ということになる。

著者の図は予めコイルのインダクタンス成分がZ1,Z2,Z3に含まれていることを暗黙の前提としているが、それが説明されていない。

次ぎは二次側に負荷抵抗が接続された相互誘導回路の一次側から見たインピーダンスの実効抵抗と実効リアクタンスを求めよというもの。



図から回路方程式

E=jωL1*I1+jωM*I2

(R+jωL2)*I2+jωM*I1=0

が成り立つ

ここで端子AB間のインピーダンスに関して以下の関係式が成り立つ

E=Z*I1

この３つの方程式からI1,I2,Zを解くと

(%i12) solve([E=%i*o*L1*I1+%i*o*M*I2,(R+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I1,E=Z*I1],[I1,I2,Z]);
(%o12) [[I1=(E*R+%i*o*E*L2)/(%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-(%i*E*M*R-o*E*L2*M)/(%i*L1*R^2+(o*M^2-2*o*L1*L2)*R+%i*o^2*L2*M^2-%i*o^2*L1*L2^2),Z=
(%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R+%i*o*L2)]]

Zの式を直交形式に直すと

(%i13) rectform(Z=(%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R+%i*o*L2));
(%o13) Z=(%i*(o*L1*R^2-o*L2*(o^2*M^2-o^2*L1*L2)))/(R^2+o^2*L2^2)+((o^2*M^2-o^2*L1*L2)*R+o^2*L1*L2*R)/(R^2+o^2*L2^2)
(%i14) factor(%);
(%o14) Z=(o*(%i*L1*R^2+o*M^2*R-%i*o^2*L2*M^2+%i*o^2*L1*L2^2))/(R^2+o^2*L2^2)
(%i15) rectform(%);
(%o15) Z=(%i*o*(L1*R^2-o^2*L2*M^2+o^2*L1*L2^2))/(R^2+o^2*L2^2)+(o^2*M^2*R)/(R^2+o^2*L2^2)

従って

Z=ω^2*M^2*R/(R^2+ω^2*L2^2)+jω*(L1*R^2-ω^2*L2*M^2+ω^2*L1*L2^2)/(R^2+ω^2*L2^2)
=ω^2*M^2*R/(R^2+ω^2*L2^2)+jω*(L1*R^2+ω^2*L2*(L1*L2-M^2))/(R^2+ω^2*L2^2)

ということになる。ここで実数部が実効抵抗R0,虚数部が実効リアクタンスX0なので

Z=R0+jX0

R0=ω^2*M^2*R/(R^2+ω^2*L2^2)

X0=ω*(L1*R^2+ω^2*L2*(L1*L2-M^2))/(R^2+ω^2*L2^2)

ということになる。

著者は相互誘導回路を等価回路に置き換えた上で全体の合成インピーダンスの式をたてて解いている。

次ぎの問題は相互誘導回路の巻き線のコモンが抵抗を介してグランドに接続され、二次側がグランドに接地されている場合の回路全体の実効抵抗と実効リアクタンスを前問と同様に導くもの。



回路方程式をたてると

E=(R+jωL)*I1+(R+jωM)*I2

(R+jωL)*I2+(R+jωM)*I1=0

また回路のインピーダンスは

Z=E/I1

この３つをI1,I2,Zに関する方程式として解くと

(%i38)
solve([E=(R+%i*o*L)*I1+(R+%i*o*M)*I2,(R+%i*o*L)*I2+(R+%i*o*M)*I1=0,Z=E/I1],[I1,I2,Z]);
(%o38) [[I1=-(E*R+%i*o*E*L)/((2*%i*o*M-2*%i*o*L)*R-o^2*M^2+o^2*L^2),I2=
(E*R^2+(%i*o*E*M+%i*o*E*L)*R-o^2*E*L*M)/((2*%i*o*M-2*%i*o*L)*R^2+(-o^2*M^2-2*o^2*L*M+3*o^2*L^2)*R-%i*o^3*L*M^2+%i*o^3*L^3),Z=-((2*%i*o*M-2*%i*o*L)*R-o^2*M^2+o^2*L^2)/(R+%i*o*L)]]

Zの式を直交形式に整理すると

(%i39) rectform(Z=-((2*%i*o*M-2*%i*o*L)*R-o^2*M^2+o^2*L^2)/(R+%i*o*L));
(%o39) Z=(%i*(-(2*o*M-2*o*L)*R^2-o*L*(o^2*M^2-o^2*L^2)))/(R^2+o^2*L^2)+((o^2*M^2-o^2*L^2)*R-o*L*(2*o*M-2*o*L)*R)/(R^2+o^2*L^2)
(%i40) factor(%);
(%o40) Z=-(o*(M-L)*(2*%i*R^2-o*M*R+o*L*R+%i*o^2*L*M+%i*o^2*L^2))/(R^2+o^2*L^2)
(%i41) rectform(%);
(%o41) Z=-(%i*o*(M-L)*(2*R^2+o^2*L*M+o^2*L^2))/(R^2+o^2*L^2)-(o*(M-L)*(o*L*R-o*M*R))/(R^2+o^2*L^2)

Z=-(jω*(M-L)*(2*R^2+ω^2*L*M+ω^2*L^2))/(R^2+ω^2*L^2)-(ω*(M-L)*(ω*L*R-ω*M*R))/(R^2+ω^2*L^2)
=ω^2*(L-M)^2*R/(R^2+ω^2*L^2)+jω*(L-M)*(2*R^2+ω^2*L*M+ω^2*L^2)/(R^2+ω^2*L^2)
=ω^2*(L-M)^2*R/(R^2+ω^2*L^2)+jω*(L-M)*(1+(R^2+ω^2*L*M)/(R^2+ω^2*L^2))

ここで

Z=R0+jX0

なので

R0=ω^2*(L-M)^2*R/(R^2+ω^2*L^2)

X0=ω*(L-M)*(1+(R^2+ω^2*L*M)/(R^2+ω^2*L^2))

ということになる。

著者はこれまでと同様に相互誘導回路を等価回路に置き換えて回路全体の合成インピーダンスの式を導いている。

次ぎは相互誘導回路が２つ直列に接続された回路の等価インダクタンスを求めよというもの。



上の相互誘導回路は一次と二次が逆向きになっている点に注意して方程式をたてると

(jωL1+jωL3)*I1-jωM1*(I-I1)+jωM2*(I-I1)=E

(jωL2+jωL4)*(I-I1)-jωM1*I1+jωM2*I1=E

更に等価インダクタンスは

E=jωL0*I

なる関係が成り立つのでこれらをI1,I,L0に関する３元連立方程式として解くと

(%i76) solve([(%i*o*L1+%i*o*L3)*I1-%i*o*M1*(I-I1)+%i*o*M2*(I-I1)=E,(%i*o*L2+%i*o*L4)*(I-I1)
-%i*o*M1*I1+%i*o*M2*I1=E,E=%i*o*L0*I],[I1,I,L0]);
(%o76) [[I1=-(%i*E*M2-%i*E*M1-%i*E*L4-%i*E*L2)/(o*M2^2-2*o*M1*M2+o*M1^2+(-o*L3-o*L1)*L4-o*L2*L3-o*L1*L2),I=
(2*E*M2-2*E*M1-E*L4-E*L3-E*L2-E*L1)/(%i*o*M2^2-2*%i*o*M1*M2+%i*o*M1^2+(-%i*o*L3-%i*o*L1)*L4-%i*o*L2*L3-%i*o*L1*L2),L0=
(M2^2-2*M1*M2+M1^2+(-L3-L1)*L4-L2*L3-L1*L2)/(2*M2-2*M1-L4-L3-L2-L1)]]

L0について整理すると

L0=(M2^2-2*M1*M2+M1^2+(-L3-L1)*L4-L2*L3-L1*L2)/(2*M2-2*M1-L4-L3-L2-L1)
=((M1-M2)^2-(L1+L3)*L4-(L3+L1)*L2)/(2*(M2-M1)-L4-L3-L2-L1)
=(M1-M2)^2-(L1+L3)*(L2+L4))/(2*(M2-M1)-L4-L3-L2-L1)

ということになる。分母分子にそれぞれ-1を乗じれば著者の解とまったく同じであることがわかる。

著者はこれまでと同様に２つの相互誘導回路を等価回路に置き換えて回路全体の合成インダクタンスの式を導いている。

次ぎの問題は一次と二次がコモン接続されている相互誘導回路と直列に誘導結合されていないインダクタンスがつながった回路の等価インダクタンスを求めよというもの。



一見すると一次側と二次側に流れる電流の向きが逆になっているのでそれに注意して式をたてると

E=jωL1*I-jωM*I1+jωL2*I1-jωM*I

E=jωL1*I-jωM*I1+jωL3*(I-I1)

これに等価インダクタンスの関係式を加えると

E=jωL0*I

この３つの式をI,I1,L0に関する３元連立方程式として解くと

(%i20) solve([E=%i*o*L1*I-%i*o*M*I1+%i*o*L2*I1-%i*o*M*I,E=%i*o*L1*I-%i*o*M*I1+%i*o*L3*(I
-I1),E=%i*o*L0*I],[I,I1,L0]);
(%o20) [[I=(%i*E*L3+%i*E*L2)/(o*M^2+2*o*L3*M+(-o*L2-o*L1)*L3-o*L1*L2),I1=-(E*M+E*L3)/(%i*o*M^2+2*%i*o*L3*M+(-%i*o*L2-%i*o*L1)*L3-%i*o*L1*L2)
,L0=-(M^2+2*L3*M+(-L2-L1)*L3-L1*L2)/(L3+L2)]]
(%i21) factor(%);
(%o21) [[I=(%i*E*(L3+L2))/(o*(M^2+2*L3*M-L2*L3-L1*L3-L1*L2)),I1=(%i*E*(M+L3))/(o*(M^2+2*L3*M-L2*L3-L1*L3-L1*L2)),L0=-
(M^2+2*L3*M-L2*L3-L1*L3-L1*L2)/(L3+L2)]]

L0の式を整理すると

L0=-(M^2+2*L3*M-L2*L3-L1*L3-L1*L2)/(L3+L2)
=(L2*L3-2*L3*M-M^2+L1*(L3+L2))/(L3+L2)
=L1+((L2-M)*(L3+M)-L3*M-L2*M)/(L3+L2)
=L1-M+((L2-M)*(L3+M))/(L3+L2)

ということになる。

著者の解は相互誘導回路を等価回路に置き換えて合成インダクタンスを求めている。

P.S

最初電流の向きに無関係にMの符号を正にとったら2*L3*Mの項の符号が反転してしまい著者の解とは微妙に違う以下の解となって悩んだ。

L0=-(M^2-2*L3*M-L2*L3-L1*L3-L1*L2)/(L3+L2)
=(L2*L3+2*L3*M-M^2+L1*(L3+L2))/(L3+L2)
=L1+((L3-M)*(L2+M)+L3*M+L2*M)/(L3+L2)
=L1+M+(L3-M)*(L2+M)/(L3+L2)

これはMの符号が反転しただけの違いではあるが。

次ぎの問題は簡単そうでちょっとひっかけ問題。相互誘導回路の一次側と二次側の端子が抵抗を介して接続されているだけなので、等価回路に単純に置き換えることが出来ない。



しかしよく考えれば、回路は直列接続なのでどこに入っていても等価であると考えれば、以下のように捉え直すことができる。




この場合でも一次側と二次側の巻き線の向きが特に指定されていないのと電流の向きが逆なので相互インダクタンスの符号は負とするのが妥当である。これを等価回路で置き換えると、



そうすると相互インダクタンスは宙ぶらりんになり盲腸のような扱いになるが、回路の合成インピーダンスは一目瞭然。

Z0=R1+R2+jω(L1+L2+2*M)

ということになる。

著者は等価回路で置き換える手法が使えないとして回路方程式をたてて解いているが、そんなことはない。

次ぎの問題は抵抗Rが直列に接続されたL1と互いに相互誘導結合する２つのL2が並列に接続された回路の合成インピーダンスを求めるもの。



２つの以上の相互誘導結合を伴う相互誘導回路は等価回路で表すことができない。従って以前あった問題と同様に回路方程式をたてて解析する必要がある。

しかし問題で示されている図の通りに式をたてても著者のような解は得られない。実は著者の描いている図は不完全で、実は以下のような磁気回路を伴わないと説明がつかない。



すなわち３つのコイルはメガネ型の磁気コアにそれぞれ巻かれていて、L1とL2の間だけでなくL2とL2の間にも相互誘導結合が存在しないとL1とL2の間だけ磁気結合があるというのは物理的におかしい。L1とL2は同じ巻き線方向に電流を流すと互いに磁束を強め合うのに対して、L2とL2は同じ巻き線方向に電流が流れても互いに磁束を弱め合うという点になるのがミソ。

詳細に書き直した回路を元に方程式をたてると

E=-jωL2*I2-jωM*I1+jωM*I2

E=R*I1+jωL1*I1+2*jωM*I2

I=I1-2*I2

これに合成インピーダンスの関係

E=Z*I

を加えてI,I1,I2,Zに関する４元連立方程式として解くと

(%i70) e1:E=-%i*o*L2*I2-%i*o*M*I1+%i*o*M*I2;
(%o70) E=%i*o*I2*M-%i*o*I1*M-%i*o*I2*L2
(%i71) e2:E=(R+%i*o*L1)*I1+2*%i*o*M*I2;
(%o71) E=I1*(R+%i*o*L1)+2*%i*o*I2*M
(%i72) e3:I=I1-2*I2;
(%o72) I=I1-2*I2
(%i73) e4:E=Z*I;
(%o73) E=I*Z
(%i74) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,I,Z]);
(%o74) [[I1=-((2*E*M+2*E*L2)*R+3*%i*o*E*M^2+(4*%i*o*E*L2+2*%i*o*E*L1)*M+%i*o*E*L2^2+2*%i*o*E*L1*L2)
/((2*M-2*L2)*R^2+(7*%i*o*M^2+(4*%i*o*L1-2*%i*o*L2)*M-%i*o*L2^2-4*%i*o*L1*L2)*R-6*o^2*M^3+
(-2*o^2*L2-7*o^2*L1)*M^2+(2*o^2*L1*L2-2*o^2*L1^2)*M+o^2*L1*L2^2+2*o^2*L1^2*L2),I2=((4*E*M-4*E*L2)*R^4+
(24*%i*o*E*M^2+(16*%i*o*E*L1-12*%i*o*E*L2)*M-4*%i*o*E*L2^2-16*%i*o*E*L1*L2)*R^3+(-53*o^2*E*M^3+
(3*o^2*E*L2-72*o^2*E*L1)*M^2+(9*o^2*E*L2^2+36*o^2*E*L1*L2-24*o^2*E*L1^2)*M+o^2*E*L2^3+12*o^2*E*L1*L2^2+24*o^2*E*L1^2*
L2)*R^2+(-51*%i*o^3*E*M^4+(-17*%i*o^3*E*L2-106*%i*o^3*E*L1)*M^3+
(3*%i*o^3*E*L2^2+6*%i*o^3*E*L1*L2-72*%i*o^3*E*L1^2)*M^2+
(%i*o^3*E*L2^3+18*%i*o^3*E*L1*L2^2+36*%i*o^3*E*L1^2*L2-16*%i*o^3*E*L1^3)*M+2*%i*o^3*E*L1*L2^3+12*%i*o^3*E*L1^2*L2^2+
16*%i*o^3*E*L1^3*L2)*R+18*o^4*E*M^5+(12*o^4*E*L2+51*o^4*E*L1)*M^4+(2*o^4*E*L2^2+17*o^4*E*L1*L2+53*o^4*E*L1^2)*M^3+
(-3*o^4*E*L1*L2^2-3*o^4*E*L1^2*L2+24*o^4*E*L1^3)*M^2+(-o^4*E*L1*L2^3-9*o^4*E*L1^2*L2^2-12*o^4*E*L1^3*L2+4*o^4*E*L1^4)*
M-o^4*E*L1^2*L2^3-4*o^4*E*L1^3*L2^2-4*o^4*E*L1^4*L2)/((4*%i*o*M^2-8*%i*o*L2*M+4*%i*o*L2^2)*R^4+
(-28*o^2*M^3+(36*o^2*L2-16*o^2*L1)*M^2+(32*o^2*L1*L2-4*o^2*L2^2)*M-4*o^2*L2^3-16*o^2*L1*L2^2)*R^3+(-73*%i*o^3*M^4+
(44*%i*o^3*L2-84*%i*o^3*L1)*M^3+(18*%i*o^3*L2^2+108*%i*o^3*L1*L2-24*%i*o^3*L1^2)*M^2+
(-4*%i*o^3*L2^3-12*%i*o^3*L1*L2^2+48*%i*o^3*L1^2*L2)*M-%i*o^3*L2^4-12*%i*o^3*L1*L2^3-24*%i*o^3*L1^2*L2^2)*R^2+(84*
o^4*M^5+(4*o^4*L2+146*o^4*L1)*M^4+(-20*o^4*L2^2-88*o^4*L1*L2+84*o^4*L1^2)*M^3+
(-4*o^4*L2^3-36*o^4*L1*L2^2-108*o^4*L1^2*L2+16*o^4*L1^3)*M^2+(8*o^4*L1*L2^3+12*o^4*L1^2*L2^2-32*o^4*L1^3*L2)*M+2*o^4*
L1*L2^4+12*o^4*L1^2*L2^3+16*o^4*L1^3*L2^2)*R+36*%i*o^5*M^6+(24*%i*o^5*L2+84*%i*o^5*L1)*M^5+
(4*%i*o^5*L2^2+4*%i*o^5*L1*L2+73*%i*o^5*L1^2)*M^4+(-20*%i*o^5*L1*L2^2-44*%i*o^5*L1^2*L2+28*%i*o^5*L1^3)*M^3+
(-4*%i*o^5*L1*L2^3-18*%i*o^5*L1^2*L2^2-36*%i*o^5*L1^3*L2+4*%i*o^5*L1^4)*M^2+
(4*%i*o^5*L1^2*L2^3+4*%i*o^5*L1^3*L2^2-8*%i*o^5*L1^4*L2)*M+%i*o^5*L1^2*L2^4+4*%i*o^5*L1^3*L2^3+4*%i*o^5*L1^4*L2^2),I=
-(4*E*R^2+(12*%i*o*E*M+4*%i*o*E*L2+8*%i*o*E*L1)*R-9*o^2*E*M^2+(-6*o^2*E*L2-12*o^2*E*L1)*M-o^2*E*L2^2-4*o^2*E*
L1*L2-4*o^2*E*L1^2)/((2*%i*o*M-2*%i*o*L2)*R^2+(-7*o^2*M^2+(2*o^2*L2-4*o^2*L1)*M+o^2*L2^2+4*o^2*L1*L2)*R-6*%i*
o^3*M^3+(-2*%i*o^3*L2-7*%i*o^3*L1)*M^2+(2*%i*o^3*L1*L2-2*%i*o^3*L1^2)*M+%i*o^3*L1*L2^2+2*%i*o^3*L1^2*L2),Z=
((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L1*M-%i*o^2*L1*L2)/(2*%i*R-3*o*M-o*L2-2*o*L1)]]

Zについて整理すると

Z=((ω*M-ω+L2)*R+2*j*ω^2*M^2+j*ω^2*L1*M-j*ω^2*L1*L2)/(2*j*R-3*ω*M-ω*L2-2*ω*L1)
=(ω*(M-L2)*R+j*ω^2*(2*M^2+L1*M-L1*L2))/(j*(2*R+j*ω*(M+L2+2*L1))
=-j*(ω*(M-L2)*R+j*ω^2*(2*M^2+L1*M-L1*L2))/(2*R+j*ω*(M+L2+2*L1))
=(ω^2*(2*M^2+L1*M-L1*L2)-j*ω*(M-L2)*R)/(2*R+j*ω*(M+L2+2*L2))

ということになる。

題意にあるようにL1=L2=-Mとすると

(%i75) subst(L2, L1, Z=((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L1*M-%i*o^2*L1*L2)/(2*%i*R-3*o*M
-o*L2-2*o*L1));
(%o75) Z=((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L2*M-%i*o^2*L2^2)/(2*%i*R-3*o*M-3*o*L2)
(%i76) subst(-L2, M, Z=((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L2*M-%i*o^2*L2^2)/(2*%i*R-3*o*M
-3*o*L2));
(%o76) Z=%i*o*L2

従って

Z=j*ω*L2

ということになる。

P.S

結局問題で示されている回路図が不十分というかダメダメだったというだけだった。著者の解法を見ない限り、回路図が実際にどうなのかというのは知るよしもない。

電気回路の参考書でここまで深い相互誘導回路の問題を出している本は他には無い。結局のところ相互誘導回路をマスターするには磁気回路についても見通しが立てられないといけないということを知ることが出来た点ではこの問題は大変重要である。

著者はこの問題の意義について特にふれていないが、L1=L2=-Mということは漏洩インダクタンスが0ということで理想的なトランスとなった場合には、この回路はL2だけのインダクタとして見えるということを示しているものと言える。どっかの誰かが見いだした定理なのかもしれないが、ちょっと見あたらない。

願わくは図を正確に。

P.S

どうやらこの回路は三脚鉄心回路のひとつらしい。三脚鉄心回路に関してはいろいろ応用や特許が考案されているので、これもそのひとつだろうけど、特許が絡んでいるだけに名前は伏せているのかもしれない。

次ぎの問題はタップのあるコイルのある回路の合成インピーダンスを求めるもの。ただしω^2*(L1+L2+2*M)*C=1とする。



タップのあるコイルは、同じ方向に巻かれたL1,L2のコイルが直列につながったと考えられる。電流の流れる方向が互いに逆なので相互インダクタンスの符号は負とするのが妥当。

E=(R+jωL2)*I1-jωM*I2

E=(jωL1-j/(ωC))*I2-jωM*I1

I=I1+I2

E=Z0*I

これらをI,I1,I2,Z0に関する連立方程式として解くと

(%i59)
solve([E=%i*o*L2*I1-%i*o*M*I2+R*I1,E=%i*o*L1*I2-%i*o*M*I1-%i*I2/(o*C),I=I1+I2,E=Z0*I],[I,I1,I2,Z0]);
(%o59) [[I=-(%i*o*C*E*R-2*o^2*C*E*M-o^2*C*E*L2-o^2*C*E*L1+E)/((o^2*C*L1-1)*R-%i*o^3*C*M^2+(%i*o^3*C*L1-%i*o)*L2),I1=
(%i*o^2*C*E*M+%i*o^2*C*E*L1-%i*E)/((%i*o^2*C*L1-%i)*R+o^3*C*M^2+(o-o^3*C*L1)*L2),I2=((o^3*C^2*E*L1-o*C*E)*R^2+
(-%i*o^4*C^2*E*M^2+(%i*o^4*C^2*E*L1-%i*o^2*C*E)*M+(2*%i*o^4*C^2*E*L1-2*%i*o^2*C*E)*L2)*R+o^5*C^2*E*M^3+o^5*C^2*E*
L2*M^2+(o^3*C*E-o^5*C^2*E*L1)*L2*M+(o^3*C*E-o^5*C^2*E*L1)*L2^2)/((%i*o^4*C^2*L1^2-2*%i*o^2*C*L1+%i)*R^2+
((2*o^5*C^2*L1-2*o^3*C)*M^2+(-2*o^5*C^2*L1^2+4*o^3*C*L1-2*o)*L2)*R-%i*o^6*C^2*M^4+(2*%i*o^6*C^2*L1-2*%i*o^4*C)*
L2*M^2+(-%i*o^6*C^2*L1^2+2*%i*o^4*C*L1-%i*o^2)*L2^2),Z0=-((o^2*C*L1-1)*R-%i*o^3*C*M^2+(%i*o^3*C*L1-%i*o)*L2)/(%i*o*C*R-2*o^2*C*M-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)]
]

(%i71) rectform(Z0=-((o^2*C*L1-1)*R-%i*o^3*C*M^2+(%i*o^3*C*L1-%i*o)*L2)/(%i*o*C*R-2*o^2*C*M
-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1));
(%o71) Z0=(%i*(o*C*(o^2*C*L1-1)*R^2+(-2*o^2*C*M-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)*(o^3*C*M^2-(o^3*C*L1-o)*L2)))/(o^2*C^2*R^2+(-2*o^2*C*M-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)^2)+
(o*C*(o^3*C*M^2-(o^3*C*L1-o)*L2)*R-(o^2*C*L1-1)*(-2*o^2*C*M-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)*R)/(o^2*C^2*R^2+(-2*o^2*C*M-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)^2)

Z0について整理すると

Z0=(j*(ω*C*(ω^2*C*L1-1)*R^2+(-2*ω^2*C*M-ω^2*C*L2-ω^2*C*L1+1)*(ω^3*C*M^2-(ω^3*C*L1-ω)*L2)))/(ω^2*C^2*R^2+(-2*ω^2*C*M-ω^2*C*L2-ω^2*C*L1+1)^2)+
(ω*C*(ω^3*C*M^2-(ω^3*C*L1-ω)*L2)*R-(ω^2*C*L1-1)*(-2*ω^2*C*M-ω^2*C*L2-ω^2*C*L1+1)*R)/(ω^2*C^2*R^2+(-2*ω^2*C*M-ω^2*C*L2-ω^2*C*L1+1)^2)
=(ω^2*C*R*(ω^2*C*M^2-(ω^2*C*L1-1)*L2)-(ω^2*C*L1-1)*(1-ω^2*(L1+L2+2*M)*C)*R)/(ω^2*C^2*R^2+(1-ω^2*(L1+L2+2*M)*C)^2)+j*(ω*C*R^2*(ω^2*C*L1-1)+(1-ω^2*(L1+L2+2*M)*C)*(ω^3*C*M^2-(ω^3*C*L1-ω)*L2))/(ω^2*C^2*R^2+(1-ω^2*(L1+L2+2*M)*C)^2)


ここで題意のω^2*(L1+L2+2*M)*C=1をZ0の式に適用すると

Z0=(ω^2*C*R*(ω^2*C*M^2-(ω^2*C*L1-1)*L2))/(ω^2*C^2*R^2)+j*(ω*C*R^2*(ω^2*C*L1-1))/(ω^2*C^2*R^2)
=(ω^2*C*M^2-(ω^2*C*L1-1)*L2)/(C*R)+j*(ω^2*C*L1-1)/(ω*C)

題意からω^2*C=1/(L1+L2+2*M)なので

Z0=(M^2/(L1+L2+2*M)-(L1/(L1+L2+2*M)-1)*L2)/(C*R)+j(L1/(L1+L2+2*M)-1)/(ω*C)
=(M^2-(L1-(L1+L2+2*M))*L2)/(C*R*(L1+L2+2*M))+j(L1-(L1+L2+2*M))/(ω*C*(L1+L2+2*M))
=(M^2-(-L2-2*M*L2)*L2)/(C*R*(L1+L2+2*M))-j(L2+2*M)/(ω*C*(L1+L2+2*M))
=(M+L2)^2/(C*R*(L1+L2+2*M)-j(L2+2*M)/(ω*C*(L1+L2+2*M))

また題意よりω=sqrt(1/(C*(L1+L2+2*M)))なので

Z0=(M+L2)^2/(C*R*(L1+L2+2*M)-j(L2+2*M)/sqrt(C*(L1+L2+2*M))

ということになる。

ωの項を消去する操作は著者の解法を参考にした。

以下の回路のAB間の実効抵抗と実効リアクタンスを求めよというもの。



ちょっとひねってあるけど、まず任意の角周波数ωでのAB間のインピーダンスを導くために回路方程式をたてると

jωL1*I1+jωM*I2=E

(R+jωL2-j/(ω*C))*I2+jωM*I1=0

Z0=E/I1

これをI1,I2,Z0に関する３元連立方程式として解くと

(%i2)
solve([%i*o*L1*I1+%i*o*M*I2=E,(R+%i*o*L2-%i/(o*C))*I2+%i*o*M*I1=0,Z0=E/I1],[I1,I2,Z0]);
(%o2) [[I1=(o*C*E*R+%i*o^2*C*E*L2-%i*E)/(%i*o^2*C*L1*R+o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1),I2=-
(%i*o^2*C^2*E*M*R+(o*C*E-o^3*C^2*E*L2)*M)/(%i*o^2*C^2*L1*R^2+(o^3*C^2*M^2-2*o^3*C^2*L1*L2+2*o*C*L1)*R+(%i*o^4*C^2*L2-%i*o^2*C)*M^2-%i*o^4*C^2*L1*L2^2+2*%i*o^2*C*L1*L2-%i*L1),
Z0=(%i*o^2*C*L1*R+o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1)/(o*C*R+%i*o^2*C*L2-%i)]]

Z0を直交形式に書き直すと

(%i3) rectform(Z0=(%i*o^2*C*L1*R+o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1)/(o*C*R+%i*o^2*C*L2-%i));
(%o3) Z0=(%i*(o^3*C^2*L1*R^2+(1-o^2*C*L2)*(o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1)))/(o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L2-1)^2)+
(o*C*(o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1)*R-o^2*C*L1*(1-o^2*C*L2)*R)/(o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L2-1)^2)

Z0=(ω*C*(ω^3*C*M^2-ω^3*C*L1*L2+ω*L1)*R-ω^2*C*L1*(1-ω^2*C*L2)*R)/(ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L2-1)^2)+j*(ω^3*C^2*L1*R^2+(1-ω^2*C*L2)*(ω^3*C*M^2-ω^3*C*L1*L2+ω*L1))/(ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L2-1)^2)
=ω^2*C*R*((ω^2*C*(M^2-L1*L2)+L1)-L1*(1-ω^2*C*L2))/(ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L2-1)^2)+j*ω*(ω^2*C^2*L1*R^2+(1-ω^2*C*L2)*(ω^2*C*(M^2-L1*L2)+L1))/(ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L2-1)^2)

ここでω=1/sqrt(L2*C)を代入すると

(%i6)
subst(1/sqrt(L2*C), o, Z0=(%i*(o^3*C^2*L1*R^2+(1-o^2*C*L2)*(o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2
+o*L1)))/(o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L2-1)^2)+(o*C*(o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1)*R-o^2*C*L1*(1
-o^2*C*L2)*R)/(o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L2-1)^2));
(%o6) Z0=(L2*((C*M^2)/(C*L2)^(3/2)+L1/sqrt(C*L2)-(C*L1*L2)/(C*L2)^(3/2)))/(sqrt(C*L2)*R)+(%i*C*L1*L2)/(C*L2)^(3/2)
(%i7) factor(%);
(%o7) Z0=(%i*C*L1*L2*R+sqrt(C*L2)*M^2)/(C*L2*sqrt(C*L2)*R)
(%i8) rectform(%);
Is C * L2 positive, negative, or zero? p;
(%o8) Z0=M^2/(C*L2*R)+(%i*L1)/sqrt(C*L2)

従って

Z0=M^2/(C*L2*R)+j*L1/sqrt(C*L2)

実数部が実効抵抗、虚数部が実効リアクタンスなので

R0=M^2/(C*L2*R)

X0=L1/sqrt(C*L2)

ということになる。

任意のωに関するZ0の式から(1-ω^2*C*L2)の項が消去されるのは容易にわかる。著者は最初にその項を消去して最後に残ったωに1/sqrt(L2*C)を代入して最終的な式を得ている。