次ぎも少しひねくれた問題。以下の回路で電流I1が電圧Eと同相となる条件を導けというもの。



とりあえず任意の条件でのI1の式を導くことにしよう。回路から方程式をたてると

(R+jωL1)*I1+jωM*I2=E

jωL2*I2+jωM*I1=E

I=I1+I2

これをI,I1,I2に関する３元連立方程式として解くと

(%i9) solve([(R+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*I2=E,%i*o*L2*I2+%i*o*M*I1=E,I=I1+I2],[I,I1,I2]);
(%o9) [[I=(E*R-2*%i*o*E*M+%i*o*E*L2+%i*o*E*L1)/(%i*o*L2*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I1=-(%i*E*M-%i*E*L2)/(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2),I2=(E*R-%i*o*E*M+%i*o*E*L1)/(%i*o*L2*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)]]

I1について整理すると

(%i10) rectform(I1=-(%i*E*M-%i*E*L2)/(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2));
(%o10) I1=(L2*(E*L2-E*M)*R)/(L2^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)+(%i*(E*L2-E*M)*(o*M^2-o*L1*L2))/(L2^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)

従って

I1=(L2*(E*L2-E*M)*R)/(L2^2*R^2+(ω*M^2-ω*L1*L2)^2)+j*(E*L2-E*M)*(ω*M^2-ω*L1*L2)/(L2^2*R^2+(ω*M^2-ω*L1*L2)^2)
=(L2*(L2-M)*R)*E/(L2^2*R^2+(ω*(M^2-L1*L2))^2)+j*(L2-M)*(ω*(M^2-L1*L2))*E/(L2^2*R^2+(ω*(M^2-L1*L2))^2)

ということになる。

ここで電流I1が電圧Eと同相であるためには電流I1の位相角は０でなければならない、すなわちI1の実数部が正の値でかつ虚数部が０とならなければならない。

I1の式で実数部が正かつ虚数部が０となるためには

M^2-L1*L2=0

かつ

L2-M > 0

でなければならない。

すなわち

M^2=L1*L2

かつ

L2 > M

ということになる。

次ぎもひねった問題。回路図のA点を電流が流れないようにする相互インダクタンスの結合係数kとその時の回路の等価インダクタンスを導けというもの。



まずA点を流れる電流I2と等価インダクタンスL0を導くために方程式をたてる

jωL*I1+jωM*I2=E

2*jωL*I2+jωM*I1+jωM*I3=E

jωL*I3+jωM*I2=E

I=I1+I2+I3

jωL0*I=E

これをI,I1,I2,I3,L0に関する５元連立方程式として解くと

(%i12) solve([%i*o*L*I1+%i*o*M*I2=E,2*%i*o*L*I2+%i*o*M*I1+%i*o*M*I3=E,%i*o*L*I3+%i*o*M*I2=E,I=I1
+I2+I3,%i*o*L0*I=E],[I,I1,I2,I3,L0]);
(%o12) [[I=-(4*%i*E*M-5*%i*E*L)/(2*o*M^2-2*o*L^2),I1=(E*M-2*E*L)/(2*%i*o*M^2-2*%i*o*L^2),I2=(2*E*M-E*L)/(2*%i*o*M^2-2*%i*o*L^2),I3=(E*M-2*E*L)/(2*%i*o*M^2-2*%i*o*L^2),L0=
(2*M^2-2*L^2)/(4*M-5*L)]]

I2,L0について整理すると

I2=(2*E*M-E*L)/(2*j*ω*M^2-2*j*ω*L^2)
=E*(2*M-L)/(2*j*ω*(M^2-L^2))

従ってI2=0となるには

2*M-L=0

でなければならない。

すなわち

L=2*M

という条件となる。

L1とL2の相互インダクタンスがMの場合結合係数kは公式で

k=M/sqrt(L1*L2)

で与えられているので、L1=L2=Lの場合

k=M/sqrt(L*L)
=M/L

これに先の条件L=2*Mを代入すると

k=M/(2*M)
=1/2

ということになる。

一方等価インダクタンスL0について整理すると

L0=(2*M^2-2*L^2)/(4*M-5*L)
=2*(M^2-L^2)/(3*M-5*L)

これにM=L/2を代入すると

(%i13) subst(L/2, M, L0=(2*M^2-2*L^2)/(4*M-5*L));
(%o13) L0=L/2

従って等価インダクタンスは

L0=L/2

ということになる。

相互誘導作用によってI2が0となり、回路はLが２つ並列接続したのと等価となる。

しばらく暑くて茹で上がって中断していた演習問題を再開。

まだまだ続く相互誘導回路の問題。今度は二次側に可変抵抗が負荷として接続された回路の実効抵抗と実効インダクタンスを求める問題。可変抵抗を変化させた時のそれぞれの最大値も求めよという副題付き。



巻き線の向きが指定されていないので電流の向きが反対だが相互インダクタンスMは正とみなして方程式をたててみる。

(R1+jωL1)*I1+jωM*I2=E

(R2+R+jωL2)*I2+jωM*I1=0

また回路全体のインピーダンスに関して

Z0*I1=E

の関係が成り立つので、これらをI1,I2,Z0に関する連立方程式として解くと

(%i44) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o44) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i45) e2:(R2+R+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o45) I2*(R2+R+%i*o*L2)+%i*o*I1*M=0
(%i46) e3:Z0*I1=E;
(%o46) I1*Z0=E
(%i47) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Z0]);
(%o47) [[I1=(E*R2+E*R+%i*o*E*L2)/((R1+%i*o*L1)*R2+(R+%i*o*L2)*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-(%i*o*E*M*R2+%i*o*E*M*R-o^2*E*
L2*M)/((R1+%i*o*L1)*R2^2+((2*R+2*%i*o*L2)*R1+2*%i*o*L1*R+o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R2+
(R^2+2*%i*o*L2*R-o^2*L2^2)*R1+%i*o*L1*R^2+(o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),Z0=
((R1+%i*o*L1)*R2+(R+%i*o*L2)*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2)]]
(%i48) factor(%);
(%o48) [[I1=(E*(R2+R+%i*o*L2))/(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-(o*E*M*(%i*R2+%i*R-o*L2))
/(R1*R2^2+%i*o*L1*R2^2+2*R*R1*R2+2*%i*o*L2*R1*R2+2*%i*o*L1*R*R2+o^2*M^2*R2-2*o^2*L1*L2*R2+R^2*R1+2*%i*o*
L2*R*R1-o^2*L2^2*R1+%i*o*L1*R^2+o^2*M^2*R-2*o^2*L1*L2*R+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),Z0=
(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2)]]

Z0について整理すると

(%i58)
rectform(Z0=(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2));
(%o58) Z0=((R2+R)*(R1*R2+R*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+o*L2*(o*L1*R2+o*L2*R1+o*L1*R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)+
(%i*((R2+R)*(o*L1*R2+o*L2*R1+o*L1*R)-o*L2*(R1*R2+R*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)
(%i59) factor(%);
(%o59) Z0=
(R1*R2^2+%i*o*L1*R2^2+2*R*R1*R2+2*%i*o*L1*R*R2+o^2*M^2*R2+R^2*R1+o^2*L2^2*R1+%i*o*L1*R^2+o^2*M^2*R-%i*o^3*L2*M^2+%i*o^3*L1*L2^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)
(%i60) rectform(%);
(%o60) Z0=(R1*R2^2+2*R*R1*R2+o^2*M^2*R2+R^2*R1+o^2*L2^2*R1+o^2*M^2*R)/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)+
(%i*(o*L1*R2^2+2*o*L1*R*R2+o*L1*R^2-o^3*L2*M^2+o^3*L1*L2^2))/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)

従って

Z0=(R1*R2^2+2*R*R1*R2+ω^2*M^2*R2+R^2*R1+ω^2*L2^2*R1+ω^2*M^2*R)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+j*(ω*L1*R2^2+2*ω*L1*R*R2+ω*L1*R^2-ω^3*L2*M^2+ω^3*L1*L2^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)
=(R1*(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+ω^2*M^2*(R2+R))/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+j*ω*(L1*(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)-ω^2*L2*M^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)
=R1+ω^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)+j*ω*(L1-ω^2*L2*M^2/((R2+R)^2+ω^2*L2^2))

従って実数部が実効抵抗、虚数部が実効リアクタンスなので

Z0=R0+jωL0

なる関係から

R0=R1+ω^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)

L0=L1-ω^2*L2^2*M^2/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)

ということになる。

またRを可変とした場合にR0,L0のそれぞれの最大値は、Rによってそれぞれの式を微分すると

(%i62) diff(R1+o^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+o^2*L2^2), R);
(%o62) (o^2*M^2)/((R2+R)^2+o^2*L2^2)-(2*o^2*M^2*(R2+R)^2)/((R2+R)^2+o^2*L2^2)^2
(%i63) factor(%);
(%o63) -(o^2*M^2*(R2+R-o*L2)*(R2+R+o*L2))/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)^2

dR0/dR=-(ω^2*M^2*(R2+R-ω*L2)*(R2+R+ω*L2))/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2

極大点はdR0/dR=0となる点すなわち分子の値が０となる点なので

(R2+R-ω*L2)*(R2+R+ω*L2)=0

これをRについて解くと

(%i64) solve([(R2+R-o*L2)*(R2+R+o*L2)], [R]);
(%o64) [R=-R2-o*L2,R=o*L2-R2]

Rは正の値なので

R=ω*L2-R2

かつ

ω*L2-R2 ≧ 0

なる条件の時にR0が最大値となるので、R0の式にこの条件を代入すると

(%i65) subst(o*L2-R2, R, (o^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)+R1);
(%o65) R1+(o*M^2)/(2*L2)

従って

Rm=R1+ω*M^2/(2*L2)

ということになる。

同様に実効インダクタンスについてRで微分すると

(%i66) diff(L1-o^2*L2^2*M^2/((R2+R)^2+o^2*L2^2), R);
(%o66) (2*o^2*L2^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)^2

dL0/dR=(2*ω^2*L2^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2

これはちょっと困った。分子と分母をそれぞれ(R2+R)で割ると

dL0/dR=(2*ω^2*L2^2*M^2)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2/(R2+R)
=(2*ω*L2^2*M^2)/((R2+R)+ω^2*L2^2/(R2+R))^2

従ってdL0/dR=0となるのは分母が∞になるとき、すなわちR=∞のときとなる。

この条件をL0の式に代入すると

Lm=L1

となる。

これは相互誘導回路の二次側を開放にすれば一次側だけのインダクタンス成分しか見えなくなるという意味で合っている。

著者は実効抵抗の最大値をとるケースについてω*L2-R2 < 0についても考慮しているがこの場合Rが負ということになってしまうので意味が無い。

次ぎは二次側が可変容量Cが接続された同調回路。



以下の関係が成り立つ

jωL1*I1+jωM*I2=E1

(R+jωL2-j/(ωC))*I2+jωM*I1=0

j/(ωC)*I2=E2

Z*I1=E1

G=|E2|/|E1|

ここで二次側は共振状態にあることから

ωL2-1/(ωC)=0

なので第二の式は

R*I2+jωM*I1=0

と置き換えることができる。

これをI1,I2,E2,Z,Gに関する5元連立方程式として解くと

(%i76) e1:%i*o*L1*I1+%i*o*M*I2=E1;
(%o76) %i*o*I2*M+%i*o*I1*L1=E1
(%i86) e2:(R)*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o86) I2*R+%i*o*I1*M=0
(%i78) e3:(%i/(o*C))*I2=E2;
(%o78) (%i*I2)/(o*C)=E2
(%i79) e4:Z*I1=E1;
(%o79) I1*Z=E1
(%i80) e5:G=abs(E2)/abs(E1);
(%o80) G=abs(E2)/abs(E1)
(%i87) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I1,I2,E2,Z,G]);
(%o87) [[I1=-(%i*E1*R)/(o*L1*R-%i*o^2*M^2),I2=-(E1*M)/(L1*R-%i*o*M^2),E2=-(%i*E1*M)/(o*C*L1*R-%i*o^2*C*M^2),Z=(%i*o*L1*R+o^2*M^2)/R,G=
(abs(M)*sqrt(L1^2*R^2+o^2*M^4))/(o*C*L1^2*R^2+o^3*C*M^4)]]
(%i88) factor(%);
(%o88) [[I1=-(%i*E1*R)/(o*(L1*R-%i*o*M^2)),I2=-(E1*M)/(L1*R-%i*o*M^2),E2=-(%i*E1*M)/(o*C*(L1*R-%i*o*M^2)),Z=(o*(%i*L1*R+o*M^2))/R,G=
abs(M)/(o*C*sqrt(L1^2*R^2+o^2*M^4))]]

ZとGについて整理すると

Z=(ω*(j*L1*R+ω*M^2))/R
=ω^2*M^2/R+j*ω*L1

G=M/(ω*C*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*M^4))

ということになる。

最初に式を立てる際に共振条件を適用して簡単にしておかないと、一般的なZ,Gの式を得てからその条件を適用して式を整理するのは至難の業である。なので著者の解法と同じやりかたになってしまった。

これは典型的な同調回路であるが、ゲインが一番高くするにはいろいろな要素が絡んできて難しい。RとL1とCは小さい方が良いのはわかる。相互インダクタンスMの加減が微妙である。

次ぎは少し変わった回路。抵抗要素は無くキャパシタンスで一次側と二次側がカップリングされていて二次側に結合の無いインダクタンスが並列に接続されている回路の実効キャパシタンスを求めよというもの。



LとCしかないので回路のインピーダンスは誘導性か容量性のいずれかもしくは０か∞となるはず。題意では容量性となっているということ。

以下の式が成り立つ

(jωL1-j/(ωC)+jωM)*I1+(jωL2+jωM)*I2=E

jωL2*I2+jωM*I1-jωL3*(I1-I2)=0

Z*I1=E

Z=-j/(ωC0)

これらをI1,I2,Z,C0に関する４元連立方程式として解くと

(%i89) e1:(%i*o*L1-%i/(o*C)+%i*o*M)*I1+(%i*o*L2+%i*o*M)*I2=E;
(%o89) I2*(%i*o*M+%i*o*L2)+I1*(%i*o*M+%i*o*L1-%i/(o*C))=E
(%i90) e2:%i*o*L2*I2+%i*o*M*I1-%i*o*L3*(I1-I2)=0;
(%o90) %i*o*I1*M-%i*o*(I1-I2)*L3+%i*o*I2*L2=0
(%i91) e3:Z*I1=E;
(%o91) I1*Z=E
(%i92) e4:Z=-%i/(o*C0);
(%o92) Z=-%i/(o*C0)
(%i93) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,Z,C0]);
(%o93) [[I1=-(o*C*E*L3+o*C*E*L2)/(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2),I2=
(o*C*E*M-o*C*E*L3)/(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2),Z=-
(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2)/(o*C*L3+o*C*L2),C0=
(C*L3+C*L2)/(o^2*C*M^2-2*o^2*C*L3*M+(-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)*L3+(1-o^2*C*L1)*L2)]]

従って

C0=(C*L3+C*L2)/(ω^2*C*M^2-2*ω^2*C*L3*M+(-ω^2*C*L2-ω^2*C*L1+1)*L3+(1-ω^2*C*L1)*L2)
=C*(L2+L3)/(C*ω^2*(M^2-2*L3*M-(L1+L2)*L3-L1*L2)+L3+L2)
=C*(L2+L3)/(L2+L3-ω^2*C*(L1*L2+L1*L3+L2*L3+2*L3*M-M^2))

ということになる。

次ぎも変わった相互誘導回路。L1とL2の間に相互インダクタンスM1の結合があり、L3とL4の間に相互インダクタンスM2の結合があるときに端子AB間の実効リアクタンスを求めよというもの。



相互インダクタンスがいずれも正だとすると以下の式が成り立つ。

jωL1*I1+jωM1*I2=E

jωL2*I2+jωM1*I1+jωL3*I2+jωM2*I3=0

jωL4*I3+jωM2*I2=0

Z*I1=E

Z=jωL0

これをI1,I2,I3,Z,L0に関する連立方程式として解くと

(%i94) e1:%i*o*L1*I1+%i*o*M1*I2=E;
(%o94) %i*o*I2*M1+%i*o*I1*L1=E
(%i106) e2:%i*o*L2*I2+%i*o*M1*I1+%i*o*L3*I2+%i*o*M2*I3=0;
(%o106) %i*o*I3*M2+%i*o*I1*M1+%i*o*I2*L3+%i*o*I2*L2=0
(%i107) e3:%i*o*L4*I3+%i*o*M2*I2=0;
(%o107) %i*o*I2*M2+%i*o*I3*L4=0
(%i97) e4:Z*I1=E;
(%o97) I1*Z=E
(%i98) e5:Z=%i*o*L0;
(%o98) Z=%i*o*L0
(%i108) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I1,I2,I3,Z,L0]);
(%o108) [[I1=-(%i*E*M2^2+(-%i*E*L3-%i*E*L2)*L4)/(o*L1*M2^2+o*L4*M1^2+(-o*L1*L3-o*L1*L2)*L4),I2=
(E*L4*M1)/(%i*o*L1*M2^2+%i*o*L4*M1^2+(-%i*o*L1*L3-%i*o*L1*L2)*L4),I3=-(E*M1*M2)/(%i*o*L1*M2^2+%i*o*L4*M1^2+(-%i*o*L1*L3-%i*o*L1*L2)*L4),Z=-
(o*L1*M2^2+o*L4*M1^2+(-o*L1*L3-o*L1*L2)*L4)/(%i*M2^2+(-%i*L3-%i*L2)*L4),L0=(L1*M2^2+L4*M1^2+(-L1*L3-L1*L2)*L4)/(M2^2+(-L3-L2)*L4)]]

従って

L0=(L1*M2^2+L4*M1^2+(-L1*L3-L1*L2)*L4)/(M2^2+(-L3-L2)*L4)
=(L1*L4+L1*L2-M1^2)*L4-L1*M2^2)/((L2+L3)*L4-M2^2)

ということになる。

次ぎは少しひねった問題。相互誘導結合した一次側と二次側に直列に抵抗が入った回路が並列接続された場合に、一次側を流れる電流と二次側を流れる電流が相等しくかつ位相差がπ/2となる条件を導けというもの。



以下の関係が成り立つ

jωL1*I1+jωM*I2=E

(R+jωL2)*I2+jωM*I1=E

これをI1,I2に関する２元連立方程式として解くと

(%i1) e1:%i*o*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o1) %i*o*I2*M+%i*o*I1=E
(%i2) e2:(R+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I1=E;
(%o2) I2*(R+%i*o*L2)+%i*o*I1*M=E
(%i3) solve([e1,e2],[I1,I2]);
(%o3) [[I1=-(E*(-R-%i*o*L2)+%i*o*E*M)/(%i*o*R+o^2*M^2-o^2*L2),I2=-(%i*E*M-%i*E)/(%i*R+o*M^2-o*L2)]]

I1,I2について直交形式に整理すると

(%i4) rectform(%);
(%o4) [[I1=-(%i*(o*E*R^2+(o*E*M-o*E*L2)*(o^2*M^2-o^2*L2)))/(o^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L2)^2)-(o*(o*E*M-o*E*L2)*R-E*(o^2*M^2-o^2*L2)*R)/(o^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L2)^2),I2=-
((E*M-E)*R)/(R^2+(o*M^2-o*L2)^2)-(%i*(E*M-E)*(o*M^2-o*L2))/(R^2+(o*M^2-o*L2)^2)]]

I1,I2の絶対値は

(%o22) [[I1=(-E*(-R-%i*o*L2)-%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*R-o^2*L2)+o^2*M^2),I2=(%i*E*L1-%i*E*M)/(L1*(%i*R-o*L2)+o*M^2)]]
(%i23) abs(%);
(%o23) [[abs(I1)=sqrt((-(o*E*L1*R^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^3*E*M^3)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)+
(o^3*E*L2*M^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)+(o^3*E*L1*L2*M)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^3*E*L1*L2^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2))^(2)+
((o^2*E*M^2*R)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^2*E*L1*M*R)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2))^2),abs(I2)=sqrt(
((E*L1^2*R)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)-(E*L1*M*R)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2))^2+
(-(o*E*M^3)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)+(o*E*L1*M^2)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)+(o*E*L1*L2*M)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)-(o*E*L1^2*L2)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2))^2)]]
(%i24) factor(%);
(%o24) [[abs(I1)=(abs(E)*sqrt((R^2+o^2*M^2-2*o^2*L2*M+o^2*L2^2)/(L1^2*R^2+o^2*M^4-2*o^2*L1*L2*M^2+o^2*L1^2*L2^2)))/abs(o),abs(I2)=(abs(E)*sqrt(M^2-2*L1*M+L1^2))/sqrt(L1^2*R^2+o^2*M^4-2*o^2*L1*L2*M^2+o^2*L1^2*L2^2)]]

従って

|I1|=(E*sqrt((R^2+ω^2*M^2-2*ω^2*L2*M+ω^2*L2^2)/(L1^2*R^2+ω^2*M^4-2*ω^2*L1*L2*M^2+ω^2*L1^2*L2^2)))/ω
=E*sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)/(ω*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2)

|I2|=(E*sqrt(M^2-2*L1*M+L1^2))/sqrt(L1^2*R^2+ω^2*M^4-2*ω^2*L1*L2*M^2+ω^2*L1^2*L2^2)
=±E*(M-L1)/sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2)
=±E*ω*(M-L1)/(ω*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2)

|I1|=|I2|となるためには

sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)=±ω*(M-L1)

が成り立つ必要がある。

またI1,I2が直交しているためには

I1=±jI2

が成り立つ必要がある。すなわち

I1=(-E*(-R-%i*o*L2)-%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*R-o^2*L2)+o^2*M^2)
=E*(R+j*ω*(L2+M))/(L1*(j*ω*R-ω^2*L2)+ω^2*M^2)
=±jI2
=±j*(j*E*L1-j*E*M)/(L1*(j*R-ω*L2)+ω*M^2)
=±E*(M-L1)/(L1*(j*R-ω*L2)+ω*M^2)
=±E*ω*(M-L1)/(L1*(j*ω*R-ω^2*L2)+ω^2*M^2)

上記の関係が成り立つには

R+j*ω*(L2-M)=±ω*(M-L1)

が成り立つ必要がある。


sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)=±ω*(M-L1)

R+j*ω*(L2-M)=±ω*(M-L1)

この４式（からL1,L2に関する２元連立方程式として解くと

(%i57) e1:R^2+o^2*(M-L2)^2=(o*(M-L1))^2;
(%o57) R^2+o^2*(M-L2)^2=o^2*(M-L1)^2
(%i63) e2:R+%i*o*(L2-M)=o*(M-L1);
(%o63) R+%i*o*(L2-M)=o*(M-L1)
(%i64) e3:R+%i*o*(L2-M)=-o*(M-L1);
(%o64) R+%i*o*(L2-M)=-o*(M-L1)

(%i65) solve([e1,e2],[L1,L2]);
(%o65) [[L1=M,L2=(%i*R+o*M)/o],[L1=-(R-o*M)/o,L2=M]]
(%i66) solve([e1,e3],[L1,L2]);
(%o66) [[L1=M,L2=(%i*R+o*M)/o],[L1=(R+o*M)/o,L2=M]]

従ってL1,L2とも実数でなければならないので

L1=-(R-ω*M)/ω=M-R/ω,L2=M
L1=(R+ω*M/)/ω=M+R/ω,L2=M

の２つの解が得られる。

最初の解のL1の式だと

M=L1+R/ω

相互インダクタンスの方が巻き線のインダクタンスよりも超えてしまうことはあり得ないので

L1=M+R/ω
L2=M

が解となる。

最初直交関係から式を導き出す際に、２つあるのを忘れて片方だけを使ったら、MがL1より大きいケースの解しか得られず悩んだが、著者の解を見てようやくそれに気づき正解にたどり着いた。

この回路の意味は一次側がR/ω分の漏洩インダクタンスを持つ磁気漏れ変圧器もしくはリーケージ・トランスである。こうした意図的に漏洩インダクタンスを利用した磁気漏れ変圧器は蛍光灯の安定器、アーク溶接機など定電流変圧器として応用されている。

今度は以前出てきた２つのトランスが接続された回路で末端が開放されている場合の末端電圧を導けというもの。



CD端が開放なのでL4に流れる電流は0のためI2への相互誘導電流は生じない。その変わりI2がL3に流れることによる相互誘導によってCD端には誘導電圧E2が発生する。

以下の式が成り立つ

jωL1*I1+jωM1*I2=E1

(jωL2+jωL3)*I2+jωM1*I1=0

jωM2*I2=E2

これをI1,I2,E2に関する３元連立方程式として解くと。

(%i67) e1:%i*o*L1*I1=E1;
(%o67) %i*o*I1*L1=E1
(%i68) e1:%i*o*L1*I1+%i*o*M1*I2=E1;
(%o68) %i*o*I2*M1+%i*o*I1*L1=E1
(%i69) e2:(%i*o*L2+%i*o*L3)*I2+%i*o*M1*I1=0;
(%o69) %i*o*I1*M1+I2*(%i*o*L3+%i*o*L2)=0
(%i70) e3:%i*o*M2*I2=E2;
(%o70) %i*o*I2*M2=E2
(%i71) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,E2]);
(%o71) [[I1=(%i*E1*(L3+L2))/(o*M1^2+o*L1*(-L3-L2)),I2=-(%i*E1*M1)/(o*M1^2+o*L1*(-L3-L2)),E2=(E1*M1*M2)/(M1^2+L1*(-L3-L2))]]

従って

E2=(E1*M1*M2)/(M1^2+L1*(-L3-L2))
=E1*M1*M2/(M1^2-L1*(L2+L3))

ということになる。

次ぎもややこしい問題。トランスの二次側に容量負荷があって、一次側と二次側を流れる電流の位相差が90°にするには周波数をいくらにすればいいか導けというもの。



以下の式が成り立つ

(R1+jωL1)*I1+jωM*I2=E

(R2+jωL2-j/(ωC))*I2+jωM*I1=0

またI1とI2の関係は

I1=jK*I2

これらをI1,I2,Kに関する連立方程式として解くと

(%i11) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o11) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i12) e2:(R2+%i*o*L2-%i/(o*C))*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o12) I2*(R2+%i*o*L2-%i/(o*C))+%i*o*I1*M=0
(%i15) e3:I1=%i*K*I2;
(%o15) I1=%i*I2*K
(%i16) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,K]);
(%o16) [[I1=(o*C*E*R2+%i*o^2*C*E*L2-%i*E)/((o*C*R1+%i*o^2*C*L1)*R2+(%i*o^2*C*L2-%i)*R1+o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1),I2=(o^3*C^2*E*M*R2+
(%i*o^4*C^2*E*L2-%i*o^2*C*E)*M)/((%i*o^2*C^2*R1-o^3*C^2*L1)*R2^2+
((2*o*C-2*o^3*C^2*L2)*R1+%i*o^4*C^2*M^2-2*%i*o^4*C^2*L1*L2+2*%i*o^2*C*L1)*R2+(-%i*o^4*C^2*L2^2+2*%i*o^2*C*L2-%i)*R1
+(o^3*C-o^5*C^2*L2)*M^2+o^5*C^2*L1*L2^2-2*o^3*C*L1*L2+o*L1),K=(o*C*R2+%i*o^2*C*L2-%i)/(o^2*C*M)]]

I1とI2が直交関係にあるためにはKは実数でなければならないので

ω^2*C*L2-1=0

∴ω=1/sqrt(C*L2)

ω=2πfを代入すると

2πf=1/sqrt(C*L2)

従って

f=1/(2π*sqrt(C*L2))

ということになる。

すなわち二次側が共振状態にある時に電流の位相が直交することになる。

次ぎも前問とにたようなひねった問題。今度は電源Eと一次側に流れる電流Iの位相差がπ/4になるR1の値を導けというもの。



以下の関係式が成り立つ

(R1+jωL1)*I+jωM*I2=E

(R2+jωL2)*I2+jωM*I1=0

EとIの位相差がπ/4であるためには

E=(K+jK)*I

これらをI,I2,Kに関する三元連立方程式として解くと

(%i17) e1:(R1+%i*o*L1)*I+%i*o*M*I2=E;
(%o17) I*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i18) e2:(R2+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I=0;
(%o18) I2*(R2+%i*o*L2)+%i*o*I*M=0
(%i19) e3:E=(K+%i*K)*I;
(%o19) E=I*(%i*K+K)
(%i20) solve([e1,e2,e3],[I,I2,K]);
(%o20) [[I=(E*R2+%i*o*E*L2)/((R1+%i*o*L1)*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-
(%i*o*E*M*R2-o^2*E*L2*M)/((R1+%i*o*L1)*R2^2+(2*%i*o*L2*R1+o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R2-o^2*L2^2*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),K=
((R1+%i*o*L1)*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/((%i+1)*R2+(%i-1)*o*L2)]]
(%i22)

Kを直交形式に整理すると

rectform(K=((R1+%i*o*L1)*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/((%i+1)*R2+(%i-1)*o*L2));
(%o22) K=((R2-o*L2)*(R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2)-(-R2-o*L2)*(o*L1*R2+o*L2*R1))/((R2+o*L2)^2+(R2-o*L2)^2)+
(%i*((-R2-o*L2)*(R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+(R2-o*L2)*(o*L1*R2+o*L2*R1)))/((R2+o*L2)^2+(R2-o*L2)^2)

前問と同様にKは実数でなければならない

(-R2-ω*L2)*(R1*R2+ω^2*M^2-ω^2*L1*L2)+(R2-ω*L2)*(ω*L1*R2+ω*L2*R1)=0

上記の式をR1について解くと

(%i23) solve([(-R2-o*L2)*(R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+(R2-o*L2)*(o*L1*R2+o*L2*R1)], [R1]);
(%o23) [R1=(o*L1*R2^2-o^2*M^2*R2-o^3*L2*M^2+o^3*L1*L2^2)/(R2^2+o^2*L2^2)]

R1=(ω*L1*R2^2-ω^2*M^2*R2-ω^3*L2*M^2+ω^3*L1*L2^2)/(R2^2+ω^2*L2^2)
=(ω*L1*(R2^2+ω^2*L2^2)-ω^2*M^2*(R2+ω*L2))/(R2^2+ω^2*L2^2)
=ω*L1-ω^2*M^2*(R2+ω*L2)/(R2^2+ω^2*L2^2)

ということになる。