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投稿者 | スレッド |
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webadm | 投稿日時: 2008-9-6 23:18 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【85】直線を描くベクトルの逆数ベクトルの軌跡 これも理論でやった問題のおさらい。
直線を描くベクトルの座標(x,y)には以下の関係が成り立つ y=-m*x+k mは直線の実軸に対する傾き、kは直線の虚軸との交点。 そのベクトルは Z=x+j*y で表される。 従ってその逆数は Y=1/Z=1/(x+j*y) =(x-j*y)/(x^2+y^2) =x/(x^2+y^2)-j*y/(x^2+y^2) ここで G=x/(x^2+y^2) B=-y/(x^2+y^2) とすると Y=B+jG で表される。 一方 G^2+B^2=x^2/(x^2+y^2)^2+(-y)^2/(x^2+y^2) =(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2 =1/(x^2+y^2) =G/x =-B/y 従って x=G/(G^2+B^2) y=-B/(G^2+B^2) これを最初の直線の式に代入すると -B/(G^2+B^2)=-m*G/(G^2+B^2)+k 両辺に(G^2+B^2)/kを乗じると -B/k=-(m/k)*G+(G^2+B^2) 整理すると G^2-(m/k)*G+B^2+B/k=0 従って (G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m/2*k)^2+(1/2*k)^2 (G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m^2+1)/(2*k))^2 従ってこれは中心を(m/2*k,-1/2*k)とする半径sqrt(m^2+1)/2*kの円の式となる。 直線が実軸と並行な場合(m=0)円の中心は(0,-1/2*k)となり半径は1/2*kとなる。 一方直線が x=n*y+l で表される時同様に x=G/(G^2+B^2) y=-B/(G^2+B^2) を代入すると G/(G^2+B^2)=n*(-B/(G^2+B^2))+l 両辺に(G^2+B^2)/lを乗じると G/l=-B*(n/l)+(G^2+B^2) 整理すると G^2-G/l+B^2-B*(n/l)=0 従って (G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1/2*l)^2+(n/2*l)^2 (G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1+n^2)/(2*l)^2 従って逆数のベクトルは中心を(1/2*l,n/2*l)とし半径をsqrt(1+n^2)/2*lとする円を描く。 直線が虚軸と交わらない場合(n=0の場合)、中心が(1/2*l,0)で半径が1/2*lの円を描く。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-6 22:27 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【84】アドミッタンスのベクトル軌跡 次ぎも以前理論でやったことのあるインピーダンスの逆数であるアドミッタンスの軌跡を描く問題。
もう一度おさらいしないといけない。 インピーダンスが Z=R+jX 一方アドミッタンスはインピーダンスの逆数なので Y=1/Z =1/(R+jX) =(R-jX)/(R^2+X^2) =R/(R^2+X^2)-jX/(R^2+X^2) と表される。ここで G=R/(R^2+X^2) B=-X/(R^2+X^2) と置くと Y=G+jB と表される。 また G^2+B^2=R^2/(R^2+X^2)^2+(-X)^2/(R^2+X^2)^2 =1/(R^2+X^2) =G/R =-B/X であることから G^2+B^2-G/R=0 従って (G-1/(2*R))^2+B^2=1/(2*R)^2 これは中心を(1/(2*R),0)とする半径1/(2*R)の円を描く式である。 また同様に G^2+B^2+B/X=0 従って G^2+(B+1/(2*X))^2=(1/(2*X))^2 これは中心を(0,-1/(2*X))とする半径1/(2*X)の円を描く式である。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-6 20:23 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【83】インピーダンスのベクトル軌跡 これも基礎的な理解を確認する問題。
リアクタンスが誘導性の場合には、インピーダンスの虚数部は正の値を取るが、容量性になると負の値を取る。従ってインピーダンスの実効抵抗Rが一定の場合にωを0〜∞に変化させると、リアクタンスが誘導性の場合には虚軸からRだけ離れて虚軸に並行に0から∞に伸びる直線に、容量性の場合には同様に虚軸からRだけ離れて虚軸に並行に0から-∞まで伸びる直線を描くことになる。2つ合わせると虚軸からRだけ離れて虚軸に並行に∞〜-∞まで伸びる直線となる。 またリアクタンスが一定で、抵抗値が変化する場合には、実軸からXだけ離れた実軸に並行な0〜∞に伸びる直線を描くことになる。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-5 9:07 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【82】ベクトルの軌跡(その1) 残りの問題はベクトルの軌跡に関する問題。
最初は単純なRL直列回路のベクトル軌跡を考える。電源の角周波数を変えた時のインピーダンスの軌跡を描くと共に、回路に流れる電流Iを一定に保つ電圧Eの軌跡を描けというもの。 RL直列回路のインピーダンスは Z=R+jωL で表される。従って、ωが0〜∞に変化するとZは虚軸からRだけ離れた虚軸に並行の直線を描くことがわかる。 一方回路の電流Iが一定の場合、RL直列回路の電圧降下は E=Z*I=(R+jωL)*I =R*I+jωL*I で表される。従って、ωが0〜∞に変化するとEは虚軸からR*Iだけ離れた虚軸に並行な直線を描くことがわかる。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-5 7:40 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【81】タップ付き可変抵抗のあるブリッジ これが交流ブリッジの最後の問題。幸いにして相互誘導回路は無いが今まで無かったようなタップのある可変抵抗回路を含む。
以下の関係が成り立つ。 (R1+jωL)*I1+R3*(I1-Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E (R2-Rx)*I2+Rx*(I2-Ic)+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E (R2-Rx)*I2+(1/jωC)*Ic=E (R1+jωL)*I1+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E これをI1,I2,Ic,Igについて解くと (%i66) e1:(R1+%i*o*L)*I1+R3*(I1-Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E; (%o66) (I1-Ig)*R3+I1*(R1+%i*o*L)+(I2+I1-Ic)*R=E (%i67) e2:(R2-Rx)*I2+Rx*(I2-Ic)+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E; (%o67) (I2+Ig-Ic)*R4+I2*(R2-Rx)+(I2+I1-Ic)*R+Rx*(I2-Ic)=E (%i68) e3:(R2-Rx)*I2+(-%i/(o*C))*Ic=E; (%o68) I2*(R2-Rx)-(%i*Ic)/(o*C)=E (%i69) e4:(R1+%i*o*L)*I1+R4*(I2-Ic+Ig)+R*(I1+I2-Ic)=E; (%o69) (I2+Ig-Ic)*R4+I1*(R1+%i*o*L)+(I2+I1-Ic)*R=E (%i70) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,Ic,Ig]); (%o70) [[I1=(R3*(E*(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2)+o*E*R*(C*R2-Rx*C))+E* (o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+o*E*R*(C*R2-Rx*C)*R4)/(R3*(L* (%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1* (o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4 +R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R* (L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1* (R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4)),I2= (R3*(R1*(E*(o*(C*R4+Rx*C)-%i)+o*C*E*R)+E*L*(%i*o^2*(C*R4+Rx*C)+o)+o*Rx*C*E*R4+(%i*o^2*C*E*L+o*Rx*C*E)*R)+ R1*(E*(o*Rx*C*R4-%i*R4)+o*C*E*R*R4)+R*(%i*o^2*C*E*L*R4+o*Rx*C*E*R4)+E*L*(%i*o^2*Rx*C*R4+o*R4))/(R3*(L* (%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1* (o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4 +R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R* (L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1* (R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4)),Ic= (R3*(R1*(o*E*(C*R4+Rx*C)+o*C*E*R)+%i*o^2*E*L*(C*R4+Rx*C)+o*C*E*R2*R4+R*(o*C*E*R2+%i*o^2*C*E*L))+R* (o*C*E*R2*R4+%i*o^2*C*E*L*R4)+R1*(o*C*E*R*R4+o*Rx*C*E*R4)+%i*o^2*Rx*C*E*L*R4)/(R3*(L* (%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1* (o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4 +R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R* (L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1* (R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4)),Ig= (R3*(E*(o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2)+o*E*R*(C*R2-Rx*C))+o*E*R*(C*R2-Rx*C)*R4+%i*E*R1*R4-o* E*L*R4)/(R3*(L*(%i*o^2*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+o*(R4+R2))+R1* (o*((C*R2-Rx*C)*R4+Rx*C*R2-Rx^2*C)+%i*(-R4-R2)+R*(o*(C*R2-Rx*C)-%i))+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4 +R*(L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)+o)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)-%i*R2))+R* (L*(%i*o^2*(C*R2-Rx*C)*R4+o*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+R1* (R*(o*(C*R2-Rx*C)*R4-%i*R4)+o*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4-%i*R2*R4)+L*(%i*o^2*(Rx*C*R2-Rx^2*C)*R4+o*R2*R4))]] (%i71) factor(%); (%o71) [[I1=(E*(o*C*R2*R3*R4-o*Rx*C*R3*R4+o*C*R*R2*R4+o*Rx*C*R2*R4-%i*R2*R4-o*Rx*C*R*R4-o*Rx^2*C*R4 +o*C*R*R2*R3+o*Rx*C*R2*R3-%i*R2*R3-o*Rx*C*R*R3-o*Rx^2*C*R3))/(o*C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx* C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4-%i*R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3*R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1* R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i*o^2*C*L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4-%i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2* R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C*R1*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R*R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o* C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i*o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+ o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3-o*Rx^2*C*R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3+o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L* R3),I2=(E*(o*C*R1*R3*R4+%i*o^2*C*L*R3*R4+o*Rx*C*R3*R4+o*C*R*R1*R4+o*Rx*C*R1*R4-%i*R1*R4+%i*o^2*C*L*R* R4+o*Rx*C*R*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R4+o*L*R4+o*C*R*R1*R3+o*Rx*C*R1*R3-%i*R1*R3+%i*o^2*C*L*R*R3+o*Rx*C*R*R3+%i* o^2*Rx*C*L*R3+o*L*R3))/(o*C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx*C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4- %i*R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3*R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1*R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i* o^2*C*L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4-%i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2*R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C* R1*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R*R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o*C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2* R3+%i*o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3- o*Rx^2*C*R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3+o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L*R3),Ic=(o*C*E*(R2*R3*R4+R1*R3*R4 +%i*o*L*R3*R4+R*R2*R4+R*R1*R4+Rx*R1*R4+%i*o*L*R*R4+%i*o*Rx*L*R4+R*R2*R3+R*R1*R3+Rx*R1*R3+%i*o*L*R* R3+%i*o*Rx*L*R3))/(o*C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx*C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4-%i* R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3*R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1*R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i*o^2*C* L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4-%i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2*R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C*R1*R4 -%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R*R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o*C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i* o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3-o*Rx^2*C* R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3+o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L*R3),Ig=(E*(o*C*R2*R3*R4-o*Rx*C*R3*R4+o*C* R*R2*R4+%i*R1*R4-o*Rx*C*R*R4-o*L*R4+o*C*R*R2*R3+o*Rx*C*R2*R3-%i*R2*R3-o*Rx*C*R*R3-o*Rx^2*C*R3))/(o* C*R1*R2*R3*R4+%i*o^2*C*L*R2*R3*R4+o*Rx*C*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-o*Rx*C*R1*R3*R4-%i*R1*R3*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R3* R4+o*L*R3*R4-o*Rx^2*C*R3*R4+o*C*R*R1*R2*R4+o*Rx*C*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4+%i*o^2*C*L*R*R2*R4+o*Rx*C*R*R2*R4- %i*R*R2*R4+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R4+o*L*R2*R4-o*Rx*C*R*R1*R4-%i*R*R1*R4-o*Rx^2*C*R1*R4-%i*o^2*Rx*C*L*R*R4+o*L*R* R4-o*Rx^2*C*R*R4-%i*o^2*Rx^2*C*L*R4+o*C*R*R1*R2*R3+o*Rx*C*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i*o^2*C*L*R*R2*R3+o*Rx*C*R* R2*R3-%i*R*R2*R3+%i*o^2*Rx*C*L*R2*R3+o*L*R2*R3-o*Rx*C*R*R1*R3-%i*R*R1*R3-o*Rx^2*C*R1*R3-%i*o^2*Rx*C*L*R*R3 +o*L*R*R3-o*Rx^2*C*R*R3-%i*o^2*Rx^2*C*L*R3)]] Igについて整理すると Ig=(E*(ω*C*R2*R3*R4-ω*Rx*C*R3*R4+ω*C* R*R2*R4+j*R1*R4-ω*Rx*C*R*R4-ω*L*R4+ω*C*R*R2*R3+ω*Rx*C*R2*R3-j*R2*R3-ω*Rx*C*R*R3-ω*Rx^2*C*R3))/(ω* C*R1*R2*R3*R4+j*ω^2*C*L*R2*R3*R4+ω*Rx*C*R2*R3*R4-j*R2*R3*R4-ω*Rx*C*R1*R3*R4-j*R1*R3*R4-j*ω^2*Rx*C*L*R3* R4+ω*L*R3*R4-ω*Rx^2*C*R3*R4+ω*C*R*R1*R2*R4+ω*Rx*C*R1*R2*R4-j*R1*R2*R4+j*ω^2*C*L*R*R2*R4+ω*Rx*C*R*R2*R4- j*R*R2*R4+j*ω^2*Rx*C*L*R2*R4+ω*L*R2*R4-ω*Rx*C*R*R1*R4-j*R*R1*R4-ω*Rx^2*C*R1*R4-j*ω^2*Rx*C*L*R*R4+ω*L*R* R4-ω*Rx^2*C*R*R4-j*ω^2*Rx^2*C*L*R4+ω*C*R*R1*R2*R3+ω*Rx*C*R1*R2*R3-j*R1*R2*R3+j*ω^2*C*L*R*R2*R3+ω*Rx*C*R* R2*R3-j*R*R2*R3+j*ω^2*Rx*C*L*R2*R3+ω*L*R2*R3-ω*Rx*C*R*R1*R3-j*R*R1*R3-ω*Rx^2*C*R1*R3-j*ω^2*Rx*C*L*R*R3 +ω*L*R*R3-ω*Rx^2*C*R*R3-j*ω^2*Rx^2*C*L*R3) 従ってIg=0となるためには分子が0となる条件 ω*C*R2*R3*R4-ω*Rx*C*R3*R4+ω*C*R*R2*R4+j*R1*R4-ω*Rx*C*R*R4-ω*L*R4+ω*C*R*R2*R3+ω*Rx*C*R2*R3-j*R2*R3-ω*Rx*C*R*R3-ω*Rx^2*C*R3=0 を満たす必要がある。 直交形式に整理すると ω*(C*(R2-Rx)*((R3+R)*R4+(R+Rx)*R3)-L*R4)+j*(R1*R4-R2*R3)=0 実数部と虚数部がそれぞれ0でなければならないので 実数部より C*(R2-Rx)*((R3+R)*R4+(R+Rx)*R3)-L*R4=0 ∴L=C*(R2-Rx)*((R3+R)*R4+(R+Rx)*R3)/R4 虚数部より R1*R4-R2*R3=0 ∴R1*R4=R2*R3 ということになる。 著者はR2-RxをR2'、RxをR2''として網目電流法で方程式をたてて同じ結果を得ている。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-5 7:02 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【80】相互誘導回路のあるブリッジ(その5) まだまだ続く難問奇問。
以下の関係が成り立つ。 (R1+jωL)*I1+jωM*Ig=E (1/jωC1)*I2+(1/(1/R2+jωC2))*(I2-Ig)=E (1/jωC1)*I2+jωL*Ig+jωM*I1=E これをI1,I2,Igに関して解くと (%i57) e1:(R1+%i*o*L)*I1+%i*o*M*Ig=E; (%o57) I1*(R1+%i*o*L)+%i*Ig*o*M=E (%i58) e2:(-%i/(o*C1))*I2+(1/(1/R2+%i*o*C2))*(I2-Ig)=E; (%o58) (I2-Ig)/(1/R2+%i*o*C2)-(%i*I2)/(o*C1)=E (%i59) e3:(-%i/(o*C1))*I2+%i*o*L*Ig+%i*o*M*I1=E; (%o59) %i*o*I1*M+%i*Ig*o*L-(%i*I2)/(o*C1)=E (%i60) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]); (%o60) [[I1=-(E*L*(%i*o^2*(-C2-C1)*R2-o)+%i*o^2*C1*E*M*R2+%i*E*R2)/(R1*(L*(%i*o^2*(C2+C1)*R2+o)-%i*R2)+M^2*(o^3*(C2+C1)*R2-%i*o^2)+L^2*(o^3*(-C2-C1)*R2+%i*o^2)+o*L*R2), I2=-(R1*(E*L*(o^3*C1*C2*R2-%i*o^2*C1)-o*C1*E*R2)+E*L^2*(%i*o^4*C1*C2*R2+o^3*C1)+E*M^2* (-%i*o^4*C1*C2*R2-o^3*C1)+%i*o^2*C1*E*M*R2-%i*o^2*C1*E*L*R2)/(R1*(L*(%i*o^2*(C2+C1)*R2+o)-%i*R2)+M^2* (o^3*(C2+C1)*R2-%i*o^2)+L^2*(o^3*(-C2-C1)*R2+%i*o^2)+o*L*R2),Ig= (E*M*(%i*o^2*(-C2-C1)*R2-o)+o*C1*E*R1*R2+%i*o^2*C1*E*L*R2)/(R1*(L*(%i*o^2*(C2+C1)*R2+o)-%i*R2)+M^2*(o^3*(C2+C1)*R2-%i*o^2)+L^2*(o^3*(-C2-C1)*R2+%i*o^2)+o*L*R2)]] (%i61) factor(%); (%o61) [[I1=-(E*(%i*o^2*C1*M*R2-%i*o^2*C2*L*R2-%i*o^2*C1*L*R2+%i*R2-o*L))/(%i*o^2*C2*L*R1*R2+%i*o^2* C1*L*R1*R2-%i*R1*R2+o^3*C2*M^2*R2+o^3*C1*M^2*R2-o^3*C2*L^2*R2-o^3*C1*L^2*R2+o*L*R2+o*L*R1-%i*o^2*M^2+%i*o^2* L^2),I2=-(o*C1*E* (o^2*C2*L*R1*R2-R1*R2-%i*o^3*C2*M^2*R2+%i*o*M*R2+%i*o^3*C2*L^2*R2-%i*o*L*R2-%i*o*L*R1-o^2*M^2+o^2*L^2))/( %i*o^2*C2*L*R1*R2+%i*o^2*C1*L*R1*R2-%i*R1*R2+o^3*C2*M^2*R2+o^3*C1*M^2*R2-o^3*C2*L^2*R2-o^3*C1*L^2*R2+o*L*R2+o* L*R1-%i*o^2*M^2+%i*o^2*L^2),Ig=(o*E*(C1*R1*R2-%i*o*C2*M*R2-%i*o*C1*M*R2+%i*o*C1*L*R2-M))/(%i*o^2*C2*L* R1*R2+%i*o^2*C1*L*R1*R2-%i*R1*R2+o^3*C2*M^2*R2+o^3*C1*M^2*R2-o^3*C2*L^2*R2-o^3*C1*L^2*R2+o*L*R2+o*L*R1-%i* o^2*M^2+%i*o^2*L^2)]] Igについて整理すると Ig=(ω*E*(C1*R1*R2-j*ω*C2*M*R2-j*ω*C1*M*R2+j*ω*C1*L*R2-M))/(j*ω^2*C2*L*R1*R2+j*ω^2*C1*L*R1*R2-j*R1*R2+ω^3*C2*M^2*R2+ω^3*C1*M^2*R2-ω^3*C2*L^2*R2-ω^3*C1*L^2*R2+ω*L*R2+ω*L*R1-j*ω^2*M^2+j*ω^2*L^2) 従ってIg=0となる条件は分子が0となる条件 C1*R1*R2-j*ω*C2*M*R2-j*ω*C1*M*R2+j*ω*C1*L*R2-M=0 を満たす必要がある。 直交形式に整理すると C1*R1*R2-M-j*ω*R2*(C2*M+C1*M-C1*L)=0 実数部と虚数部が共に0でなければならないので C1*R1*R2-M=0 ∴M=C1*R1*R2 C2*M+C1*M-C1*L=0 ∴C2*M=C1*(L-M) また L=M*(C1+C2)/C1 これに M=C1*R1*R2 を代入すると L=R1*R2*(C1+C2) ということになる。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-5 6:42 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【79】相互誘導回路のあるブリッジ(その4) またしても難問な相互誘導回路のあるブリッジ。
以下の関係が成り立つ (R1+jωL1)*I1+jωM*(I2-Ig)=E R2*I2+(R4+jωL4)*(I2-Ig)+jωM*I1=E (R4+jωL4)*(I2-Ig)+jωM*I1=0 これをI1,I2,Igに関して解くと (%i50) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*(I2-Ig)=E; (%o50) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*(I2-Ig)*M=E (%i51) e2:R2*I2+(R4+%i*o*L4)*(I2-Ig)+%i*o*M*I1=E; (%o51) (I2-Ig)*(R4+%i*o*L4)+I2*R2+%i*o*I1*M=E (%i52) e3:(R4+%i*o*L4)*(I2-Ig)+%i*o*M*I1=0; (%o52) (I2-Ig)*(R4+%i*o*L4)+%i*o*I1*M=0 (%i53) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]); (%o53) [[I1=(E*(R4+%i*o*L4))/(L1*(%i*o*R4-o^2*L4)+R1*(R4+%i*o*L4)+o^2*M^2),I2=E/R2,Ig= (E*L1*(%i*o*R4-o^2*L4)+E*R1*(R4+%i*o*L4)+%i*o*E*M*R2+o^2*E*M^2)/(L1*(%i*o*R2*R4-o^2*L4*R2)+R1*(R2*R4+%i*o*L4*R2)+o^2*M^2*R2)]] (%i54) factor(%); (%o54) [[I1=(E*(R4+%i*o*L4))/(R1*R4+%i*o*L1*R4+%i*o*L4*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L4),I2=E/R2,Ig= (E*(R1*R4+%i*o*L1*R4+%i*o*M*R2+%i*o*L4*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L4))/(R2*(R1*R4+%i*o*L1*R4+%i*o*L4*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L4))]] Igについて整理すると Ig=(E*(R1*R4+j*ω*L1*R4+j*ω*M*R2+j*ω*L4*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4))/(R2*(R1*R4+j*ω*L1*R4+j*ω*L4*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4)) 従ってIg=0となるためには R1*R4+j*ω*L1*R4+j*ω*M*R2+j*ω*L4*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4=0 が成り立つ必要がある。 直交形式に整理すると R1*R4+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4+j*ω*(L1*R4+M*R2+L4*R1)=0 実数部と虚数部が共に0になる必要から R1*R4+ω^2*M^2-ω^2*L1*L4=0 ∴R1*R4=ω^2*(L1*L4-M^2) L1*R4+M*R2+L4*R1=0 ∴M=-(L1*R4+L4*R1)/R2 ということになる。 回路方程式さえ間違えなければ正しく解ける。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-5 5:57 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【78】相互誘導回路のあるブリッジ(その3) 次ぎも相互誘導回路のあるブリッジの問題。
R5に流れる電流Igが0になる平衡条件を導けというもの。 以下の関係が成り立つ。 R1*I1+(R3+jωL2)*(I1-Ig)=E R2*I2+jωL3*I2+R4*(I2-Ig)+jωM*Ig=E R1*I1+R5*Ig+jωL4*Ig+R4*(I2-Ig)+jωM*I2=E これをI1,I2,Igに関して解くと (%i36) e1:R1*I1+(R3+%i*o*L2)*(I1-Ig)=E; (%o36) (I1-Ig)*(R3+%i*o*L2)+I1*R1=E (%i37) e2:R2*I2+%i*o*L3*I2+R4*(I2-Ig)+%i*o*M*Ig=E; (%o37) (I2-Ig)*R4+I2*R2+%i*Ig*o*M+%i*o*I2*L3=E (%i38) e3:R1*I1+R5*Ig+%i*o*L4*Ig+R4*(I2-Ig)+%i*o*M*I2=E; (%o38) Ig*R5+(I2-Ig)*R4+I1*R1+%i*o*I2*M+%i*Ig*o*L4=E (%i39) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]); (%o39) [[I1=-(E*(%i*o*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)-R2*R5+R4*(R2-R5)+o^2*(L3*L4-M^2))+E* (%i*o*(M-L3)-R2)*R3+E*L2*(o^2*(L3-M)-%i*o*R2))/(L2* (%i*o*(R4*(R5-R2)+R2*R5)+o^2*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)+%i*o^3*(M^2-L3*L4))+R1* (%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+L2*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))+R3* (%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+R1*(R4+R2+%i*o*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))),I2=(R1* (E*(R5-R4+%i*o*L4)+%i*o*E*L2)+R3*(E*(R5+%i*o*(L4-M))+E*R1)+E*L2*(%i*o*R5+o^2*(M-L4)))/(L2* (%i*o*(R4*(R5-R2)+R2*R5)+o^2*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)+%i*o^3*(M^2-L3*L4))+R1* (%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+L2*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))+R3* (%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+R1*(R4+R2+%i*o*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))),Ig=-(E* R1*(R4+%i*o*M)+E*(%i*o*(M-L3)-R2)*R3+E*L2*(o^2*(L3-M)-%i*o*R2))/(L2* (%i*o*(R4*(R5-R2)+R2*R5)+o^2*(-L3*R5+(L3-L4)*R4-L4*R2)+%i*o^3*(M^2-L3*L4))+R1* (%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+L2*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L3)+o^2*(M^2-L3*L4))+R3* (%i*o*(L3*R5+(L4-L3)*R4+L4*R2)+R4*(R5-R2)+R2*R5+R1*(R4+R2+%i*o*L3)+o^2*(M^2-L3*L4)))]] (%i40) factor(%); (%o40) [[I1=(E*(R4*R5+R2*R5+%i*o*L3*R5-R2*R4+%i*o*L4*R4-%i*o*L3*R4+R2*R3-%i*o*M*R3+%i*o*L3* R3+%i*o*L4*R2+%i*o*L2*R2+o^2*M^2+o^2*L2*M-o^2*L3*L4-o^2*L2*L3))/(R3*R4*R5+R1*R4*R5+%i*o*L2*R4*R5+ R2*R3*R5+%i*o*L3*R3*R5+R1*R2*R5+%i*o*L2*R2*R5+%i*o*L3*R1*R5-o^2*L2*L3*R5-R2*R3*R4+R1*R3*R4+%i*o*L4* R3*R4-%i*o*L3*R3*R4-R1*R2*R4-%i*o*L2*R2*R4+%i*o*L4*R1*R4-%i*o*L3*R1*R4+%i*o*L2*R1*R4-o^2*L2*L4*R4+o^2* L2*L3*R4+R1*R2*R3+%i*o*L4*R2*R3+%i*o*L3*R1*R3+o^2*M^2*R3-o^2*L3*L4*R3+%i*o*L4*R1*R2+%i*o*L2*R1*R2-o^2* L2*L4*R2+o^2*M^2*R1-o^2*L3*L4*R1-o^2*L2*L3*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L2*L3*L4),I2=(E* (R3*R5+R1*R5+%i*o*L2*R5-R1*R4+R1*R3-%i*o*M*R3+%i*o*L4*R3+%i*o*L4*R1+%i*o*L2*R1+o^2*L2*M-o^2*L2*L4) )/(R3*R4*R5+R1*R4*R5+%i*o*L2*R4*R5+R2*R3*R5+%i*o*L3*R3*R5+R1*R2*R5+%i*o*L2*R2*R5+%i*o*L3*R1*R5-o^2* L2*L3*R5-R2*R3*R4+R1*R3*R4+%i*o*L4*R3*R4-%i*o*L3*R3*R4-R1*R2*R4-%i*o*L2*R2*R4+%i*o*L4*R1*R4-%i*o*L3* R1*R4+%i*o*L2*R1*R4-o^2*L2*L4*R4+o^2*L2*L3*R4+R1*R2*R3+%i*o*L4*R2*R3+%i*o*L3*R1*R3+o^2*M^2*R3-o^2*L3*L4* R3+%i*o*L4*R1*R2+%i*o*L2*R1*R2-o^2*L2*L4*R2+o^2*M^2*R1-o^2*L3*L4*R1-o^2*L2*L3*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L2*L3* L4),Ig=-(E*(R1*R4-R2*R3+%i*o*M*R3-%i*o*L3*R3-%i*o*L2*R2+%i*o*M*R1-o^2*L2*M+o^2*L2*L3))/(R3*R4* R5+R1*R4*R5+%i*o*L2*R4*R5+R2*R3*R5+%i*o*L3*R3*R5+R1*R2*R5+%i*o*L2*R2*R5+%i*o*L3*R1*R5-o^2*L2*L3*R5- R2*R3*R4+R1*R3*R4+%i*o*L4*R3*R4-%i*o*L3*R3*R4-R1*R2*R4-%i*o*L2*R2*R4+%i*o*L4*R1*R4-%i*o*L3*R1*R4+%i* o*L2*R1*R4-o^2*L2*L4*R4+o^2*L2*L3*R4+R1*R2*R3+%i*o*L4*R2*R3+%i*o*L3*R1*R3+o^2*M^2*R3-o^2*L3*L4*R3+%i*o* L4*R1*R2+%i*o*L2*R1*R2-o^2*L2*L4*R2+o^2*M^2*R1-o^2*L3*L4*R1-o^2*L2*L3*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L2*L3*L4)]] Igについて整理すると Ig=-(E*(R1*R4-R2*R3+j*ω*M*R3-j*ω*L3*R3-j*ω*L2*R2+j*ω*M*R1-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3))/(R3*R4* R5+R1*R4*R5+j*ω*L2*R4*R5+R2*R3*R5+j*ω*L3*R3*R5+R1*R2*R5+j*ω*L2*R2*R5+j*ω*L3*R1*R5-ω^2*L2*L3*R5- R2*R3*R4+R1*R3*R4+j*ω*L4*R3*R4-j*ω*L3*R3*R4-R1*R2*R4-j*ω*L2*R2*R4+j*ω*L4*R1*R4-j*ω*L3*R1*R4+j* ω*L2*R1*R4-ω^2*L2*L4*R4+ω^2*L2*L3*R4+R1*R2*R3+j*ω*L4*R2*R3+j*ω*L3*R1*R3+ω^2*M^2*R3-ω^2*L3*L4*R3+j*ω* L4*R1*R2+j*ω*L2*R1*R2-ω^2*L2*L4*R2+ω^2*M^2*R1-ω^2*L3*L4*R1-ω^2*L2*L3*R1+j*ω^3*L2*M^2-j*ω^3*L2*L3*L4) 従ってIg=0になるのは分子が0となる条件なので R1*R4-R2*R3+j*ω*M*R3-j*ω*L3*R3-j*ω*L2*R2+j*ω*M*R1-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3=0 直交形式に整理すると R1*R4-R2*R3-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3+j*ω*(M*(R1+R3)-L3*R3-L2*R2))=0 従って実数部と虚数部が共に0とならなければならないので R1*R4-R2*R3-ω^2*L2*M+ω^2*L2*L3=0 ∴R1*R4=R2*R3+ω^2*L2*(M-L3) M*(R1+R3)-L3*R3-L2*R2=0 ∴M*(R1+R3)=L3*R3+L2*R2 ということになる。 ちょっと回路定数名の割り当て方が変則的なので最初間違った式をたててしまった。 著者は相互誘導回路を等価回路に置き換えてブリッジの両端の電位が等しい条件で簡単に導いている。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-5 5:24 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【77】相互誘導回路のあるブリッジ(その2) 次ぎも相互誘導回路のある難問奇問。
平衡時のLをR1,R2,R3,R4,Mでその時の角周波数をL,R1,R2,R3,R4を用いて表せというもの。 平衡条件を導くために検流計を流れる電流Igの式を導くことにする。 以下の関係が成り立つ。 R1*I1+R3*(I1-Ig)-jωM*Ig=E R2*I2+(R4+jωL)*(I2+Ig)-jωM*Ig=E R1*I1-jωM*(I1+I2)-R2*I2=0 これをI1,I2,Igについて解くと (%i10) e1:R1*I1+R3*(I1-Ig)-%i*o*M*Ig=E; (%o10) (I1-Ig)*R3+I1*R1-%i*Ig*o*M=E (%i11) e2:R2*I2+(R4+%i*o*L)*(I2+Ig)-%i*o*M*Ig=E; (%o11) (I2+Ig)*(R4+%i*o*L)+I2*R2-%i*Ig*o*M=E (%i12) e3:R1*I1-%i*o*M*(I1+I2)-R2*I2=0; (%o12) -I2*R2+I1*R1-%i*o*(I2+I1)*M=0 (%i13) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Ig]); (%o13) [[I1=(E*(R2*R4+%i*o*L*R2)+E*M*(%i*o*R4-o^2*L)+(E*R2+%i*o*E*M)*R3)/(R1* (M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3* (R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L)),I2=(E*M* (o^2*L-%i*o*R4)+E*R1*(R4+%i*o*L)+(E*R1-%i*o*E*M)*R3)/(R1* (M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3* (R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L)),Ig=(E*M* (%i*o*(R4+R2)-o^2*L)+R1*(E*(-R4-%i*o*L)+%i*o*E*M)+(E*R2+%i*o*E*M)*R3)/(R1* (M*(2*%i*o*R4-2*o^2*L)+R2*R4+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+R3* (R1*(R4+R2+%i*o*L)+R2*R4-2*%i*o*M*R2+%i*o*L*R2+o^2*M^2)+M^2*(o^2*(R4+R2)+%i*o^3*L))]] (%i14) factor(%); (%o14) [[I1=(E*(R2*R4+%i*o*M*R4+R2*R3+%i*o*M*R3+%i*o*L*R2-o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2* R4+2*%i*o*M*R1*R4+o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*R2+ o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2),I2=(E* (R1*R4-%i*o*M*R4+R1*R3-%i*o*M*R3+%i*o*L*R1+o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1*R2*R4+2*%i*o*M*R1*R4+ o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1*R2+o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1- 2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2),Ig=-(E* (R1*R4-%i*o*M*R4-R2*R3-%i*o*M*R3-%i*o*M*R2-%i*o*M*R1+%i*o*L*R1+o^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1* R2*R4+2*%i*o*M*R1*R4+o^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*%i*o*M*R2*R3+%i*o*L*R2*R3+%i*o*L*R1*R3+o^2*M^2*R3+%i*o*L*R1* R2+o^2*M^2*R2+o^2*M^2*R1-2*o^2*L*M*R1+%i*o^3*L*M^2)]] Igについて整理すると Ig=-(E*(R1*R4-j*ω*M*R4-R2*R3-j*ω*M*R3-j*ω*M*R2-j*ω*M*R1+j*ω*L*R1+ω^2*L*M))/(R2*R3*R4+R1*R3*R4+R1* R2*R4+2*j*ω*M*R1*R4+ω^2*M^2*R4+R1*R2*R3-2*j*ω*M*R2*R3+j*ω*L*R2*R3+j*ω*L*R1*R3+ω^2*M^2*R3+j*ω*L*R1* R2+ω^2*M^2*R2+ω^2*M^2*R1-2*ω^2*L*M*R1+j*ω^3*L*M^2) 従ってIg=0となる条件は分子が0となる条件 R1*R4-j*ω*M*R4-R2*R3-j*ω*M*R3-j*ω*M*R2-j*ω*M*R1+j*ω*L*R1+ω^2*L*M=0 を満たす必要がある。 直交形式に整理すると R1*R4-R2*R3+ω^2*L*M-j*ω*(M*(R4+R3+R2+R1)-L*R1)=0 実数部と虚数部が共に0となる必要から R1*R4-R2*R3+ω^2*L*M=0 M*(R1+R2+R3+R4)-L*R1=0 が成り立つ必要がある。 第二式より ∴L=M*(R1+R2+R3+R4)/R1 第一式より ω^2=(R2*R3-R1*R4)/L*M ここで第二式より M=L*R1/(R1+R2+R3+R4) を代入すると ω^2=(R2*R3-R1*R4)/L*(L*R1/(R1+R2+R3+R4)) =(R2*R3-R1*R4)*(R1+R2+R3+R4)/(L^2*R1) ∴ω=(1/L)*sqrt((R2*R3-R1*R4)*(R1+R2+R3+R4)/R1) ということになる。 この解析の難所は相互インダクタンスのみ扱う総合誘導回路であるということ、結合係数k=1でかつ一次側と二次側の巻き線のインダクタンスが等しいという前提で考えなければならない点である。もちろん一般的な漏洩インダクタンスがある場合のケースでも解析可能だが、題意とは異なる。Mの符号を最初逆にして式を立てたらLが負になってしまって慌てて逆にした。 |
webadm | 投稿日時: 2008-9-5 0:19 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089 |
【76】誘導損のあるケーブルの容量測定 次ぎは交流ブリッジを応用した損失のあるケーブルの容量の測定回路の問題。
交流ブリッジの平衡条件 Z1*Z4=Z2*Z3 ∴Z4=Z2*Z3/Z1 これに Z1=1/(1/P+jωC) Z2=Q Z3=1/jωCs を代入すると Z4=Q*(1/jωCs)/(1/(1/P+jωC)) =-j*(Q/ωCs)/(P/(1+jωC*P)) =-j*(Q/ωCs)*(1+jωC*P)/P =(Q/ωCs)*(ωC*P-j)/P =Q*C/Cs-j*Q/ωCs*P 一方 Z4=1/(1/Rx+jωCx) =Rx/(1+jωCx*Rx) =Rx*(1-jωCx*Rx)/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2) =(Rx-jωCx*Rx^2)/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2) 2つの式が等価であるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならず Q*C/Cs=Rx/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2) Q/ωCs*P=ωCx*Rx^2/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2) が成り立つ必要がある。 上記の2式をCx,Rxに関する連立方程式として解くと (%i71) e1:Q*C/Cs=Rx/(1+o^2*Cx^2*Rx^2); (%o71) (C*Q)/Cs=Rx/(Cx^2*o^2*Rx^2+1) (%i72) e2:Q/(o*Cs*P)=o*Cx*Rx^2/(1+o^2*Cx^2*Rx^2); (%o72) Q/(Cs*o*P)=(Cx*o*Rx^2)/(Cx^2*o^2*Rx^2+1) (%i73) solve([e1,e2],[Cx,Rx]); (%o73) [[Cx=(Cs*P)/((o^2*C^2*P^2+1)*Q),Rx=((o^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*o^2*C*P^2)]] 従って Cx=(Cs*P)/((ω^2*C^2*P^2+1)*Q) Rx=((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*ω^2*C*P^2) ということになる。 従って力率cosφは cosφ=Rx/|Z4| =Rx/sqrt(Rx^2/(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)^2+(Cx^2*ω^2*Rx^4)/(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)^2) =Rx*(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/sqrt(Rx^2+(Cx^2*ω^2*Rx^4)) =Rx*(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/(Rx*sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2))) =(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2)) =1/sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2)) =1/sqrt(1+(((Cs*P)/((ω^2*C^2*P^2+1)*Q))^2*ω^2*(((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*ω^2*C*P^2))^2) =1/sqrt(1+((Cs*P)^2*ω^2/(Cs*ω^2*C*P^2))^2) =1/sqrt(1+1/(ω*C*P)^2) =ω*C*P/sqrt(1+ω^2*C^2*P^2) ということになる。 著者は平衡条件の式をアドミッタンスの式に直して解いている。そっちの方が素直に解ける。 |
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