次ぎも相互誘導回路を伴った交流ブリッジの問題。



Sを閉じてもSに電流が流れない条件を導けというもの。

以下の関係が成り立つ

2*(jωL+(-j/ωC))*I1-2*jωM*I1-jωL*I3+jωM*I3-(-j/ωC)*I2=0

(-j/ωC)*I2-(-j/ωC)*I1=E

jωL*I3-jωL*I1+jωM*I1=0

Is=I3-I2

これをI1,I2,I3,Isについて解くと

(%i22) e1:2*(%i*o*L+(-%i/(o*C))-%i*o*M)*I1-%i*o*L*I3+%i*o*M*I3-(-%i/(o*C))*I2=0;
(%o22) 2*I1*(-%i*o*M+%i*o*L-%i/(o*C))+%i*o*I3*M-%i*o*I3*L+(%i*I2)/(o*C)=0
(%i23) e2:(-%i/(o*C))*I2-(-%i/(o*C))*I1=E;
(%o23) (%i*I1)/(o*C)-(%i*I2)/(o*C)=E
(%i24) e3:%i*o*L*I3-%i*o*L*I1+%i*o*M*I1=0;
(%o24) %i*o*I1*M+%i*o*I3*L-%i*o*I1*L=0
(%i25) e4:Is=I3-I2;
(%o25) Is=I3-I2
(%i26) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,I3,Is]);
(%o26) [[I1=-(o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),I2=-(o^3*C^2*E*M^2-o^3*C^2*E*L^2+2*o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),I3=
(o*C*E*M-o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),Is=(o^3*C^2*E*M^2+o*C*E*M-o^3*C^2*E*L^2+o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L)]]
(%i27) factor(%);
(%o27) [[I1=(%i*o*C*E*L)/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),I2=(%i*o*C*E*(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+2*L))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),I3=-(%i*o*C*E*(M-L))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),Is=-
(%i*o*C*E*(M+L)*(o^2*C*M-o^2*C*L+1))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L)]]

従ってIs=0となるためには

M+L=0

∴M=-L

ということになる。

もう一つの項からも

ω^2*C*M-ω^2*C*L+1=0

という条件があるがこれは整理すると

ω^2*C*(M-L)+1=0

ω=1/sqrt(C*(L-M))

ということになる。これは漏洩インダクタンス(L-M)とCとの直列共振点である。

著者の解にはこれは含まれていないが、たてた回路方程式がどっか間違っているのだろうか？　それとも著者はこの条件を見落としているのか？

試しに相互誘導回路を等価回路に置き換えて式を立ててみると



以下の関係が成り立つ

2*(jω*(L-M)+(-j/ωC))*I1-jωM*I-(-j/ωC)*I2=0

(R+(-j/ωC))*I2-R*I-(-j/ωC)*I1=E

(R+jωM+jω*(L-M))*I-jω*(L-M)*I1-R*I2=0

Is=I2-I

これをI,I1,I2,Isについて解くと
(%i47) e1:2*(%i*o*(L-M)+(-%i/(o*C)))*I1-%i*o*(L-M)*I-(-%i/(o*C))*I2=0;
(%o47) -%i*o*I*(L-M)+2*I1*(%i*o*(L-M)-%i/(o*C))+(%i*I2)/(o*C)=0
(%i48) e2:(%i*o*M+%i*o*(L-M)+R)*I-%i*o*(L-M)*I1-R*I2=0;
(%o48) I*(R+%i*o*M+%i*o*(L-M))-I2*R-%i*o*I1*(L-M)=0
(%i49) e3:(R+(-%i/(o*C)))*I2-R*I-(-%i/(o*C))*I1=E;
(%o49) I2*(R-%i/(o*C))-I*R+(%i*I1)/(o*C)=E
(%i50) e4:Is=I2-I;
(%o50) Is=I2-I
(%i51) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,I2,Is]);
(%o51) [[I=-(M*(2*%i*o^3*C^2*E*R+o^2*C*E)+L*(-2*%i*o^3*C^2*E*R-o^2*C*E)+2*%i*o*C*E*R)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),I1=-
(L*(-%i*o^3*C^2*E*R-o^2*C*E)+%i*o^3*C^2*E*M*R+%i*o*C*E*R)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),I2=
(L*(2*%i*o^3*C^2*E*R+2*o^2*C*E)-2*%i*o^3*C^2*E*M*R-2*%i*o*C*E*R+o^4*C^2*E*M^2-o^4*C^2*E*L^2)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),Is=
(o^4*C^2*E*M^2+o^2*C*E*M-o^4*C^2*E*L^2+o^2*C*E*L)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R)]]
(%i52) factor(%);
(%o52) [[I=-(o*C*E*(2*%i*o^2*C*M*R-2*%i*o^2*C*L*R+2*%i*R+o*M-o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),I1=-
(o*C*E*(%i*o^2*C*M*R-%i*o^2*C*L*R+%i*R-o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),I2=-
(o*C*E*(2*%i*o^2*C*M*R-2*%i*o^2*C*L*R+2*%i*R-o^3*C*M^2+o^3*C*L^2-2*o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),Is=
(o^2*C*E*(M+L)*(o^2*C*M-o^2*C*L+1))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L)]]

やはりIs=0となる条件は

M+L=0

ω^2*C*M-ω^2*C*L+1=0

と２つであることがわかる。

第一の条件から

∴M=-L

第二の条件から

∴ω=1/sqrt(C*(L-M))

ということになる。

P.S

試しにIsの実効値をR=0の条件でプロットしてみると、やはり共振点付近(M=1uH,L=1.82uH,C=0.001uFの時約175.757MHz）で電流がぐっと落ち込んでいるのが確認できる。式の上では分子が０となる点なのでこれも条件としては間違いがないと思われる。ピークがある点は分母の式が０となる条件（f=(1/2π)*sqrt(L/C*(L^2-M^2)),上と同じ回路定数で約141.197MHz)でこちらは電流が∞になることを意味する。

(%i51)
plot2d([(%pi^2*x^2*sqrt(((-1.0599680000000002*10^-34*%pi^4*x^4+1.4559999999999996*10^
-17*%pi^2*x^2+1)/1000000000000+1.9155190015999995*10^-46*%pi^4*x^4+(3.6399999999999995*10^
-6-2.6499199999999998*10^-23*%pi^2*x^2)/1000000-4.0228543999999993*10^-29*%pi^2*x^2
+3.3123999999999983*10^-12)/((5.8239999999999998*10^-17*%pi^4*x^4-4.2398720000000008*10^
-34*%pi^6*x^6)/1000000000000+7.662076006399998*10^-46*%pi^6*x^6-1.9291417599999991*10^
-28*%pi^4*x^4+1.3249599999999992*10^-11*%pi^2*x^2)))/(250000000000)], [x,1000,10^9],
[gnuplot_preamble, "set logscale x; set grid;set logscale y;"])$



回路シミュレーターで同じ定数の等価回路のAC特性を取ってみると共振周波数が違うが同じ傾向が確認できる。

不思議な回路である。

ただよく考えたらスイッチを開いた状態(R=∞）の場合には、Isの式の分母の実数部が∞になるのでIsは０になってしまうことになる。これも問題としてはなんだかなということになる。

もはや禁断の領域へ踏み込んでしまったか。

この問題は面白いので後日実験してみよう。

次ぎはこれも交流ブリッジなのだろうかと思えるCampbell周波数ブリッジの問題。



検索すると覚悟はしていたけどやっぱり世界中のあちこちにキャンベル橋というのがあるらしい。それと真っ先に出てくるのがGren Campbell作詞の有名なBridge over trouble water。昔サイモンとガーファンクルでヒットしたよね。みんな知らないか。目的のCampbell周波数ブリッジに関する記事は中国の大学の論文しかなかった。日本発の記事は皆無。とほほ。

以下の関係が成り立つ

(jωL1-j/ωC)*I1+(-jωM-(-j/ωC))*I=E

(jωL2-j/ωC)*I+(-jωM-(-j/ωC))*I1=0

これをI1,Iについて解くと

(%i12) e1:(%i*o*L1-%i/(o*C))*I1+(-%i*o*M-(-%i/(o*C)))*I=E;
(%o12) I*(%i/(o*C)-%i*o*M)+I1*(%i*o*L1-%i/(o*C))=E
(%i13) e2:(%i*o*L2-%i/(o*C))*I+(-%i*o*M-(-%i/(o*C)))*I1=0;
(%o13) I1*(%i/(o*C)-%i*o*M)+I*(%i*o*L2-%i/(o*C))=0
(%i14) solve([e1,e2],[I1,I]);
(%o14) [[I1=(E*(%i*o^2*C*L2-%i))/(o^3*C*M^2-2*o*M+L1*(o-o^3*C*L2)+o*L2),I=(%i*o^2*C*E*M-%i*E)/(o^3*C*M^2-2*o*M+L1*(o-o^3*C*L2)+o*L2)]]
(%i15) factor(%);
(%o15) [[I1=(%i*E*(o^2*C*L2-1))/(o*(o^2*C*M^2-2*M-o^2*C*L1*L2+L2+L1)),I=(%i*E*(o^2*C*M-1))/(o*(o^2*C*M^2-2*M-o^2*C*L1*L2+L2+L1))]]

I=(j*E*(ω^2*C*M-1))/(ω*(ω^2*C*M^2-2*M-ω^2*C*L1*L2+L2+L1))

I=0となるためには

ω^2*C*M-1=0

∴ω=1/sqrt(C*M)

ということになる。

最初Mの符号を正として式を立てて解いたらω^2*C*M+1=0が条件となり、Mの符号は負でなければならないとわかる。

もう一種類のAndersonブリッジの平衡条件に関する問題。



AndersonブリッジはMaxwell-Wienブリッジを６素子に改良したもので、やはり周波数に依存しない平衡条件を持つのが特徴らしい。計測回路の本とかに載っているが、Webで検索するとシンガポールにあるアンダーソン橋のほうがむしろ有名で一杯出てくる。

以下の関係が成り立つ

(R2+1/(1/R4+jωC4))*I-R2*I1-(1/jωC4)*I4=E

(R1+R2+R)*I1-R2*I-R*I2=0

(R+R3+1/jωC3)*I2-R*I1+(1/jωC3)*I3=0

(1/jωC3+R4)*I3+(1/jωC3)*I2+R4*I4=0

(R4+(1/jωC4))*I4+R4*I3-(1/jωC4)*I=0

Ig=I1+I3

これをI,I1,I2,I3,I4,Igに関して解くと

(%i40) e1:(R2+1/(1/R4+%i*o*C4))*I-R2*I1-(-%i/(o*C4))*I3=E;
(%o40) I*(1/(1/R4+%i*o*C4)+R2)-I1*R2+(%i*I3)/(o*C4)=E
(%i41) e2:(R1+R2+R)*I1-R2*I-R*I2=0;
(%o41) I1*(R2+R1+R)-I*R2-I2*R=0
(%i42) e3:(R+R3-%i/(o*C3))*I2-R*I1+(-%i/(o*C3))*I3=0;
(%o42) I2*(R3+R-%i/(o*C3))-I1*R-(%i*I3)/(o*C3)=0
(%i43) e4:(-%i/(o*C3)+R4)*I3+(-%i/(o*C3))*I2+R4*I4=0;
(%o43) I3*(R4-%i/(o*C3))+I4*R4-(%i*I2)/(o*C3)=0
(%i44) e5:(R4+(-%i/(o*C4)))*I4+R4*I3-(-%i/(o*C4))*I=0;
(%o44) I4*(R4-%i/(o*C4))+I3*R4+(%i*I)/(o*C4)=0
(%i45) e6:Ig=I1+I3;
(%o45) Ig=I3+I1
(%i46) solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6],[I,I1,I2,I3,I4,Ig]);
(%o46) [[I=((E*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R1-R))+o^3*C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+E*R2*
(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*(R3+R)))*R4^2+(E*
(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R1-R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3))+E*R2*
(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)+%i*o^2*C4^2*(-2*R3-2*R)))*R4+o*C4*E*(R1*(-R3-R)-R*R3)+o*C4*E*R2*(-R3-R))
/((R2*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*
C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I1=(
(E*R2*(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*(R3+R))-%i*o^2*C4^2*E*R)*R4^2+
(E*R2*(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)+%i*o^2*C4^2*(-2*R3-2*R))-o*C4*E*R)*R4+o*C4*E*R2*(-R3-R))/((R2*(C4^2*
(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*C4^3*
(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I2=(
(E*(C4^2*(o^3*C3*R-%i*o^2)+o^3*C4^3*R)*R2+%i*o^2*C4^2*E*(-R1-R))*R4^2+
(E*(C4*(-%i*o^2*C3*R-o)-2*%i*o^2*C4^2*R)*R2+o*C4*E*(-R1-R))*R4-o*C4*E*R*R2)/((R2*(C4^2*
(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*C4^3*
(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I3=-(
(C4^2*E*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R1-R))+E*R2*(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*R))*R4^2+
(C4*E*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R1-R))+E*R2*(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)-2*%i*o^2*C4^2*R))*R4
-o*C4*E*R*R2)/((R2*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*
(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*
(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*
(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*
(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*(R1+R))*R4+R2*
(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I4=(
(C4^2*E*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R1-R))+E*R2*(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*R))*R4^2+
(E*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R1-R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-R3-R)-R*R3))+E*R2*
(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)+%i*o^2*C4^2*(-R3-2*R)))*R4+o*C4*E*(R1*(-R3-R)-R*R3)+o*C4*E*R2*(-R3-R))/
((R2*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*
C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),Ig=(
(C4^2*E*(o^3*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+%i*o^2*R1)+o^3*C4^3*E*R2*R3)*R4^2+
(C4*E*(%i*o^2*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+o*R1)-2*%i*o^2*C4^2*E*R2*R3)*R4-o*C4*E*R2*R3)/((R2*(C4^2*
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(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
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+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R))]]
(%i47) factor(%);
(%o47) [[I=(o*C4*E*(o^2*C4^2*R2*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R2*R3*R4^2+o^2*C4^2*R1*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R1*R3*R4^2+o^2*C4^2*
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o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*C4*R*
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2*%i*o^2*C4^2*R1*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*
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%i*R*R4-o*C4*R1*R2*R3-o*C4*R*R2*R3-o*C4*R*R1*R2+%i*R*R2),I2=(o*C4*E*(o^2*C4^2*R*R2*R4^2+o^2*C3*C4*R*R2*
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R*R2))/(o^3*C4^3*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C4^3*R*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R*R2*R3*R4^2-%i*o^2*C4^2*
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%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*C4*R*R3*R4-o*C3*R*R3*R4
-2*%i*o^2*C4^2*R*R1*R2*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-o*C4*R1*R2*R4-3*o*C4*R*R2*R4-o*C3*R*R2*R4+%i*R2*R4-o*C4*
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(o^2*C3*C4*R2*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R1*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R*R3*R4^2+o^2*C4^2*R*R2*R4^2+o^2*C3*C4*R*R2*R4^2-%i*o*C4*R2*
R4^2+o^2*C3*C4*R*R1*R4^2-%i*o*C4*R1*R4^2-%i*o*C4*R*R4^2-%i*o*C4*R2*R3*R4-%i*o*C3*R2*R3*R4-%i*o*C4*R1*R3*R4-
%i*o*C3*R1*R3*R4-%i*o*C4*R*R3*R4-%i*o*C3*R*R3*R4-2*%i*o*C4*R*R2*R4-%i*o*C3*R*R2*R4-R2*R4-%i*o*C4*R*R1*R4
-%i*o*C3*R*R1*R4-R1*R4-R*R4-R2*R3-R1*R3-R*R3-R*R2-R*R1))/(o^3*C4^3*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R1*R2*
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R4^2-2*%i*o^2*C3*C4*R*R1*R4^2-2*o*C4*R1*R4^2-2*o*C4*R*R4^2-2*%i*o^2*C4^2*R1*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*
%i*o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*
C4*R*R3*R4-o*C3*R*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R1*R2*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-o*C4*R1*R2*R4-3*o*C4*R*R2*R4-o*C3*
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%i*R*R2),Ig=(o*C4*E*(o^2*C4^2*R2*R3*R4^2-o^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-o^2*C3*C4*R*R3*R4^2-o^2*C3*C4*R*R1*R4^2+%i*o*C4*
R1*R4^2-2*%i*o*C4*R2*R3*R4+%i*o*C3*R1*R3*R4+%i*o*C3*R*R3*R4+%i*o*C3*R*R1*R4+R1*R4-R2*R3))/(o^3*C4^3*R1*
R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C4^3*R*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R*R2*R3*R4^2-%i*o^2*C4^2*R2*R3*R4^2-2*%i*o^2*
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C4^3*R*R1*R2*R4^2+o^3*C3*C4^2*R*R1*R2*R4^2-%i*o^2*C4^2*R1*R2*R4^2-2*%i*o^2*C4^2*R*R2*R4^2-2*%i*o^2*C3*C4*R*R2*R4^2-2*
o*C4*R2*R4^2-%i*o^2*C4^2*R*R1*R4^2-2*%i*o^2*C3*C4*R*R1*R4^2-2*o*C4*R1*R4^2-2*o*C4*R*R4^2-2*%i*o^2*C4^2*R1*R2*R3*R4
-%i*o^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*
R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*C4*R*R3*R4-o*C3*R*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R1*R2*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-o*C4*R1*
R2*R4-3*o*C4*R*R2*R4-o*C3*R*R2*R4+%i*R2*R4-o*C4*R*R1*R4-o*C3*R*R1*R4+%i*R1*R4+%i*R*R4-o*C4*R1*R2*R3-
o*C4*R*R2*R3-o*C4*R*R1*R2+%i*R*R2)]]

Igに関して整理すると

Ig=(ω*C4*E*(ω^2*C4^2*R2*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R1*R4^2+j*ω*C4*
R1*R4^2-2*j*ω*C4*R2*R3*R4+j*ω*C3*R1*R3*R4+j*ω*C3*R*R3*R4+j*ω*C3*R*R1*R4+R1*R4-R2*R3))/(ω^3*C4^3*R1*
R2*R3*R4^2+ω^3*C3*C4^2*R1*R2*R3*R4^2+ω^3*C4^3*R*R2*R3*R4^2+ω^3*C3*C4^2*R*R2*R3*R4^2-j*ω^2*C4^2*R2*R3*R4^2-2*j*ω^2*
C3*C4*R2*R3*R4^2-j*ω^2*C4^2*R1*R3*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-j*ω^2*C4^2*R*R3*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R*R3*R4^2+ω^3*
C4^3*R*R1*R2*R4^2+ω^3*C3*C4^2*R*R1*R2*R4^2-j*ω^2*C4^2*R1*R2*R4^2-2*j*ω^2*C4^2*R*R2*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R*R2*R4^2-2*
ω*C4*R2*R4^2-j*ω^2*C4^2*R*R1*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R*R1*R4^2-2*ω*C4*R1*R4^2-2*ω*C4*R*R4^2-2*j*ω^2*C4^2*R1*R2*R3*R4
-j*ω^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*j*ω^2*C4^2*R*R2*R3*R4-j*ω^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-ω*C4*R2*R3*R4-ω*C3*R2*R3*R4-ω*C4*
R1*R3*R4-ω*C3*R1*R3*R4-ω*C4*R*R3*R4-ω*C3*R*R3*R4-2*j*ω^2*C4^2*R*R1*R2*R4-j*ω^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-ω*C4*R1*
R2*R4-3*ω*C4*R*R2*R4-ω*C3*R*R2*R4+j*R2*R4-ω*C4*R*R1*R4-ω*C3*R*R1*R4+j*R1*R4+j*R*R4-ω*C4*R1*R2*R3-
ω*C4*R*R2*R3-ω*C4*R*R1*R2+j*R*R2)

平衡条件ではIg=0となるため、Igの分子が０となる条件

ω^2*C4^2*R2*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R1*R4^2+j*ω*C4*
R1*R4^2-2*j*ω*C4*R2*R3*R4+j*ω*C3*R1*R3*R4+j*ω*C3*R*R3*R4+j*ω*C3*R*R1*R4+R1*R4-R2*R3=0

を満たす必要がある。この式を整理すると

ω^2*R4^2*C4*(C4*R2*R3-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))+R1*R4-R2*R3+j*ω*R4*(C4*(R1*R4-2*R2*R3)+C3*(R1*R3+R*(R3+R1)))=0

実数部と虚数部がそれぞれ０でなければならないので

実数部より

C4*R2*R3-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))=0

∴C4=C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R2*R3)

R1*R4-R2*R3=0

∴R1*R4=R2*R3

虚数部より

C4*(R1*R4-2*R2*R3)+C3*(R1*R3+R*(R3+R1))=0

C4=-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R1*R4-2*R2*R3)

ここで

R1*R4=R2*R3

を代入すると

C4=-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R2*R3-2*R2*R3)
=C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R2*R3)

ということになる。

一瞬Igの式が複雑過ぎて間違ったかと思ったが、良く手で整理すると実数部と虚数部で同じような条件式が浮かび上がってきて光が見えた。

次ぎはAndersonブリッジの平衡条件を導く問題。



一般的な交流ブリッジとインピーダンス接続構成が異なるので検流計に流れる電流Igが０となる条件を改めて解く必要がある。

以下の関係が成り立つ

(R2+R4+jωL4)*I+R2*I2+(R4+jωL4)*I3=E

(R1+R+1/jωC1)*I1+R*I3+(1/jωC1)*I2=0

(R+R3+R4+jωL4)*I3+R*I1+(R4+jωL4)*I=0

(R2+(1/jωC1))*I2+R2*I+(1/jωC1)*I1=0

Ig=I3-I2

これをI,I1,I2,I3,Igについて解くと

(%i64) e1:(R2+R4+%i*o*L4)*I+R2*I2+(R4+%i*o*L4)*I3=E;
(%o64) I*(R4+R2+%i*o*L4)+I3*(R4+%i*o*L4)+I2*R2=E
(%i65) e2:(R1+R-%i/(o*C1))*I1+R*I3+(-%i/(o*C1))*I2=0;
(%o65) I1*(R1+R-%i/(o*C1))+I3*R-(%i*I2)/(o*C1)=0
(%i66) e3:(R+R3+R4+%i*o*L4)*I3+R*I1+(R4+%i*o*L4)*I=0;
(%o66) I3*(R4+R3+R+%i*o*L4)+I*(R4+%i*o*L4)+I1*R=0
(%i67) e4:(R2+(-%i/(o*C1)))*I2+R2*I+(-%i/(o*C1))*I1=0;
(%o67) I2*(R2-%i/(o*C1))+I*R2-(%i*I1)/(o*C1)=0
(%i68) e5:Ig=I3-I2;
(%o68) Ig=I3-I2
(%i69) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,I1,I2,I3,Ig]);
(%o69) [[I=((E*(o*(C1*R1+C1*R)-%i)*R2+%i*E*(-R1-R))*R4+R2*
(E*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R))+E*L4*(%i*o^2*(C1*R1+C1*R)+o))+%i*E*(R1*(-R3-R)-R*R3)+o*
E*L4*(R1+R))/((R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),I1=
((E*(o*C1*R-%i)*R2-%i*E*R)*R4+R2*(%i*E*(-R3-R)+E*L4*(%i*o^2*C1*R+o))+o*E*L4*R)/(
(R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),I2=
-((E*(o*(C1*R1+C1*R)-%i)*R2-%i*E*R)*R4+R2*
(E*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R))+E*L4*(%i*o^2*(C1*R1+C1*R)+o))+o*E*L4*R)/(
(R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),I3=
-((E*(o*(C1*R1+C1*R)-%i)*R2+%i*E*(-R1-R))*R4+(E*L4*(%i*o^2*(C1*R1+C1*R)+o)-%i*E*R)*R2+o*E*L4*(R1+R)
)/((R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),Ig=
(%i*E*R1*R4+E*R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)-%i*R3)-o*E*L4*R1)/(
(R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3))]]

Igについて整理すると

(%i79)
factor(Ig=(%i*E*R1*R4+E*R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)-%i*R3)-o*E*L4*R1)/((R2*(o*(R1*(C1*R3
+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)
+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)));
(%o79) Ig=(E*(%i*R1*R4+o*C1*R1*R2*R3+o*C1*R*R2*R3-%i*R2*R3+o*C1*R*R1*R2-o*L4*R1))/(o*C1*R1*R2*R3*
R4+o*C1*R*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-%i*R1*R3*R4-%i*R*R3*R4+o*C1*R*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4-%i*R*R1*R4+%i*o^2*
C1*L4*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i*o^2*C1*L4*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+o*L4*R2*R3+o*L4*R1*R3+o*L4*R*R3+%i*o^2*C1*L4*
R*R1*R2-%i*R*R1*R2+o*L4*R1*R2+o*L4*R*R1)

Ig=(E*(j*R1*R4+ω*C1*R1*R2*R3+ω*C1*R*R2*R3-j*R2*R3+ω*C1*R*R1*R2-ω*L4*R1))/(ω*C1*R1*R2*R3*R4+ω*C1*R*R2*R3*R4-j*R2*R3*R4-j*R1*R3*R4-j*R*R3*R4+ω*C1*R*R1*R2*R4-j*R1*R2*R4-j*R*R1*R4+j*ω^2*C1*L4*R1*R2*R3-j*R1*R2*R3+j*ω^2*C1*L4*R*R2*R3-j*R*R2*R3+ω*L4*R2*R3+ω*L4*R1*R3+ω*L4*R*R3+j*ω^2*C1*L4*R*R1*R2-j*R*R1*R2+ω*L4*R1*R2+ω*L4*R*R1)

Ig=0となるためには分子が０となれば良いので

j*R1*R4+ω*C1*R1*R2*R3+ω*C1*R*R2*R3-j*R2*R3+ω*C1*R*R1*R2-ω*L4*R1=
ω*(C1*(R1*R2*R3+R*R2*R3+R*R1*R2)-L4*R1)+j*(R1*R4-R2*R3)
=0

となるためには実数部と虚数部が共に０となる必要がある。

C1*(R1*R2*R3+R*R2*R3+R*R1*R2)-L4*R1=0

R1*R4-R2*R3=0

２番目の式から

∴R1*R4=R2*R3

１番目の式から

L4=C1*(R1*R2*R3+R*R2*R3+R*R1*R2)/R1
=C1*(R2*R3+R*R2*R3/R1+R*R2)

ここで

R1=R2*R3/R4

を代入すると

L4=C1*(R2*R3+R*R2*R3/(R2*R3/R4)+R*R2)
=C1*(R2*R3+R*R4+R*R2)
=C1*(R2*R3+R*(R2+R4))

ということになる。

今度はHayブリッジと呼ばれる回路で平衡条件の時に周波数が測定できることを示せというもの。



交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に

Z1=R1-j/ωC1
Z2=R2
Z3=R3
Z4=R4+jωL4

を代入すると

(R1-j/ωC1)*(R4+jωL4)=R2*R3

R1*R4+L4/C1+j*(ωL4*R1-R4/ωC1)=R2*R3

従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくならなければならず

R1*R4+L4/C1=R2*R3

ωL4*R1-R4/ωC1=0

両辺にωC1を乗じてωについて解くと

ω^2*C1*L4*R1-R4=0

∴ω=sqrt(R4/(C1*L4*R1))

ω=2πfを代入すると

2πf=sqrt(R4/(C1*L4*R1))

∴f=(1/2π)*sqrt(R4/(C1*L4*R1))

ということになる。

次ぎは共振回路を持つブリッジの問題。平衡条件から周波数を測定出来ることを導けというもの。



交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に

Z1=R1
Z2=R2
Z3=R3
Z4=R4+j*(ωL4-1/ωC4)

を代入すると

R1*(R4+j*(ωL4-1/ωC4)=R2*R3

R1*R4+j*R1*(ωL4-1/ωC4)=R2*R3

従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないことから

R1*R4=R2*R3

R1*(ωL4-1/ωC4)=0

ωL4-1/ωC4=0

両辺にωC4を乗じてωについて解くと

ω^2*L4*C4-1=0

∴ω=1/sqrt(L4*C4)

ω=2πfを代入すると

2πf=1/sqrt(L4*C4)

∴f=1/(2π*sqrt(L4*C4))

ということになる。

次ぎはLとCを平衡させる単純な交流ブリッジの問題。



ブリッジが平衡して周波数によらず電流Iが一定となる条件を導けというもの。

一般的な交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

Z1=jωL
Z2=R1
Z3=R2
Z4=-j/ωC

を代入すると

jωL*(-j/ωC)=R1*R2

∴C/L=R1*R2

回路に流れる電流Iは

I=E/Z
=E/(1/(1/(Z1+Z3)+1/(Z2+Z4)))
=E/(1/(Z1+Z2+Z3+Z4)/((Z1+Z3)*(Z2+Z4)))
=E/((Z1+Z3)*(Z2+Z4)/(Z1+Z2+Z3+Z4))
=E*(Z1+Z2+Z3+Z4)/((Z1+Z3)*(Z2+Z4))
=E*(jωL+R1+R2-j/ωC)/((jωL+R2)*(R1-j/ωC))
=E*(R1+R2+j*(ωL-1/ωC))/(R1*R2+L/C+j*(ωL*R1-R2/ωC))

従ってωに依存せずにIが一定であるためには、

(R1+R2)/(R1*R2+L/C)=ωL/ωL*R1=(1/ωC)/(R2/ωC)

整理すると

C*(R1+R2)/(C*R1*R2+L)=1/R1=1/R2

従って

1/R1=1/R2

∴R1=R2

従って

C*(R1+R2)/(C*R1*R2+L)=1/R1

R1=R2なので

C*2*R1/(C*R1^2+L)=1/R1

両辺にR1*(C*R1^2+L)を乗じると

C*2*R1^2=C*R1^2+L

両辺をCで割って整理すると

∴L/C=R1^2

これは先にブリッジの平衡条件から求めた式にR1=R2を適用したものと同じなのでこれがブリッジが平衡状態にあり電流が周波数によらず一定の条件となる。

次ぎはMaxwell-Wienブリッジの平衡状態に関する問題。



Z1=R1+jωL1
Z2=R2
Z3=R3
Z4=1/(1/R4+jωC4)

とした場合の交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に代入すると

(R1+jωL1)*(1/(1/R4+jωC4))=R2*R3

(R1+jωL1)*R4/(1+jωC4*R4)=R2*R3

(R1+jωL1)*R4*(1-jωC4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

R4*(R1+ω^2*L1*C4*R4+jωL1-jωC4*R4*R1)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

R4*(R1+ω^2*L1*C4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)+jω*R4*(L1-C4*R4*R1)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

従って両辺が等しいためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので

R4*(R1+ω^2*L1*C4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

ω*R4*(L1-C4*R4*R1)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=0

が成り立つ必要がある。

２番目の式より

L1-C4*R4*R1=0

∴L1=C4*R4*R1

これを１番目の式に適用すると

R4*(R1+ω^2*C4*R4*R1*C4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

両辺に(1+ω^2*C4^2*R4^2)を乗じて整理すると

R4*R1(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3*(1+ω^2*C4^2*R4^2)

R4*R1=R2*R3

∴R1=R2*R3/R4

ということになる。

前問と同様にベクトル図を描くと電源電圧は

E=(Z1+Z3)*I1
=(Z2+Z4)*I2

平衡条件から

Z1*I1=Z2*I2

Z3*I1=Z4*I2

が成り立つためベクトルは一つに重なる。それぞれの電圧ベクトルは

Z1*I1=(R1+jωL1)*I1

Z2*I2=R2*I2

Z3*I1=R3*I1

Z4*I2=I2*(1/(1/R4+jωC4))
=I2*R4/(1+jωC4*R4)
=I2*R4*(1-jωC4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)
=I2*R4/(1+ω^2*C4^2*R4^2)-jωC4*R4^2*I2/(1+ω^2*C4^2*R4^2)

で表されるので、それらを複素平面に描くと



ということになる。

MaxwellブリッジはWienブリッジと異なり平衡条件が周波数に依存せずにインダクタンスとその抵抗を測定することが出来る。

次ぎはRとCだけで構成された有名なWienブリッジの問題。



ブリッジの平衡条件を求め、それによって周波数を求めることが出来ることを示すとともに、平衡時のベクトル図を描けというもの。

前問と同様に

Z1=R1
Z2=R2
Z3=1/(1/R3+jωC3)
Z4=R4-j/ωC4

Z1*Z4=Z2*Z3

R1*(R4-j/ωC4)=R2*(1/(1/R3+jωC3))

展開すると

R1*R4-jR1/ωC4=R2*R3/(1+jωC3*R3)
=R2*R3*(1-jωC3*R3)/(1+ω^2*C3^2*R3^2)
=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)-jωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

従って両辺が等しくなるにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので

R1*R4=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

R1/ωC4=ωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

しかしこれだと簡単に解けない。ウィーンブリッジはこれまでのOwenブリッジやインダクタンスブリッジが直列回路のみだったのと違ってRC並列回路を含んでいるためである。

もうひとつの平衡条件の式

Z1/Z2=Z3/Z4

R1/R2=(1/(1/R3+jωC3))/(R4-j/ωC4)
=1/((1/R3+jωC3)*(R4-j/ωC4))
=1/(R4/R3+C3/C4+j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3))
=(R4/R3+C3/C4-j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3))/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2)
=(R4/R3+C3/C4)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ω*C3*R4-1/ωC4*R3)^2)-j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2)

従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので

R1/R2=(R4/R3+C3/C4)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ω*C3*R4-1/ωC4*R3)^2)

(ωC3*R4-1/ωC4*R3)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2)=0

２番目の条件式より

ωC3*R4-1/ωC4*R3=0

∴ω=1/sqrt(C3*C4*R3*R4)

従って１番目の式より

R1/R2=1/(R4/R3+C3/C4)

R4/R3+C3/C4=R2/R1

∴C3/C4=R2/R1-R4/R3

これが平衡条件で、ω=2πfで置き換えると

2πf=1/sqrt(C3*C4*R3*R4)

∴f=1/(2π*sqrt(C3*C4*R3*R4))

と周波数を求めることが出来る。

電源電圧ベクトルEを基準として電圧ベクトル図を描くと

E=(Z1+Z3)*I1=(Z2+Z4)*I2

である関係から電圧ベクトルEはZ1*I1とZ3*I1それにZ2*I2とZ4*I2のそれぞれのベクトルの和で表すことができる。

平衡状態にあるとき

Z1*I1=Z2*I2

Z3*I1=Z4*I2

であることからそれぞれのベクトルはひとつに重なる。

また

Z3*I1=(1/(1/R3+jωC3))*I1
=R3*(1-jωC3*R3)*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2)
=R3*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2)-jω*C3*R3^2*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

であることから、Z3*I1はI1*R3/(ω^2*C3^2*R3^2+1)と-j*I1*ω*C3*R3^2/(ω^2*C3^2*R3^2+1)の２つの直交ベクトルの合成で表すことができる。

同様に

Z4*I2=(R4+1/jωC4)*I2
=R4*I2-j*I2/ωC4

であることからZ4*I2はR4*I2と-j*I2/ωC4の二つの直交ベクトルの合成で表すことができる。

それぞれを複素平面上に描くと



ということになる。

P.S

よく考えると最初の平衡条件の式

R1*R4=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

R1/ωC4=ωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

これを使っても同じ結果が得られる。ちょっとトリッキーだが２番目の式の両辺にωC4を乗じて

R1=ω^2*C3*C4*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

これを１番目の式に代入

ω^2*C3*C4*R2*R3^2*R4/(1+ω^2*C3^2*R3^2)=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

ω^2*C3*C4*R2*R3^2*R4=R2*R3

ω^2=R2*R3/C3*C4*R2*R3^2*R4
=1/C3*C4*R3*R4

∴ω=1/sqrt(C3*C4*R3*R4)

これを第一の式に更に代入すると

R1*R4=R2*R3/(1+C3^2*R3^2/C3*C4*R3*R4)
=R2*R3/(1+C3*R3/C4*R4)

両辺に(1+C4*R4/C4*R4)を乗じると

R1*R4*(1+C3*R3/C4*R4)=R2*R3

R1*R4+R1*C3*R3/C4=R2*R3

両辺をR1*R3で割ると

R4/R3+C3/C4=R2/R1

∴C3/C4=R2/R1-R4/R3

と同じ結果が得られる。式が面倒くさく間違え易いだけで解けないことはなかった。

次ぎも平衡状態にある交流ブリッジの未知のRL回路の定数を求める問題。



Z1=R1
Z2=R2
Z3=R3+jωL3
Z4=R4+jωL4

平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に代入すると

R1*(R4+jωL4)=R2*(R3+jωL3)

展開すると

R1*R4+jωL4*R1=R2*R3+jωL3*R2

両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないことから

R1*R4=R2*R3

∴R4=R2*R3/R1

ωL4*R1=ωL3*R2

∴L4=L3*R2/R1

それぞれ値を代入すると

R4=4*10^3*60/2*10^3
=4*60/2
=120 [Ω]

L4=20*10^-3*4*10^3/2*10^3
=20*10^-3*4/2
=40*10^-3
=0.040 [H]

ということになる。

著者はR4の数値計算を完全に間違えている。

RとLだけの交流ブリッジはインダクタンスブリッジと呼ぶらしい。