今度も二つぐらいひねった問題。AB端のインピーダンスを求めるのと、CD端を短絡してもインピーダンスが変わらない条件を導けというもの。



以下の式が成り立つ

(R1+jωL1+R3)*I1+jωM*I2=E

(R2+jωL2+R4)*I2+jωM*I1=E

Z*(I1+I2)=E

これをI1,I2,Zに関する３元連立方程式として解くと

(%i60) e1:(R1+%i*o*L1+R3)*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o60) I1*(R3+R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i61) e2:(R2+%i*o*L2+R4)*I2+%i*o*M*I1=E;
(%o61) I2*(R4+R2+%i*o*L2)+%i*o*I1*M=E
(%i62) e3:Z*(I1+I2)=E;
(%o62) (I2+I1)*Z=E
(%i63) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Z]);
(%o63) [[I1=(E*R4+E*R2-%i*o*E*M+%i*o*E*L2)/((R3+R1+%i*o*L1)*R4+(R2+%i*o*L2)*R3+(R1+%i*o*L1)*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=(
(E*R3^2+(2*E*R1-%i*o*E*M+2*%i*o*E*L1)*R3+E*R1^2+(2*%i*o*E*L1-%i*o*E*M)*R1+o^2*E*L1*M-o^2*E*L1^2)*R4^2+(E*
R3^3+(2*E*R2+3*E*R1-3*%i*o*E*M+2*%i*o*E*L2+3*%i*o*E*L1)*R3^2+((4*E*R1-2*%i*o*E*M+4*%i*o*E*L1)*R2+3*E*
R1^2+(-6*%i*o*E*M+4*%i*o*E*L2+6*%i*o*E*L1)*R1-o^2*E*M^2+(2*o^2*E*L2+6*o^2*E*L1)*M-4*o^2*E*L1*L2-3*o^2*E*L1^2)*
R3+(2*E*R1^2+(4*%i*o*E*L1-2*%i*o*E*M)*R1+2*o^2*E*L1*M-2*o^2*E*L1^2)*R2+E*R1^3+
(-3*%i*o*E*M+2*%i*o*E*L2+3*%i*o*E*L1)*R1^2+(-o^2*E*M^2+(2*o^2*E*L2+6*o^2*E*L1)*M-4*o^2*E*L1*L2-3*o^2*E*L1^2)*R1
-%i*o^3*E*M^3-%i*o^3*E*L1*M^2+(2*%i*o^3*E*L1*L2+3*%i*o^3*E*L1^2)*M-2*%i*o^3*E*L1^2*L2-%i*o^3*E*L1^3)*R4+
(E*R2+%i*o*E*L2)*R3^3+(E*R2^2+(3*E*R1-3*%i*o*E*M+2*%i*o*E*L2+3*%i*o*E*L1)*R2+3*%i*o*E*L2*R1+o^2*E*M^2+3*
o^2*E*L2*M-o^2*E*L2^2-3*o^2*E*L1*L2)*R3^2+((2*E*R1-%i*o*E*M+2*%i*o*E*L1)*R2^2+(3*E*R1^2+
(-6*%i*o*E*M+4*%i*o*E*L2+6*%i*o*E*L1)*R1-o^2*E*M^2+(2*o^2*E*L2+6*o^2*E*L1)*M-4*o^2*E*L1*L2-3*o^2*E*L1^2)*R2+
3*%i*o*E*L2*R1^2+(2*o^2*E*M^2+6*o^2*E*L2*M-2*o^2*E*L2^2-6*o^2*E*L1*L2)*R1-3*%i*o^3*E*M^3+
(2*%i*o^3*E*L1-%i*o^3*E*L2)*M^2+(%i*o^3*E*L2^2+6*%i*o^3*E*L1*L2)*M-2*%i*o^3*E*L1*L2^2-3*%i*o^3*E*L1^2*L2)*R3+
(E*R1^2+(2*%i*o*E*L1-%i*o*E*M)*R1+o^2*E*L1*M-o^2*E*L1^2)*R2^2+(E*R1^3+(-3*%i*o*E*M+2*%i*o*E*L2+3*%i*o*E*L1)*
R1^2+(-o^2*E*M^2+(2*o^2*E*L2+6*o^2*E*L1)*M-4*o^2*E*L1*L2-3*o^2*E*L1^2)*R1-%i*o^3*E*M^3-%i*o^3*E*L1*M^2+
(2*%i*o^3*E*L1*L2+3*%i*o^3*E*L1^2)*M-2*%i*o^3*E*L1^2*L2-%i*o^3*E*L1^3)*R2+%i*o*E*L2*R1^3+
(o^2*E*M^2+3*o^2*E*L2*M-o^2*E*L2^2-3*o^2*E*L1*L2)*R1^2+(-3*%i*o^3*E*M^3+(2*%i*o^3*E*L1-%i*o^3*E*L2)*M^2+
(%i*o^3*E*L2^2+6*%i*o^3*E*L1*L2)*M-2*%i*o^3*E*L1*L2^2-3*%i*o^3*E*L1^2*L2)*R1-2*o^4*E*M^4+(o^4*E*L2+3*o^4*E*L1)*M^3+
(o^4*E*L1*L2-o^4*E*L1^2)*M^2+(-o^4*E*L1*L2^2-3*o^4*E*L1^2*L2)*M+o^4*E*L1^2*L2^2+o^4*E*L1^3*L2)/(
(R3^2+(2*R1+2*%i*o*L1)*R3+R1^2+2*%i*o*L1*R1-o^2*L1^2)*R4^3+(R3^3+
(3*R2+3*R1-2*%i*o*M+3*%i*o*L2+3*%i*o*L1)*R3^2+
((6*R1+6*%i*o*L1)*R2+3*R1^2+(-4*%i*o*M+6*%i*o*L2+6*%i*o*L1)*R1+2*o^2*M^2+4*o^2*L1*M-6*o^2*L1*L2-3*o^2*L1^2)*
R3+(3*R1^2+6*%i*o*L1*R1-3*o^2*L1^2)*R2+R1^3+(-2*%i*o*M+3*%i*o*L2+3*%i*o*L1)*R1^2+
(2*o^2*M^2+4*o^2*L1*M-6*o^2*L1*L2-3*o^2*L1^2)*R1+2*%i*o^3*L1*M^2+2*%i*o^3*L1^2*M-3*%i*o^3*L1^2*L2-%i*o^3*L1^3)*R4^2
+((2*R2+2*%i*o*L2)*R3^3+
(3*R2^2+(6*R1-4*%i*o*M+6*%i*o*L2+6*%i*o*L1)*R2+6*%i*o*L2*R1+2*o^2*M^2+4*o^2*L2*M-3*o^2*L2^2-6*o^2*L1*L2)*R3^2
+((6*R1+6*%i*o*L1)*R2^2+
(6*R1^2+(-8*%i*o*M+12*%i*o*L2+12*%i*o*L1)*R1+4*o^2*M^2+8*o^2*L1*M-12*o^2*L1*L2-6*o^2*L1^2)*R2+6*%i*o*L2*R1^2
+(4*o^2*M^2+8*o^2*L2*M-6*o^2*L2^2-12*o^2*L1*L2)*R1-4*%i*o^3*M^3+(4*%i*o^3*L2+4*%i*o^3*L1)*M^2+8*%i*o^3*L1*L2*M-6*
%i*o^3*L1*L2^2-6*%i*o^3*L1^2*L2)*R3+(3*R1^2+6*%i*o*L1*R1-3*o^2*L1^2)*R2^2+(2*R1^3+
(-4*%i*o*M+6*%i*o*L2+6*%i*o*L1)*R1^2+(4*o^2*M^2+8*o^2*L1*M-12*o^2*L1*L2-6*o^2*L1^2)*R1+4*%i*o^3*L1*M^2+4*%i*o^3*
L1^2*M-6*%i*o^3*L1^2*L2-2*%i*o^3*L1^3)*R2+2*%i*o*L2*R1^3+(2*o^2*M^2+4*o^2*L2*M-3*o^2*L2^2-6*o^2*L1*L2)*R1^2+
(-4*%i*o^3*M^3+(4*%i*o^3*L2+4*%i*o^3*L1)*M^2+8*%i*o^3*L1*L2*M-6*%i*o^3*L1*L2^2-6*%i*o^3*L1^2*L2)*R1+o^4*M^4+4*o^4*
L1*M^3+(-4*o^4*L1*L2-2*o^4*L1^2)*M^2-4*o^4*L1^2*L2*M+3*o^4*L1^2*L2^2+2*o^4*L1^3*L2)*R4+
(R2^2+2*%i*o*L2*R2-o^2*L2^2)*R3^3+(R2^3+(3*R1-2*%i*o*M+3*%i*o*L2+3*%i*o*L1)*R2^2+
(6*%i*o*L2*R1+2*o^2*M^2+4*o^2*L2*M-3*o^2*L2^2-6*o^2*L1*L2)*R2-3*o^2*L2^2*R1+2*%i*o^3*L2*M^2+2*%i*o^3*L2^2*M-%i*o^3*
L2^3-3*%i*o^3*L1*L2^2)*R3^2+((2*R1+2*%i*o*L1)*R2^3+
(3*R1^2+(-4*%i*o*M+6*%i*o*L2+6*%i*o*L1)*R1+2*o^2*M^2+4*o^2*L1*M-6*o^2*L1*L2-3*o^2*L1^2)*R2^2+(6*%i*o*L2*R1^2+
(4*o^2*M^2+8*o^2*L2*M-6*o^2*L2^2-12*o^2*L1*L2)*R1-4*%i*o^3*M^3+(4*%i*o^3*L2+4*%i*o^3*L1)*M^2+8*%i*o^3*L1*L2*M-6*
%i*o^3*L1*L2^2-6*%i*o^3*L1^2*L2)*R2-3*o^2*L2^2*R1^2+(4*%i*o^3*L2*M^2+4*%i*o^3*L2^2*M-2*%i*o^3*L2^3-6*%i*o^3*L1*L2^2)*
R1+o^4*M^4+4*o^4*L2*M^3+(-2*o^4*L2^2-4*o^4*L1*L2)*M^2-4*o^4*L1*L2^2*M+2*o^4*L1*L2^3+3*o^4*L1^2*L2^2)*R3+
(R1^2+2*%i*o*L1*R1-o^2*L1^2)*R2^3+(R1^3+(-2*%i*o*M+3*%i*o*L2+3*%i*o*L1)*R1^2+
(2*o^2*M^2+4*o^2*L1*M-6*o^2*L1*L2-3*o^2*L1^2)*R1+2*%i*o^3*L1*M^2+2*%i*o^3*L1^2*M-3*%i*o^3*L1^2*L2-%i*o^3*L1^3)*R2^2
+(2*%i*o*L2*R1^3+(2*o^2*M^2+4*o^2*L2*M-3*o^2*L2^2-6*o^2*L1*L2)*R1^2+
(-4*%i*o^3*M^3+(4*%i*o^3*L2+4*%i*o^3*L1)*M^2+8*%i*o^3*L1*L2*M-6*%i*o^3*L1*L2^2-6*%i*o^3*L1^2*L2)*R1+o^4*M^4+4*o^4*
L1*M^3+(-4*o^4*L1*L2-2*o^4*L1^2)*M^2-4*o^4*L1^2*L2*M+3*o^4*L1^2*L2^2+2*o^4*L1^3*L2)*R2-o^2*L2^2*R1^3+
(2*%i*o^3*L2*M^2+2*%i*o^3*L2^2*M-%i*o^3*L2^3-3*%i*o^3*L1*L2^2)*R1^2+
(o^4*M^4+4*o^4*L2*M^3+(-2*o^4*L2^2-4*o^4*L1*L2)*M^2-4*o^4*L1*L2^2*M+2*o^4*L1*L2^3+3*o^4*L1^2*L2^2)*R1-2*%i*o^5*M^5+
(%i*o^5*L2+%i*o^5*L1)*M^4+4*%i*o^5*L1*L2*M^3+(-2*%i*o^5*L1*L2^2-2*%i*o^5*L1^2*L2)*M^2-2*%i*o^5*L1^2*L2^2*M+%i*o^5*
L1^2*L2^3+%i*o^5*L1^3*L2^2),Z=((%i*R3+%i*R1-o*L1)*R4+(%i*R2-o*L2)*R3+(%i*R1-o*L1)*R2-o*L2*R1+%i*o^2*M^2-%i*o^2*L1*L2)/(%i*R4+%i*R3+%i*R2+%i*R1+2*o*M-o*L2-o*L1)
]]

異常にI2の式が長いのだが大丈夫かMaxima？

Zに関して直交形式に整理すると

(%i68) factor(Z=((%i*R3+%i*R1-o*L1)*R4+(%i*R2-o*L2)*R3+(%i*R1-o*L1)*R2-o*L2*R1+%i*o^2*M^2
-%i*o^2*L1*L2)/(%i*R4+%i*R3+%i*R2+%i*R1+2*o*M-o*L2-o*L1));
(%o68) Z=(%i*R3*R4+%i*R1*R4-o*L1*R4+%i*R2*R3-o*L2*R3+%i*R1*R2-o*L1*R2-o*L2*R1+%i*o^2*M^2-%i*o^2*L1*L2)/(%i*R4+%i*R3+%i*R2+%i*R1+2*o*M-o*L2-o*L1)
(%i69) rectform(%);
(%o69) Z=
((2*o*M-o*L2-o*L1)*(-o*L1*R4-o*L2*R3-o*L1*R2-o*L2*R1)-(-R4-R3-R2-R1)*(R3*R4+R1*R4+R2*R3+R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2))/((R4+R3+R2+R1)^2+(2*o*M-o*L2-o*L1)^2)
+(%i*((2*o*M-o*L2-o*L1)*(R3*R4+R1*R4+R2*R3+R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+(-R4-R3-R2-R1)*
(-o*L1*R4-o*L2*R3-o*L1*R2-o*L2*R1)))/((R4+R3+R2+R1)^2+(2*o*M-o*L2-o*L1)^2)

Zについて直交形式に整理すると

Z=((2*ω*M-ω*L2-ω*L1)*(-ω*L1*R4-ω*L2*R3-ω*L1*R2-ω*L2*R1)-(-R4-R3-R2-R1)*(R3*R4+R1*R4+R2*R3+R1*R2+ω^2*M^2-ω^2*L1*L2))/((R4+R3+R2+R1)^2+(2*ω*M-ω*L2-ω*L1)^2)+(j*((2*ω*M-ω*L2-ω*L1)*(R3*R4+R1*R4+R2*R3+R1*R2+ω^2*M^2-ω^2*L1*L2)+(-R4-R3-R2-R1)*(-ω*L1*R4-ω*L2*R3-ω*L1*R2-ω*L2*R1)))/((R4+R3+R2+R1)^2+(2*ω*M-ω*L2-ω*L1)^2)
=(ω^2*(L1+L2-2*M)*(L1*(R2+R4)+L2*(R1+R3))+(R1+R2+R3+R4)*((R1+R3)*(R2+R4)+ω^2*(M^2-L1*L2))/((R1+R2+R3+R4)^2+ω^2*(L1+L2-2*M))+j*ω*((R1+R2+R3+R4)*(L1*R4+L2*R3+L1*R2+L2*R1)-(L1+L2-2*M)*((R1+R3)*(R2+R4)+ω^2*(M^2-L1*L2)))/(R1+R2+R3+R4)^2+ω^2*(L1+L2-2*M)^2)

ということになる。

同じ式でI1,I2だけ解くと

(%i131) solve([e1,e2],[I1,I2]);
(%o131) [[I1=-(E*(-R4-R2-%i*o*L2)+%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L2)+R3*(R4+R2+%i*o*L2)+R1*(R4+R2+%i*o*L2)+o^2*M^2),I2=
(E*R3+E*R1-%i*o*E*M+%i*o*E*L1)/(L1*(%i*o*(R4+R2)-o^2*L2)+R3*(R4+R2+%i*o*L2)+R1*(R4+R2+%i*o*L2)+o^2*M^2)]]
(%i132) factor(%);
(%o132) [[I1=(E*(R4+R2-%i*o*M+%i*o*L2))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=
(E*(R3+R1-%i*o*M+%i*o*L1))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)]]

今度は至ってシンプルな式が出る。

ここでAC間の電圧をEac,AD間の電圧をEadとするとCD間の電圧Ecdは

Eac=(R1+jωL1)*I1+jωM*I2

Ead=R2*I2

Ecd=Eac-Ead
=(R1+jωL1)*I1+jωM*I2-R2*I2
=(R1+jωL1)*I1+(jωM-R2)*I2

これに先のI1,I2の式を代入すると

(%i149)
subst((E*(R4+R2-%i*o*M+%i*o*L2))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2
+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2), I1, Ecd=I2*(%i*o*M-R2)+I1*(R1+%i*o*L1));
(%o149) Ecd=(E*(R1+%i*o*L1)*(R4+R2-%i*o*M+%i*o*L2))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+I2*
(%i*o*M-R2)
(%i150)
subst((E*(R3+R1-%i*o*M+%i*o*L1))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2
+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2), I2, Ecd=(E*(R1+%i*o*L1)*(R4+R2-%i*o*M+%i*o*L2))/(R3*R4
+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)
+I2*(%i*o*M-R2));
(%o150) Ecd=(E*(R1+%i*o*L1)*(R4+R2-%i*o*M+%i*o*L2))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+
(E*(%i*o*M-R2)*(R3+R1-%i*o*M+%i*o*L1))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)
(%i151) factor(%);
(%o151) Ecd=(E*(R1*R4+%i*o*L1*R4-R2*R3+%i*o*M*R3+%i*o*M*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2))/(R3*R4+R1*R4+%i*o*L1*R4+R2*R3+%i*o*L2*R3+R1*R2+%i*o*L1*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)

従ってCD間の電圧Ecdが０となるためには分子が０となる条件

R1*R4+j*ω*L1*R4-R2*R3+j*ω*M*R3+j*ω*M*R2+j*ω*L2*R1+ω^2*M^2-ω^2*L1*L2=0

が成り立つ必要がある。このためには左辺の実数部と虚数部が共に０でなければならないので直交形式に直すと

R1*R4-R2*R3+ω^2*M^2-ω^2*L1*L2+j*ω*(L1*R4+M*R3+M*R2+L2*R1)
=R1*R4-R2*R3+ω^2*(M^2-L1*L2)+j*ω*(L1*R4+L2*R1+M*(R2+R3))
=0

従って実数部が

R1*R4-R2*R3+ω^2*(M^2-L1*L2)=0

虚数部が

L1*R4+L2*R1+M*(R2+R3)=0

でなければならない。

実数部の式より

∴R1*R4-R2*R3=ω^2*(L1*L2-M^2)

虚数部の式より

∴M=-(L1*R4+L2*R1)/(R2+R3)

ということになる。

当初式をたてる際にはMは正だという前提だったが、実際には負でないといけないということになる。それと特定のωに限定されるので、CD間の電圧を測定すればその周波数の時に０となることがわかる。この回路はある種のブリッジ回路である。

ちなみに著者のZの式には誤植がある。虚数部の分母の式で+ω^2とあるべきところが-ω^2となってしまっている。

次ぎもひねった問題。Rの値によらずE0とEの位相が変わらない条件を導けというもの。



以下の関係が成り立つ

(R+jωL1)*I1+jωM*I2=E0

jωL2*I2+jωM*I1=E0

R*I1=E

K*E=E0

これらをI1,I2,E,Kに関する４元連立方程式として解くと

(%i54) e1:(R+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*I2=E0;
(%o54) I1*(R+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E0
(%i55) e2:%i*o*L2*I2+%i*o*M*I1=E0;
(%o55) %i*o*I1*M+%i*o*I2*L2=E0
(%i56) e3:R*I1=E;
(%o56) I1*R=E
(%i57) e4:K*E=E0;
(%o57) E*K=E0
(%i58) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,E,K]);
(%o58) [[I1=-(%i*E0*M-%i*E0*L2)/(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2),I2=-(%i*E0*R+o*E0*M-o*E0*L1)/(o*L2*R-%i*o^2*M^2+%i*o^2*L1*L2),E=-((%i*E0*M-%i*E0*L2)*R)/(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2),K=-
(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2)/((%i*M-%i*L2)*R)]]
(%i59) factor(%);
(%o59) [[I1=-(%i*E0*(M-L2))/(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2),I2=-(E0*(%i*R+o*M-o*L1))/(o*(L2*R-%i*o*M^2+%i*o*L1*L2)),E=-(%i*E0*(M-L2)*R)/(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2),K=
(%i*(%i*L2*R+o*M^2-o*L1*L2))/((M-L2)*R)]]

E0とEが同相であるためにはKは実数でなければならない。従ってKの虚数部が０である条件

ω*M^2-ω*L1*L2=0

すなわち

∴M^2=L1*L2

これはL1とL2の間の結合係数が1でなければならないことを示す。

またこの条件でKの実数部は正でなければならないので

L2*R/((L2-M)*R) > 0

従って分母が正の値でなければならず

∴L2 > M

L2がMよりも大きいので

∴L1 < L2

でなければならない。

こうした回路は磁気漏洩の少ないトロイダルコアを用いた高周波回路用伝送線路トランスで良く見られる。

M^2=L1*L2でなければならないので結合係数は1でなければならず、バイファイラ巻きとかトリファイラ巻きとか巻き線間の誘導結合が最も強くなるような独特の巻き方が使われるのはこのためである。

バランやマッチングトランスなどの様々な応用がある。

次ぎも前問とにたようなひねった問題。今度は電源Eと一次側に流れる電流Iの位相差がπ/4になるR1の値を導けというもの。



以下の関係式が成り立つ

(R1+jωL1)*I+jωM*I2=E

(R2+jωL2)*I2+jωM*I1=0

EとIの位相差がπ/4であるためには

E=(K+jK)*I

これらをI,I2,Kに関する三元連立方程式として解くと

(%i17) e1:(R1+%i*o*L1)*I+%i*o*M*I2=E;
(%o17) I*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i18) e2:(R2+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I=0;
(%o18) I2*(R2+%i*o*L2)+%i*o*I*M=0
(%i19) e3:E=(K+%i*K)*I;
(%o19) E=I*(%i*K+K)
(%i20) solve([e1,e2,e3],[I,I2,K]);
(%o20) [[I=(E*R2+%i*o*E*L2)/((R1+%i*o*L1)*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-
(%i*o*E*M*R2-o^2*E*L2*M)/((R1+%i*o*L1)*R2^2+(2*%i*o*L2*R1+o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R2-o^2*L2^2*R1+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),K=
((R1+%i*o*L1)*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/((%i+1)*R2+(%i-1)*o*L2)]]
(%i22)

Kを直交形式に整理すると

rectform(K=((R1+%i*o*L1)*R2+%i*o*L2*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/((%i+1)*R2+(%i-1)*o*L2));
(%o22) K=((R2-o*L2)*(R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2)-(-R2-o*L2)*(o*L1*R2+o*L2*R1))/((R2+o*L2)^2+(R2-o*L2)^2)+
(%i*((-R2-o*L2)*(R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+(R2-o*L2)*(o*L1*R2+o*L2*R1)))/((R2+o*L2)^2+(R2-o*L2)^2)

前問と同様にKは実数でなければならない

(-R2-ω*L2)*(R1*R2+ω^2*M^2-ω^2*L1*L2)+(R2-ω*L2)*(ω*L1*R2+ω*L2*R1)=0

上記の式をR1について解くと

(%i23) solve([(-R2-o*L2)*(R1*R2+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+(R2-o*L2)*(o*L1*R2+o*L2*R1)], [R1]);
(%o23) [R1=(o*L1*R2^2-o^2*M^2*R2-o^3*L2*M^2+o^3*L1*L2^2)/(R2^2+o^2*L2^2)]

R1=(ω*L1*R2^2-ω^2*M^2*R2-ω^3*L2*M^2+ω^3*L1*L2^2)/(R2^2+ω^2*L2^2)
=(ω*L1*(R2^2+ω^2*L2^2)-ω^2*M^2*(R2+ω*L2))/(R2^2+ω^2*L2^2)
=ω*L1-ω^2*M^2*(R2+ω*L2)/(R2^2+ω^2*L2^2)

ということになる。

次ぎもややこしい問題。トランスの二次側に容量負荷があって、一次側と二次側を流れる電流の位相差が90°にするには周波数をいくらにすればいいか導けというもの。



以下の式が成り立つ

(R1+jωL1)*I1+jωM*I2=E

(R2+jωL2-j/(ωC))*I2+jωM*I1=0

またI1とI2の関係は

I1=jK*I2

これらをI1,I2,Kに関する連立方程式として解くと

(%i11) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o11) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i12) e2:(R2+%i*o*L2-%i/(o*C))*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o12) I2*(R2+%i*o*L2-%i/(o*C))+%i*o*I1*M=0
(%i15) e3:I1=%i*K*I2;
(%o15) I1=%i*I2*K
(%i16) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,K]);
(%o16) [[I1=(o*C*E*R2+%i*o^2*C*E*L2-%i*E)/((o*C*R1+%i*o^2*C*L1)*R2+(%i*o^2*C*L2-%i)*R1+o^3*C*M^2-o^3*C*L1*L2+o*L1),I2=(o^3*C^2*E*M*R2+
(%i*o^4*C^2*E*L2-%i*o^2*C*E)*M)/((%i*o^2*C^2*R1-o^3*C^2*L1)*R2^2+
((2*o*C-2*o^3*C^2*L2)*R1+%i*o^4*C^2*M^2-2*%i*o^4*C^2*L1*L2+2*%i*o^2*C*L1)*R2+(-%i*o^4*C^2*L2^2+2*%i*o^2*C*L2-%i)*R1
+(o^3*C-o^5*C^2*L2)*M^2+o^5*C^2*L1*L2^2-2*o^3*C*L1*L2+o*L1),K=(o*C*R2+%i*o^2*C*L2-%i)/(o^2*C*M)]]

I1とI2が直交関係にあるためにはKは実数でなければならないので

ω^2*C*L2-1=0

∴ω=1/sqrt(C*L2)

ω=2πfを代入すると

2πf=1/sqrt(C*L2)

従って

f=1/(2π*sqrt(C*L2))

ということになる。

すなわち二次側が共振状態にある時に電流の位相が直交することになる。

今度は以前出てきた２つのトランスが接続された回路で末端が開放されている場合の末端電圧を導けというもの。



CD端が開放なのでL4に流れる電流は0のためI2への相互誘導電流は生じない。その変わりI2がL3に流れることによる相互誘導によってCD端には誘導電圧E2が発生する。

以下の式が成り立つ

jωL1*I1+jωM1*I2=E1

(jωL2+jωL3)*I2+jωM1*I1=0

jωM2*I2=E2

これをI1,I2,E2に関する３元連立方程式として解くと。

(%i67) e1:%i*o*L1*I1=E1;
(%o67) %i*o*I1*L1=E1
(%i68) e1:%i*o*L1*I1+%i*o*M1*I2=E1;
(%o68) %i*o*I2*M1+%i*o*I1*L1=E1
(%i69) e2:(%i*o*L2+%i*o*L3)*I2+%i*o*M1*I1=0;
(%o69) %i*o*I1*M1+I2*(%i*o*L3+%i*o*L2)=0
(%i70) e3:%i*o*M2*I2=E2;
(%o70) %i*o*I2*M2=E2
(%i71) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,E2]);
(%o71) [[I1=(%i*E1*(L3+L2))/(o*M1^2+o*L1*(-L3-L2)),I2=-(%i*E1*M1)/(o*M1^2+o*L1*(-L3-L2)),E2=(E1*M1*M2)/(M1^2+L1*(-L3-L2))]]

従って

E2=(E1*M1*M2)/(M1^2+L1*(-L3-L2))
=E1*M1*M2/(M1^2-L1*(L2+L3))

ということになる。

次ぎは少しひねった問題。相互誘導結合した一次側と二次側に直列に抵抗が入った回路が並列接続された場合に、一次側を流れる電流と二次側を流れる電流が相等しくかつ位相差がπ/2となる条件を導けというもの。



以下の関係が成り立つ

jωL1*I1+jωM*I2=E

(R+jωL2)*I2+jωM*I1=E

これをI1,I2に関する２元連立方程式として解くと

(%i1) e1:%i*o*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o1) %i*o*I2*M+%i*o*I1=E
(%i2) e2:(R+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I1=E;
(%o2) I2*(R+%i*o*L2)+%i*o*I1*M=E
(%i3) solve([e1,e2],[I1,I2]);
(%o3) [[I1=-(E*(-R-%i*o*L2)+%i*o*E*M)/(%i*o*R+o^2*M^2-o^2*L2),I2=-(%i*E*M-%i*E)/(%i*R+o*M^2-o*L2)]]

I1,I2について直交形式に整理すると

(%i4) rectform(%);
(%o4) [[I1=-(%i*(o*E*R^2+(o*E*M-o*E*L2)*(o^2*M^2-o^2*L2)))/(o^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L2)^2)-(o*(o*E*M-o*E*L2)*R-E*(o^2*M^2-o^2*L2)*R)/(o^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L2)^2),I2=-
((E*M-E)*R)/(R^2+(o*M^2-o*L2)^2)-(%i*(E*M-E)*(o*M^2-o*L2))/(R^2+(o*M^2-o*L2)^2)]]

I1,I2の絶対値は

(%o22) [[I1=(-E*(-R-%i*o*L2)-%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*R-o^2*L2)+o^2*M^2),I2=(%i*E*L1-%i*E*M)/(L1*(%i*R-o*L2)+o*M^2)]]
(%i23) abs(%);
(%o23) [[abs(I1)=sqrt((-(o*E*L1*R^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^3*E*M^3)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)+
(o^3*E*L2*M^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)+(o^3*E*L1*L2*M)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^3*E*L1*L2^2)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2))^(2)+
((o^2*E*M^2*R)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2)-(o^2*E*L1*M*R)/(o^2*L1^2*R^2+(o^2*M^2-o^2*L1*L2)^2))^2),abs(I2)=sqrt(
((E*L1^2*R)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)-(E*L1*M*R)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2))^2+
(-(o*E*M^3)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)+(o*E*L1*M^2)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)+(o*E*L1*L2*M)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2)-(o*E*L1^2*L2)/(L1^2*R^2+(o*M^2-o*L1*L2)^2))^2)]]
(%i24) factor(%);
(%o24) [[abs(I1)=(abs(E)*sqrt((R^2+o^2*M^2-2*o^2*L2*M+o^2*L2^2)/(L1^2*R^2+o^2*M^4-2*o^2*L1*L2*M^2+o^2*L1^2*L2^2)))/abs(o),abs(I2)=(abs(E)*sqrt(M^2-2*L1*M+L1^2))/sqrt(L1^2*R^2+o^2*M^4-2*o^2*L1*L2*M^2+o^2*L1^2*L2^2)]]

従って

|I1|=(E*sqrt((R^2+ω^2*M^2-2*ω^2*L2*M+ω^2*L2^2)/(L1^2*R^2+ω^2*M^4-2*ω^2*L1*L2*M^2+ω^2*L1^2*L2^2)))/ω
=E*sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)/(ω*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2)

|I2|=(E*sqrt(M^2-2*L1*M+L1^2))/sqrt(L1^2*R^2+ω^2*M^4-2*ω^2*L1*L2*M^2+ω^2*L1^2*L2^2)
=±E*(M-L1)/sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2)
=±E*ω*(M-L1)/(ω*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*(M^2-L1*L2)^2)

|I1|=|I2|となるためには

sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)=±ω*(M-L1)

が成り立つ必要がある。

またI1,I2が直交しているためには

I1=±jI2

が成り立つ必要がある。すなわち

I1=(-E*(-R-%i*o*L2)-%i*o*E*M)/(L1*(%i*o*R-o^2*L2)+o^2*M^2)
=E*(R+j*ω*(L2+M))/(L1*(j*ω*R-ω^2*L2)+ω^2*M^2)
=±jI2
=±j*(j*E*L1-j*E*M)/(L1*(j*R-ω*L2)+ω*M^2)
=±E*(M-L1)/(L1*(j*R-ω*L2)+ω*M^2)
=±E*ω*(M-L1)/(L1*(j*ω*R-ω^2*L2)+ω^2*M^2)

上記の関係が成り立つには

R+j*ω*(L2-M)=±ω*(M-L1)

が成り立つ必要がある。


sqrt(R^2+ω^2*(M-L2)^2)=±ω*(M-L1)

R+j*ω*(L2-M)=±ω*(M-L1)

この４式（からL1,L2に関する２元連立方程式として解くと

(%i57) e1:R^2+o^2*(M-L2)^2=(o*(M-L1))^2;
(%o57) R^2+o^2*(M-L2)^2=o^2*(M-L1)^2
(%i63) e2:R+%i*o*(L2-M)=o*(M-L1);
(%o63) R+%i*o*(L2-M)=o*(M-L1)
(%i64) e3:R+%i*o*(L2-M)=-o*(M-L1);
(%o64) R+%i*o*(L2-M)=-o*(M-L1)

(%i65) solve([e1,e2],[L1,L2]);
(%o65) [[L1=M,L2=(%i*R+o*M)/o],[L1=-(R-o*M)/o,L2=M]]
(%i66) solve([e1,e3],[L1,L2]);
(%o66) [[L1=M,L2=(%i*R+o*M)/o],[L1=(R+o*M)/o,L2=M]]

従ってL1,L2とも実数でなければならないので

L1=-(R-ω*M)/ω=M-R/ω,L2=M
L1=(R+ω*M/)/ω=M+R/ω,L2=M

の２つの解が得られる。

最初の解のL1の式だと

M=L1+R/ω

相互インダクタンスの方が巻き線のインダクタンスよりも超えてしまうことはあり得ないので

L1=M+R/ω
L2=M

が解となる。

最初直交関係から式を導き出す際に、２つあるのを忘れて片方だけを使ったら、MがL1より大きいケースの解しか得られず悩んだが、著者の解を見てようやくそれに気づき正解にたどり着いた。

この回路の意味は一次側がR/ω分の漏洩インダクタンスを持つ磁気漏れ変圧器もしくはリーケージ・トランスである。こうした意図的に漏洩インダクタンスを利用した磁気漏れ変圧器は蛍光灯の安定器、アーク溶接機など定電流変圧器として応用されている。

次ぎも変わった相互誘導回路。L1とL2の間に相互インダクタンスM1の結合があり、L3とL4の間に相互インダクタンスM2の結合があるときに端子AB間の実効リアクタンスを求めよというもの。



相互インダクタンスがいずれも正だとすると以下の式が成り立つ。

jωL1*I1+jωM1*I2=E

jωL2*I2+jωM1*I1+jωL3*I2+jωM2*I3=0

jωL4*I3+jωM2*I2=0

Z*I1=E

Z=jωL0

これをI1,I2,I3,Z,L0に関する連立方程式として解くと

(%i94) e1:%i*o*L1*I1+%i*o*M1*I2=E;
(%o94) %i*o*I2*M1+%i*o*I1*L1=E
(%i106) e2:%i*o*L2*I2+%i*o*M1*I1+%i*o*L3*I2+%i*o*M2*I3=0;
(%o106) %i*o*I3*M2+%i*o*I1*M1+%i*o*I2*L3+%i*o*I2*L2=0
(%i107) e3:%i*o*L4*I3+%i*o*M2*I2=0;
(%o107) %i*o*I2*M2+%i*o*I3*L4=0
(%i97) e4:Z*I1=E;
(%o97) I1*Z=E
(%i98) e5:Z=%i*o*L0;
(%o98) Z=%i*o*L0
(%i108) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I1,I2,I3,Z,L0]);
(%o108) [[I1=-(%i*E*M2^2+(-%i*E*L3-%i*E*L2)*L4)/(o*L1*M2^2+o*L4*M1^2+(-o*L1*L3-o*L1*L2)*L4),I2=
(E*L4*M1)/(%i*o*L1*M2^2+%i*o*L4*M1^2+(-%i*o*L1*L3-%i*o*L1*L2)*L4),I3=-(E*M1*M2)/(%i*o*L1*M2^2+%i*o*L4*M1^2+(-%i*o*L1*L3-%i*o*L1*L2)*L4),Z=-
(o*L1*M2^2+o*L4*M1^2+(-o*L1*L3-o*L1*L2)*L4)/(%i*M2^2+(-%i*L3-%i*L2)*L4),L0=(L1*M2^2+L4*M1^2+(-L1*L3-L1*L2)*L4)/(M2^2+(-L3-L2)*L4)]]

従って

L0=(L1*M2^2+L4*M1^2+(-L1*L3-L1*L2)*L4)/(M2^2+(-L3-L2)*L4)
=(L1*L4+L1*L2-M1^2)*L4-L1*M2^2)/((L2+L3)*L4-M2^2)

ということになる。

次ぎは少し変わった回路。抵抗要素は無くキャパシタンスで一次側と二次側がカップリングされていて二次側に結合の無いインダクタンスが並列に接続されている回路の実効キャパシタンスを求めよというもの。



LとCしかないので回路のインピーダンスは誘導性か容量性のいずれかもしくは０か∞となるはず。題意では容量性となっているということ。

以下の式が成り立つ

(jωL1-j/(ωC)+jωM)*I1+(jωL2+jωM)*I2=E

jωL2*I2+jωM*I1-jωL3*(I1-I2)=0

Z*I1=E

Z=-j/(ωC0)

これらをI1,I2,Z,C0に関する４元連立方程式として解くと

(%i89) e1:(%i*o*L1-%i/(o*C)+%i*o*M)*I1+(%i*o*L2+%i*o*M)*I2=E;
(%o89) I2*(%i*o*M+%i*o*L2)+I1*(%i*o*M+%i*o*L1-%i/(o*C))=E
(%i90) e2:%i*o*L2*I2+%i*o*M*I1-%i*o*L3*(I1-I2)=0;
(%o90) %i*o*I1*M-%i*o*(I1-I2)*L3+%i*o*I2*L2=0
(%i91) e3:Z*I1=E;
(%o91) I1*Z=E
(%i92) e4:Z=-%i/(o*C0);
(%o92) Z=-%i/(o*C0)
(%i93) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,Z,C0]);
(%o93) [[I1=-(o*C*E*L3+o*C*E*L2)/(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2),I2=
(o*C*E*M-o*C*E*L3)/(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2),Z=-
(%i*o^2*C*M^2-2*%i*o^2*C*L3*M+(-%i*o^2*C*L2-%i*o^2*C*L1+%i)*L3+(%i-%i*o^2*C*L1)*L2)/(o*C*L3+o*C*L2),C0=
(C*L3+C*L2)/(o^2*C*M^2-2*o^2*C*L3*M+(-o^2*C*L2-o^2*C*L1+1)*L3+(1-o^2*C*L1)*L2)]]

従って

C0=(C*L3+C*L2)/(ω^2*C*M^2-2*ω^2*C*L3*M+(-ω^2*C*L2-ω^2*C*L1+1)*L3+(1-ω^2*C*L1)*L2)
=C*(L2+L3)/(C*ω^2*(M^2-2*L3*M-(L1+L2)*L3-L1*L2)+L3+L2)
=C*(L2+L3)/(L2+L3-ω^2*C*(L1*L2+L1*L3+L2*L3+2*L3*M-M^2))

ということになる。

次ぎは二次側が可変容量Cが接続された同調回路。



以下の関係が成り立つ

jωL1*I1+jωM*I2=E1

(R+jωL2-j/(ωC))*I2+jωM*I1=0

j/(ωC)*I2=E2

Z*I1=E1

G=|E2|/|E1|

ここで二次側は共振状態にあることから

ωL2-1/(ωC)=0

なので第二の式は

R*I2+jωM*I1=0

と置き換えることができる。

これをI1,I2,E2,Z,Gに関する5元連立方程式として解くと

(%i76) e1:%i*o*L1*I1+%i*o*M*I2=E1;
(%o76) %i*o*I2*M+%i*o*I1*L1=E1
(%i86) e2:(R)*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o86) I2*R+%i*o*I1*M=0
(%i78) e3:(%i/(o*C))*I2=E2;
(%o78) (%i*I2)/(o*C)=E2
(%i79) e4:Z*I1=E1;
(%o79) I1*Z=E1
(%i80) e5:G=abs(E2)/abs(E1);
(%o80) G=abs(E2)/abs(E1)
(%i87) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I1,I2,E2,Z,G]);
(%o87) [[I1=-(%i*E1*R)/(o*L1*R-%i*o^2*M^2),I2=-(E1*M)/(L1*R-%i*o*M^2),E2=-(%i*E1*M)/(o*C*L1*R-%i*o^2*C*M^2),Z=(%i*o*L1*R+o^2*M^2)/R,G=
(abs(M)*sqrt(L1^2*R^2+o^2*M^4))/(o*C*L1^2*R^2+o^3*C*M^4)]]
(%i88) factor(%);
(%o88) [[I1=-(%i*E1*R)/(o*(L1*R-%i*o*M^2)),I2=-(E1*M)/(L1*R-%i*o*M^2),E2=-(%i*E1*M)/(o*C*(L1*R-%i*o*M^2)),Z=(o*(%i*L1*R+o*M^2))/R,G=
abs(M)/(o*C*sqrt(L1^2*R^2+o^2*M^4))]]

ZとGについて整理すると

Z=(ω*(j*L1*R+ω*M^2))/R
=ω^2*M^2/R+j*ω*L1

G=M/(ω*C*sqrt(L1^2*R^2+ω^2*M^4))

ということになる。

最初に式を立てる際に共振条件を適用して簡単にしておかないと、一般的なZ,Gの式を得てからその条件を適用して式を整理するのは至難の業である。なので著者の解法と同じやりかたになってしまった。

これは典型的な同調回路であるが、ゲインが一番高くするにはいろいろな要素が絡んできて難しい。RとL1とCは小さい方が良いのはわかる。相互インダクタンスMの加減が微妙である。

しばらく暑くて茹で上がって中断していた演習問題を再開。

まだまだ続く相互誘導回路の問題。今度は二次側に可変抵抗が負荷として接続された回路の実効抵抗と実効インダクタンスを求める問題。可変抵抗を変化させた時のそれぞれの最大値も求めよという副題付き。



巻き線の向きが指定されていないので電流の向きが反対だが相互インダクタンスMは正とみなして方程式をたててみる。

(R1+jωL1)*I1+jωM*I2=E

(R2+R+jωL2)*I2+jωM*I1=0

また回路全体のインピーダンスに関して

Z0*I1=E

の関係が成り立つので、これらをI1,I2,Z0に関する連立方程式として解くと

(%i44) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o44) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i45) e2:(R2+R+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o45) I2*(R2+R+%i*o*L2)+%i*o*I1*M=0
(%i46) e3:Z0*I1=E;
(%o46) I1*Z0=E
(%i47) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Z0]);
(%o47) [[I1=(E*R2+E*R+%i*o*E*L2)/((R1+%i*o*L1)*R2+(R+%i*o*L2)*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-(%i*o*E*M*R2+%i*o*E*M*R-o^2*E*
L2*M)/((R1+%i*o*L1)*R2^2+((2*R+2*%i*o*L2)*R1+2*%i*o*L1*R+o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R2+
(R^2+2*%i*o*L2*R-o^2*L2^2)*R1+%i*o*L1*R^2+(o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),Z0=
((R1+%i*o*L1)*R2+(R+%i*o*L2)*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2)]]
(%i48) factor(%);
(%o48) [[I1=(E*(R2+R+%i*o*L2))/(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-(o*E*M*(%i*R2+%i*R-o*L2))
/(R1*R2^2+%i*o*L1*R2^2+2*R*R1*R2+2*%i*o*L2*R1*R2+2*%i*o*L1*R*R2+o^2*M^2*R2-2*o^2*L1*L2*R2+R^2*R1+2*%i*o*
L2*R*R1-o^2*L2^2*R1+%i*o*L1*R^2+o^2*M^2*R-2*o^2*L1*L2*R+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),Z0=
(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2)]]

Z0について整理すると

(%i58)
rectform(Z0=(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2));
(%o58) Z0=((R2+R)*(R1*R2+R*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+o*L2*(o*L1*R2+o*L2*R1+o*L1*R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)+
(%i*((R2+R)*(o*L1*R2+o*L2*R1+o*L1*R)-o*L2*(R1*R2+R*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)
(%i59) factor(%);
(%o59) Z0=
(R1*R2^2+%i*o*L1*R2^2+2*R*R1*R2+2*%i*o*L1*R*R2+o^2*M^2*R2+R^2*R1+o^2*L2^2*R1+%i*o*L1*R^2+o^2*M^2*R-%i*o^3*L2*M^2+%i*o^3*L1*L2^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)
(%i60) rectform(%);
(%o60) Z0=(R1*R2^2+2*R*R1*R2+o^2*M^2*R2+R^2*R1+o^2*L2^2*R1+o^2*M^2*R)/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)+
(%i*(o*L1*R2^2+2*o*L1*R*R2+o*L1*R^2-o^3*L2*M^2+o^3*L1*L2^2))/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)

従って

Z0=(R1*R2^2+2*R*R1*R2+ω^2*M^2*R2+R^2*R1+ω^2*L2^2*R1+ω^2*M^2*R)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+j*(ω*L1*R2^2+2*ω*L1*R*R2+ω*L1*R^2-ω^3*L2*M^2+ω^3*L1*L2^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)
=(R1*(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+ω^2*M^2*(R2+R))/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+j*ω*(L1*(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)-ω^2*L2*M^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)
=R1+ω^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)+j*ω*(L1-ω^2*L2*M^2/((R2+R)^2+ω^2*L2^2))

従って実数部が実効抵抗、虚数部が実効リアクタンスなので

Z0=R0+jωL0

なる関係から

R0=R1+ω^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)

L0=L1-ω^2*L2^2*M^2/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)

ということになる。

またRを可変とした場合にR0,L0のそれぞれの最大値は、Rによってそれぞれの式を微分すると

(%i62) diff(R1+o^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+o^2*L2^2), R);
(%o62) (o^2*M^2)/((R2+R)^2+o^2*L2^2)-(2*o^2*M^2*(R2+R)^2)/((R2+R)^2+o^2*L2^2)^2
(%i63) factor(%);
(%o63) -(o^2*M^2*(R2+R-o*L2)*(R2+R+o*L2))/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)^2

dR0/dR=-(ω^2*M^2*(R2+R-ω*L2)*(R2+R+ω*L2))/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2

極大点はdR0/dR=0となる点すなわち分子の値が０となる点なので

(R2+R-ω*L2)*(R2+R+ω*L2)=0

これをRについて解くと

(%i64) solve([(R2+R-o*L2)*(R2+R+o*L2)], [R]);
(%o64) [R=-R2-o*L2,R=o*L2-R2]

Rは正の値なので

R=ω*L2-R2

かつ

ω*L2-R2 ≧ 0

なる条件の時にR0が最大値となるので、R0の式にこの条件を代入すると

(%i65) subst(o*L2-R2, R, (o^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)+R1);
(%o65) R1+(o*M^2)/(2*L2)

従って

Rm=R1+ω*M^2/(2*L2)

ということになる。

同様に実効インダクタンスについてRで微分すると

(%i66) diff(L1-o^2*L2^2*M^2/((R2+R)^2+o^2*L2^2), R);
(%o66) (2*o^2*L2^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)^2

dL0/dR=(2*ω^2*L2^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2

これはちょっと困った。分子と分母をそれぞれ(R2+R)で割ると

dL0/dR=(2*ω^2*L2^2*M^2)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2/(R2+R)
=(2*ω*L2^2*M^2)/((R2+R)+ω^2*L2^2/(R2+R))^2

従ってdL0/dR=0となるのは分母が∞になるとき、すなわちR=∞のときとなる。

この条件をL0の式に代入すると

Lm=L1

となる。

これは相互誘導回路の二次側を開放にすれば一次側だけのインダクタンス成分しか見えなくなるという意味で合っている。

著者は実効抵抗の最大値をとるケースについてω*L2-R2 < 0についても考慮しているがこの場合Rが負ということになってしまうので意味が無い。