演算子法について書かれた数学書は少なく、あっても絶版でかつ出版部数もわずかなため入手困難である。

そんな中で演算子法に関する数学書で現在も入手可能なものがある。

Springer-Verlagの応用数学シリーズの中にある

"Operational Calculus A Theory of Hyperfunctions" K. Yoshida



著者は日本の数学者である吉田耕作。元々は国内で出版された書の英訳で、翻訳そのものも著者自身によるもの。



前書きを読むとHeavisideの精神に良く精通していて基本的にそれを数学的に裏付けし更に拡張したと読み取ることができる。

大部分はMikusinskiの先駆的な業績をなぞるのだが、佐藤の超関数理論(Hyperfunction theory)を駆使してより簡潔にまとめ上げたもののように見える。随所にMikusinskiの著書と比較せよとの記述が見受けられるため、見比べながら読むことを想定しているようだ。しかしMikusinskiの著書も邦訳本はとっくの昔に絶版で出版部数もすくないため入手困難。海外から取り寄せるしかないが、昨年依頼しているが未だに返事が無い。

最期の方に知りたかった電信方程式のいくつか代表的な条件での解が示されている。




前半の数学的な退屈に見える議論はすっとばしてとりあえず結論から先に読んでいくのが良いかもしれない。しかし最終的に簡潔な解の形を導くのにそれらのお膳立てが必要なのを知ることになる。



興味深い結果がこのページあるが、どうしても同じようにはHeavisideの演算子法で導くことができないでいる。電流の解は得られたものの、この本に示されているものとは係数が異なってしまう。

佐藤の超関数理論にしても、Schawaltzの超関数(distribution)理の定式化の方法が解りづらく読みにくいし自分ならもっと簡潔で判りやすい定式化ができると思ったのが発端だそうだ。そのあたりはHeavisideと共通するものがあるように感じる。

巻末には代表的な変換対が示されているが、どちらかというとHeavisideの演算子法とは異なり、意に反してLaplace変換と同じであるが、積分変換を伴わないのでLaplace変換では積分は収束せず扱えない問題も扱える点が大きく異なる。定数1は1/sという具合である。sは微分演算子なのでその逆数は積分演算子になるが、1は何かというと1を係数とするδ関数みたいなもの、積分するとHeavisideの階段関数になる。なので一段演算子の次数が異なっているところがあるので使い勝手はHeavisideのそれと同じなのだが、最終的に変換する際に一段ことなってしまう。そこがまた落とし穴でもある。

もう少し深く読み進めていく予定。