半径aの薄い球殻に電荷Qが一様に分布しているとき内外の電界を求めよ。

というもの。

これは前節にあった問題と同じなんだが、前節ではまだガウスの法則は学んでいないからオーソドックスな積分で導出した記憶があるが、この問題ではガウスの法則を使うことを期待していると思われる。

球殻の外側の電界Eouterは、



ということになる。

球殻表面の総電荷Qが球殻の中心に点電荷として存在する場合と同じ電界になる。

問題は球殻内の電界Einnerなんだが、前節の問題で解いた内容を読み返したらやぶ蛇で式にtypoが見つかったり、cancelパッケージをinstallしていないので取り消し線が表示されていなかったりと不備が見つかった。cancelパッケージはuser contribute packageでtex-live標準ではinstallされないのな。\usepackage{cancel}を挿入する場所もドキュメント本体の最初でないと無視されてしまうことも判明。ようやく直った。これからは取り消し線も使える。

さて何の話だったっけ？

ああ、球殻内の電界ね。

前節で同じ問題を解いた際にはガウスの法則がまだ登場していなかったので、球殻内外の電位の式を導出して、それぞれ電位勾配としての電界を導いたんだった。その際に球殻内の電位は場所によらず定数となるため電位勾配が存在せず電界は0となった。

今回はガウスの法則を使って同じ結論が得られるか示すことが題意として求められているのは明らか。

球殻表面に分布している電荷によって球殻中心に向かって電気力線が向かうことになるので、ちょっと考えると電界が0と言い切れない感が強い。しかし球殻内には電荷が存在しないので、



ということで球殻内に電荷が存在しないんだから、ガウスの法則の右辺は0になるため左辺も0でなければならず、すなわち電界が0であると結論付けられる。

なんだ前節の時より簡単じゃないか（´∀｀　）