Gan's blog - フォーラム

メイン > > 電磁気学理論おもちゃ箱 > 電気力線とGaussの定理演習問題

(1) 2 3 4 »

投稿者	スレッド
webadm	投稿日時: 2024-4-27 16:45
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続々：無限並行直線と電気力線それぞれ、ρ、ρ、-ρ'(ρ'＜2ρ) の線密度で帯電した無限長の平行導線があり、それらに直角な平面との交わりをそれぞれ、 A, B, C とすると ABC が正三角形をなすとき、A から出る電気力線のうち、 C 点に達するものと無限遠点に向かうものとの境界をなすものは AC とどのような角度で出るか？というもの。これは以前に直線上の点電荷と電気力線の問題で似たようなものがあったので、それの無限平行直線版である。とりあえず電気力線をプロットしてみると著者の図とちょっと経路が違うものの、ループ状の電気力線がAから出てCへ向かっている様子が確認できた。次ぎは電気力線の出口と尻尾のそれぞれについて電気力線の方程式をたてて、それらが同じ電気力線上であれば同値であることを利用してA点から出るときの角度α1,α2を求めることにする。（続く）

webadm	投稿日時: 2024-4-27 5:06
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続：無限並行直線と電気力線それぞれ、λ、-λ/2, -λ/2 の線密度で帯電した無限長の平行導線があり、それらに直角な平面との交わりを A, B, C とすると、AB=AC であるとき、A から対称線付近にそって外方に出て B 点に入る電気力線が BC となす角は ∠BAC に等しいことを示せ。というもの。これを読むと、複数の無限平行直線は前の直線上の点電荷のように一直線上に並んでいるとは限らないのな。ならどうやって電気力線をプロットすればすればいいかね。前の問題では電気力線の方程式には線電荷の座標ではなく、電気力線上の点Pと各線電荷を結ぶ直線と一定方向との成す角θiしか出てこない。となると、点Pと線電荷を結ぶ線分と一定方向との成す角が判っても、線電荷の位置は点Pと線電荷を結ぶ線分の延長線上のどこでもいいことになってしまうんだが（´Д｀；）どうすんだこれ（；´Д｀）なんとか苦労してプロットしてみたが、著者の図とは似てもにつかないな。とりあえず、ABCを結ぶ三角形の対称線に沿ってAから出て,外回りでBに入る電気力線のひとつを描いてみた。後は前問の電気力線の方程式で、A点を出る点と、B点に入る点が同じ電気力線上であれば方程式の値は同値である条件を利用してB点に入る時の角度を導出すればいいことになる。 A 点を出るときθ1=π/2, θ2=(π-α)/2, θ3=π-(π-α)/2 なので電気力線の方程式から以下の関係が成り立つ。 $\begin{eqnarray}<br />\lambda\,\theta_1-\frac{\lambda}{2}\theta_2-\frac{\lambda}{2}\theta_2&=&\lambda\frac{\pi}{2}-\frac{\lambda}{2}\left(\frac{\pi-\alpha}{2}+\pi-\frac{\pi-\alpha}{2}\right)\nonumber<br />\\&=&0\nonumber<br />\end{eqnarray}$ おろ、ゼロになるのか。また、B 点に入るとき、θ1=π+(π-α)/2, θ2=β, θ3=π なので電気力線の方程式から以下の関係が成り立つ。 $\begin{eqnarray}<br />\lambda\,\theta_1-\frac{\lambda}{2}\theta_2-\frac{\lambda}{2}\theta_2&=&\lambda\left(\pi+\frac{\pi-\alpha}{2}\right)-\frac{\lambda}{2}\beta-\frac{\lambda}{2}\pi\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda}{2}\left(2\,\pi-\alpha-\beta\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 従って、同じ電気力線上の２点は電気力線の方程式は同値となるので、 $\begin{eqnarray}<br />\frac{\lambda}{2}\left(2\,\pi-\alpha-\beta\right)&=&0\nonumber<br />\\2\,\pi-\alpha-\beta&=&0\nonumber<br />\\\beta&=&2\,\pi-\alpha\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。プロットと違うように見えるけど,BCから時計回りでαの角度戻した方向から B に入るということになる。 θ1=-(α+(π-α)/2)と時計回りに負の値とすると、β=-(2π+α)となり、時計回りに一周＋αということでBCに対してαの角度でBに入るので同値である。最初θ1=α+(π-α)/2とおいて計算すると、β=αとなって喜んだんだが、良く考えたら角度の測り方がθ2,θ3と違っているのに気づいてやり直したら、BCに対して時計回りでαの方向ということになった。その場合も、一度ABCの内側に回り込んで入るということになる。

webadm	投稿日時: 2024-4-19 20:50
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	無限並行直線と電気力線ふう、天気が良いね（´∀｀　）洗濯日和！それはよいとして、ようやく直線上の点電荷と電気力線に関する問題が尽きたらしいけど、今度は無限並行直線と電気力線の問題軍来たこれ（；´Д｀）最初の問題は、直線上の点電荷の問題の時と同様に、電気力線の陰関数表記の方程式に関する問題。単位長さあたり、λ1,λ2,...,λn に帯電した n 本の無限並行直線があるとき、電気力線の方程式は、各線とその上の点とを結ぶ直線が一定方向となす角をθ1,θ2,...,θn とするとき、次式で与えられることを示せ。 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\,\theta_{i}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ というもの。 `e:acos((x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2))-acos((x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2)); plot2d([contour,e],[x,-4,4],[y,0.001,4]);` 以前の直線上の点電荷の時は、各点電荷と電気力線上の点を結ぶ直線と点電荷が並ぶ直線との成す角で表したが、今度は単位長さ当たりの電荷量と各無限直線と電気力線上の点を結ぶ直線が一定方向と成す角で表す点が異なる。一定方向は特に限定されていないので、共通の方向であれば、どの方向であっても良いということだろう。あるいは、直線上の点電荷を一様に帯電した無限帳直線の断面に置き換えて考えても良いかもしれない。以前の直線上の点電荷のケースではガウスの法則で電荷の総量が有限であるので電束を計算することができたが、今回は無限並行線に帯電した電荷の総量が無限になってしまうので、無限並行線全体を視野に入れるのは都合が悪い。単位長さあたりの電荷量が与えられているので、有限区間ではガウスの法則が使えないこともない。無限平行線なのでz軸方向に線が延びているとすると、どのz座標のxy平面でみても電気力線は金太郎飴のように同じ姿になることになる。前の直線上の点電荷の時には、点電荷だったのでガウスの法則と立体角を使って電気力線の方程式を導くことができたが、今回は点電荷ではなく無限超線電荷なので事情が異なる。無限超線電荷の場合は電界は線電荷と直行する平面に平行な方向成分のみとなり、それ以外の方向成分は相殺されて存在しないことになる。上記は証明しなくても自明なので、それによって線電荷を取り囲む幅1の円筒表面で電界もしくは電束を積分すればそれぞれλi/ε0,λiということになる。 $\begin{eqnarray}<br />\int_{S}{\bf D}\cdot\,d{\bf S}&=&\int_{S}D\,dS=D\,\int_{S}dS\nonumber<br />\\&=&2\,\pi\,r\,D=\lambda\nonumber<br />\\D&=&\frac{\lambda}{2\,\pi\,r}\nonumber<br />\\E&=&\frac{D}{\epsilon_0}=\frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0\,r}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ この事実を応用して、同じ電気力線上の任意の点P(x,y)を通る単位長さの円筒の断面を通る電束を線電荷と点Pを結ぶ線分とx軸のなす角θiで表せば、線電荷が直線上に複数並んでいる場合、それらの電束の総和は一定であるはずである。次に、複数の無限超線電荷がx軸上に平行に並んでいる際に任意の電気力線（曲面）を通る電束もしくは電界を求める必要がある。曲面や曲線だと都合が悪いので、直線上の点電荷の時に用いたように電気力線の任意の点を通るx軸に垂直な直方体の平面で電束や電界を積分してもそれぞれλ、λ/ε0となることを利用する。 $\begin{eqnarray}<br />\int_{S_p}D_i\,dh&=&\int_{-y}^{y}\frac{\lambda_i}{2\,\pi\,\sqrt{\left(x-x_i\right)^2+h^2}}\cos\theta\,dh\nonumber<br />\\&=&\int_{-y}^{y}\frac{\lambda_i}{2\,\pi\,\sqrt{\left(x-x_i\right)^2+h^2}}\frac{\left(x-x_i\right)}{\sqrt{\left(x-x_i\right)^2+h^2}}dh\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda_i}{2\,\pi}\int_{-y}^{y}\frac{x-x_i}{\left(x-x_i\right)^2+h^2}dh\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda_i}{2\,\pi}\,\left[\tan^{-1}\left(\frac{h}{x-x_i}\right)\right]_{-y}^{y}\nonumber<br />\\&=&\frac{\lambda_i}{\pi}\,\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-x_i}\right)\nonumber<br />\\&=&-\frac{\lambda_i}{\pi}\,\theta_i\nonumber<br />\\\frac{y}{x-x_i}&=&\tan\left(\pi-\theta_i\right)=-\tan\left(\theta_i\right)\nonumber<br />\\\theta_i&=&-\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-x_i}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って複数の並列に並んだ無限超線電荷の成す任意の電気力線上の点では以下の関係が成り立つことになる。 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=1}^{n}\int_{S_p}D_{i}dh&=&-\frac{1}{\pi}\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,\theta_i=Const.\nonumber<br />\\\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,\theta_i&=&-\pi\,Const.=Const_1\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の解とは異なるアプローチでもできたじゃないか( ´∀｀) Maximaで電束密度を積分した結果がatanになるのを見るまでは正直道間違えているかもと半信半疑だったことは内緒だ( ´∀｀) P.S 次の著者の問題を読んだら、この問題からそうだけど、無限線電荷は互いに平行であるという条件だけで、前の直線上の点電荷のように一直線上に並んでるとは書いてない罠（´Д｀；）まあ、それでも同じ結果なんだけどね。角無限線電荷のy座標をy1,y2,...,ynとした場合でも成り立つことを確かめるのは読者の課題としよう( ´∀｀)

webadm	投稿日時: 2024-4-17 11:42
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	ずっと続く？：直線上の点電荷と電気力線一直線上の AB=BC なる３点、A, B, C にそれぞれ　3q, -q, -q の電荷がおかれているとき、 (1) A 点で AB となす角が、 $\alpha>\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ であるような電気力線は B, C に到達しないこと、および (2) $\alpha=\cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)$ の電気力線は無限遠で AC と直角をなすことを示せ。 `e:3*(1-(x+3)/sqrt((x+3)^2+y^2))/2-(1-(x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2))/2-(1-(x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2))/2; plot2d([contour,e],[x,-4,4],[y,0.001,4]);` というもの。これまでの問題の題意は電気力線が出る角度を求めるものだったのが、この問題では出る角度の条件が与えられた場合に、電気力線が点電荷に最終的に入るか否かを判別することが題意となっている。前問と同様に、 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ を用いることにしよう。 A 点からαで出た電気力線が B 点にβの角度で入る場合、 $\begin{eqnarray}<br />3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2\,q=K\nonumber<br />\\3\,q\,\sin^{2}\frac{0}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&-q\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}-q=K\nonumber<br />\\3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2&=&-\sin^{2}\frac{\beta}{2}-1\nonumber<br />\\\sin^2\frac{\beta}{2}&=&1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\beta}{2}&=&\sqrt{1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\nonumber<br />\\\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ここで(1)の条件、 $\alpha>\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ より、 $\begin{eqnarray}<br />\cos\alpha&=&\left(1-2\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)<-\frac{1}{3}\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&>&\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 一方で、与えられた電気力線が B 点に入るためには、βが実数値である必要から、αは以下の条件を満たす必要がある、 $\begin{eqnarray}<br />1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\ge&0\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\le&\frac{1}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 題意で与えられたα角では上の条件を満たさないため、与えられた電気力線は B 点に入ることはない。同様に A 点からα角で出た電気力線が C 点にγ角で入る場合。 $\begin{eqnarray}<br />3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2\,q=K\nonumber<br />\\3\,q\,\sin^{2}\frac{0}{2}-q\,\sin^{2}\frac{0}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\gamma}{2}&=&-q\,\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=K\nonumber<br />\\3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2&=&-\sin^{2}\frac{\gamma}{2}\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\gamma}{2}&=&2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\gamma}{2}&=&\sqrt{2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\nonumber<br />\\\gamma&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ここで先のα角、 $\begin{eqnarray}<br />\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&>&\frac{2}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ で出た電気力線が C 点に入るには、γが実数値になる以下の条件を満たす必要がある $\begin{eqnarray}<br />2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\ge&0\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\le&\frac{2}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 題意で与えられたα角は上の条件を満たさないので、γが虚数になってしまうため、与えられた電気力線は C 点に入らない。 (2)の設問に関して、無限遠点での電気力線の角度をθとした場合、以下の関係が成り立つ、 $\begin{eqnarray}<br />3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2\,q=K\nonumber<br />\\3\,q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}&=&q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}=K\nonumber<br />\\3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2&=&\sin^{2}\frac{\theta}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\theta}{2}&=&\sqrt{3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2}\nonumber<br />\\\theta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ここで(2)のαの条件、 $\alpha=\cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)$ すなわち、 $\begin{eqnarray}<br />\cos\alpha&=&-\frac{2}{3}=1-2\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&=&\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{6}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ これを先のθの式に代入すると、 $\begin{eqnarray}<br />\theta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{3\,\frac{5}{6}-2}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\nonumber<br />\\&=&90^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。

webadm	投稿日時: 2024-4-17 10:28
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	更に続く：直線上の点電荷と電気力線一直線上の AB=BC なる３点、 A, B, C にそれぞれ、q, -4q, q の電荷をおく場合、C を出る電気力線はすべて B に入るときに BC と 60°を越さない角をなすことを示せ。 `e:(1-(x+3)/sqrt((x+3)^2+y^2))/2-4*(1-(x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2))/2+(1-(x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2))/2; plot2d([contour,e],[x,-4,4],[y,0.001,4]);` というもの。前問と同様に、 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ が電気力線上の B点近傍と C点近傍で同値であることから、 $\begin{eqnarray}<br />q\sin^{2}\frac{0}{2}-4\,q\sin^{2}\frac{\beta}{2}+q\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&-4\,q\sin^{2}\frac{\beta}{2}+q=K\nonumber<br />\\q\sin^{2}\frac{0}{2}-4\,q\sin^{2}\frac{0}{2}+q\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&=&q\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=K\nonumber<br />\\-4\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}+1&=&\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\4\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}&=&1-\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\2\,\sin\frac{\beta}{2}&=&\cos\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\beta}{2}&=&\frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ が成り立つことになる。ここで、 $\begin{eqnarray}<br />\cos\frac{\alpha}{2}&<&1\nonumber<br />\end{eqnarray}$ なので、 $\begin{eqnarray}<br />\sin\frac{\beta}{2}&<&\frac{1}{2}\nonumber<br />\\\beta&<&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=2\,\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\nonumber<br />\\\beta&<&60^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。

webadm	投稿日時: 2024-4-13 22:33
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	もっと続く：直線上の点電荷と電気力線一直線上の　AB=BC なる３点、A, B, C にそれぞれ、-q', q, -q'(q＞2q') の電荷があるとき、B から出て A に入る電気力線が B において AB となす角は、 $\begin{eqnarray}<br />\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{q'}{q}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ を越さないことを示せ。 `e:-(1-(x+3)/sqrt((x+3)^2+y^2))/2+(1-(x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2))/2-(1-(x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2))/2; plot2d([contour,e],[x,-4,4],[y,0.001,4]);` というもの。題意の式に2 asin が出てきたあたりでヒントがありそう、 sin^2(θi/2) を使用した電気力線の陰関数定義が使えそうだ。 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ B点とA点に関して、同一電気力線上で以下の関係が成り立つ、 $\begin{eqnarray}<br />-q'\,\sin^{2}\frac{0}{2}+q\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}-q'\,\sin^{2}\frac[0}{2}&=&-q\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}=K\nonumber<br />\\-q'\sin^2\frac{0}{2}+q\,\sin^2\frac{0}{2}-q'\,\sin^2\frac{\alpha}{2}&=&-q'\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=K\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\beta}{2}&=&\frac{q'}{q}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\beta}{2}&=&\sqrt{\frac{q'}{q}}\sin\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{q'}{q}}\sin\frac{\alpha}{2}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ここで、 $\begin{eqnarray}<br />q&>&2\,q'\nonumber<br />\\\sin\frac{\alpha}{2}&\leq&1\nonumber<br />\end{eqnarray}$ であることから、 $\begin{eqnarray}<br />\sqrt{\frac{q'}{q}}&<&\frac{1}{\sqrt{2}}\nonumber<br />\\\beta&<&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{q'}{q}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 q＞2q'の条件を満たさないと、-q'(C)から出発して-q'(A)に入るような電気力線とBから出た電気力線がそれと交わるように定義に反するようなものがプロットされる。 `e:-2(1-(x+3)/sqrt((x+3)^2+y^2))/2+(1-(x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2))/2-2(1-(x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2))/2; plot2d([contour,e],[x,-4,4],[y,0.001,4]);` この原因を突き止めるのは読者の課題としよう（´∀｀　）

webadm	投稿日時: 2024-4-13 17:17
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	また続く：直線上の点電荷と電気力線 4q と -q の二つの電荷が２点 A, B におかれたとき、電気力線が AB に並行になる点 P の軌跡は $\begin{eqnarray}<br />\overline{A\,P}&=&2^{\frac{2}{3}}\overline{B\,P}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ で与えられることを示せ。というもの。これは前問と設定は同じだけど、題意は電気力線の接線がx軸と平行になる（電界のy成分が0になる）点 P と２つの点電荷との間の距離の関係を導出する点が異なる。電気力線の微分係数と電界の成分の関係式、 $\begin{eqnarray}<br />\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}=\frac{dz}{E_z}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ を用いることにしよう。 P(x,y)における電界のy成分は、 $\begin{eqnarray}<br />E_y&=&\frac{4\,q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\overline{A\,P}^2}\sin\theta_1-\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\overline{B\,P}^2}\sin\theta_2\nonumber<br />\\&=&\frac{4\,q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\overline{A\,P}^2}\frac{y}{\overline{A\,P}}-\frac{q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\overline{B\,P}^2}\frac{y}{\overline{B\,P}}\nonumber<br />\\&=&\frac{4\,q\,y}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\overline{A\,P}^3}-\frac{q\,y}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\overline{B\,P}^3}=0\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 従って以下の関係が成り立つ、 $\begin{eqnarray}<br />\frac{4}{\overline{A\,P}^3}&=&\frac{1}{\overline{B\,P}^3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ これをAPについて解くと、３次方程式になるので虚数解を含めて解は３つあり、そのうち実数解は、 $\begin{eqnarray}<br />\overline{A\,P}&=&4^{\frac{1}{3}}\overline{B\,P}\nonumber<br />\\&=&2^{\frac{2}{3}}\overline{B\,P}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ のみである。

webadm	投稿日時: 2024-4-13 3:10
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	まだ続く：直線上の点電荷と電気力線 4q と -g の二つの電荷が２点 A, B におかれたとき、B 点で AB に対して直角に入る電気力線は A 点をどのような角度で出るか？というもの。前問は電気力線が出る時の角度を求める問題だったが、今度は電気力線の入る時の角度を与えて電気力線が出る時の角度を求める問題。これも前問と同じ要領で解いてみよう。 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\cos^2\frac{\theta_i}{2}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ q1=4q, q2=-qといて、A点とB点において同じ電気力線では上の陰関数値が同値になるので、 $\begin{eqnarray}<br />4\,q\,\sin^{2}\frac{\theta_1}{2}-q\,\cos^{2}\frac{\pi}{2}&=&4\,q\cos^{2}\frac{\theta_1}{2}=K\nonumber<br />\\4\,\q\,\cos^{2}\frac{0}{2}-q\,\cos^{2}\frac{\pi}{4}&=&4\,q-q\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=4\,q-q\,\frac{1}{2}=q\frac{7}{2}=K\nonumber<br />\\4\,q\cos^{2}\frac{\theta_1}{2}&=&q\frac{7}{2}\nonumber<br />\\\cos^{2}\frac{\theta_1}{2}&=&\frac{7}{8}\nonumber<br />\\cos\frac{\theta_1}{2}&=&\sqrt{\frac{7}{8}}\nonumber<br />\\\theta_1&=&2\,\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{7}{8}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の解答と違っているように見えるけど、数値計算すると同値であることがわかる。もはやラマヌジャンの世界だな（´∀｀　） $\begin{eqnarray}<br />\theta_1&=&\cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)= 0.7227342478134157\nonumber<br />\\\theta_1&=&2\,\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{7}{8}}\right)=0.722734247813417\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 本当に代数的に同値であるか確かめるのは読者の課題としよう（´∀｀　）

webadm	投稿日時: 2024-4-10 4:51
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	もうひとつの：直線上の点電荷と電気力線２個の電荷 +mq(m＞2)と-q とがあるとき、+mq から出発した電気力線のうち一部は -q に入りその他は無限遠に行く。-q に入るものと入らないものとの境界の電気力線は、+mq をどのような角度で出発するか？　電荷が 4q と -q のときはその角は60°になることを示せ。 `plot2d([contour,-(x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2)+4*(x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2)],[x,-2,3],[y,-4,4]);` というもの。これも前問で出てきたように、電気力線の点電荷の出発点の位置と、無限遠点で電気力線の陰関数が同値であることを利用することになる。また上のプロットでは、右の点電荷(-q)から離れたところで２つの電気力線が鉢合わせしているように見えるが、著者の図ではそこのところがぎりぎりx軸上で無限遠点に曲がって並行に進み、決して同じ点電荷から出発した異なる電気力線は交わらないということを示している。 -q に入るものと入らないものとの境界の電気力線の条件ってなんだろう？ヒントとしては、電気力線の出発点は+電荷の点になるけど、電気力線は無数にあってそれぞれ全方位のいずれかの角度で出発することになるので、出発時の角度がひとつひとつの電気力線で異なっているということになる。一方で無限遠点も無数にあり、点電荷からみて全方位の方向に無限遠点があることになるけど、-電荷の方向に向かった電気力線は(1)-電荷に到着するもの、(2)-電荷からそれて無限遠点に向かうもの、の２種類に分かれることになる。ぎりぎり-電荷に向かわずに無限遠点方向に逃げていく電気力線の無限遠点はx軸に並行となる（２つの点電荷を結ぶ直線に平行になる）ということが言える。ということで電気力線の陰関数としては電気力線の出発点の角度と電気力線上の無限遠点と+電荷を結ぶ線分と２つの点電荷を結ぶ線分の角度を用いたものである必要がある。上記の陰関数は前々問で出てきた気がする。 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ これだよな。しかしこれだと+mqからみた-q方向の無限遠点は0°方向になるので、sin値は0で矛盾するよな。 cosで書き直してみるテスト、 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&\sum_{i=0}^{n}q_i\,\left(1-\cos^2\frac{\theta_i}{2}\right)=Const.\nonumber<br />\\\sum_{i=0}^{n}q_i\,\cos^2\frac{\theta_i}{2}&=&\sum_{i=0}^{n}q_i-Const=K\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを使ってみよう。 q1=mq, q2=-q として、+mpからθの方向で出発した電気力線が、-q方向に向かうもののぎりぎりで無限遠点に向かう電気力線では+mq, -qどちらか見ても電気力線の無限遠点は0°方向になることから、 $\begin{eqnarray}<br />m\,q\,\cos^2\frac{\theta}{2}-q\,\cos^2\frac{\pi}{2}&=&m\,q\cos^2\frac{\theta}{2}=K\nonumber<br />\\m\,q\,\cos^2\frac{0}{2}-q\,\cos^2\frac{0}{2}&=&m\,q-q=q\left(m-1\right)=K\nonumber<br />\\m\,q\,\cos^2\frac{\theta}{2}&=&q\,\left(m-1\right)\nonumber<br />\\\cos^2\frac{\theta}{2}&=&\frac{m-1}{m}=1-\frac{1}{m}\nonumber<br />\\\cos\frac{\theta}{2}&=&\sqrt{1-\frac{1}{m}}\nonumber<br />\\\theta&=&2\,\cos^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{1}{m}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。題意のm=4を代入すると、 $\begin{eqnarray}<br />\theta&=&2\,\cos^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{1}{4}}\right)=2\,\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\nonumber<br />\\&=&60^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の解法とは異なるアプローチでもできたじゃないか（´∀｀　）

webadm	投稿日時: 2024-4-9 21:13
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	それでも：直線上の点電荷と電気力線等量同符号の２個の電荷が2点におかれたとき、一方の電荷から両者を結ぶ直線に対してαの角で出る電気力線は無限遠ではどのような角度となるか、α=0°、90°、180°のときの値はいくらか？というもの。これは前問の結果を利用して、q1=q2としてαをそれぞれ代入して計算すればいいことになる。 $\begin{eqnarray}<br />\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{q_1}{q_1+q_2}}\sin\frac{\alpha}{2}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ α=0°の場合、 $\begin{eqnarray}<br />\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{0}{2}\right)\nonumber<br />\\&=&0^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ α=90°の場合、 $\begin{eqnarray}<br />\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\pi}{4}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\frac{\pi}{6}\nonumber<br />\\&=&\frac{\pi}{3}\nonumber<br />\\&=&60^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ α=180°の場合、 $\begin{eqnarray}<br />\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\pi}{2}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\frac{\pi}{4}\nonumber<br />\\&=&\frac{\pi}{2}\nonumber<br />\\&=&90^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ぬるぽ（´∀｀　）

(1) 2 3 4 »

スレッド表示 | 古いものから

前のトピック | 次のトピック | トップ

投稿するにはまず登録を