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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2015-2-3 3:47
Webmaster
登録日: 2004-11-7
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投稿: 2988
自分の数学を持つことの勧め
電磁気学とは直接関係ないタイトルだが(といって無関係なわけでもない)

常日頃、通勤電車や外食先のテーブルで数学書を読むわけだが、やはり人の数学というものはいくつかの理由ですんなり理解できるわけがない

・著者の持つ数学的な知見と比較し、読む側があまりにも知らないことが多すぎるための困難
・近代の数学書では当たり前の、局所的な議論は最小限にとどめ大観的な議論が主体となるため、天下り的で退屈してくる

これらの理由は大半の人が該当するだろう(その人が大数学者でない限り)

ではどうしたら数学書がおもしろく読めるようになるかというと、上の最初の困難を緩和するしかない。

つまり自分でもある程度局所的な観点での知見を抱負に持ち、大観的な視点だけ欠如している状態でそれらの書物を読めばちょうど補完的な関係で、「ああ判った」ということにつながるはずである。

ではそういった知見はどうやって身につけるかというと、もはや人が書いたものを読むことでは得られない。

そこで自分の数学を持つということにつながる。

数学が苦手の人やどうもよく判らないという人は、自分の中に数学があるからだと考えたほうが納得がいく。つまり自分の数学の芽から見るとどうにも納得がいかない、ギャップが大きすぎるというわけである。

ギャップを縮めるには自分の数学を成長させるしかない。

ここでも再度、読んでいて退屈したり、自分で考えることを放棄させるようなテキストは絶対に読まないことを勧める。

具体的な例を挙げれば、教わってもそれを理解してもただそれだけに終わりなんら発展性のない公式がある。代表的なものには二次方程式の解の公式である。



確かに希ににこの公式を使って計算する機会が一生に一度ぐらいあるかもしれないが、ただそれっきりである。

昔一緒に仕事をした同僚と数学の話をする機会があって、最初に学んだもっともつまらない公式ということで意見が一致した、むしろそれを導出する際に使う「平方完成」もしくは「完全平方」というテクニックのほうが、その後も頻繁に使う機会があるという意見も一致した。

上の公式を見てもどうやって導出するのか思い出せない人も多いと思う。それが悲しい現実である。

平方完成とは、公式の元になった二次方程式をべき根を含む多項式の積に分解することである。



従って上の方程式が成り立つためには



のいずれかが成立すればよいことになる。

上の条件式から解は



ということになる。

この結果そのものが役立つ機会はほとんどないと思われるが、それを導出するのに使用した完全平方のテクニックは数式計算で度々お世話になることになる。

ただこれでも二次方程式を局所的に理解しただけで、他の数学とのつながりがまったく感じられず自己発展性も見いだせない。

しかしそうだろうか?

先の一般的な二次方程式を別の観点から見つめ直すと、教科書や学校では教えないおもしろい性質を再発見することができる。

二次方程式を以下の様に書き直してみると



上の関係が成り立つには



が成り立てばよいことになる。

これは以下の様に書き直すと二次方程式の解の奇妙な性質があらわになる



これはつまり、ある関数fにxを与えた場合、その結果がxのまま変化しないのが解であるということになる。

数学的には関数fは点xに作用して別の点へ移す写像と考えることが一般的である。つまりある写像に対して自分自身に移すような点xが二次方程式の解ということになる。



こうした点の集合が方程式の解ということになる。

このことは二次方程式にとどまらず、微分方程式にもあてはまる。

もちろん当てはまらないものも出てくるが、それを自分で調べるのは楽しい。そうやって局所的な議論を積み重ねると、もっと一般的な、大観的にシンプルにまとまらないかという思いが出てくる。つながるものはみんなつなげて一つになれば覚えやすいし扱いやすい。

そうやっていろいろ自分の数学を育てた後に、先人の書いたテキストを読むと目から鱗ということもあるし、つながりの無いばらんばらんな議論の寄せ集めでしかなかったと判明したりもする。

すくなくともこれは紙も鉛筆もなくてもできることが多いし、目をつぶって半分眠りながらでもできる。おすすめである。

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題名 投稿者 日時
 » 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-2-3 3:47
     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-3-16 1:45
       Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-3-17 0:57
         Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-15 12:41
           Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-21 1:25
             Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-26 12:43
               Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-29 11:10
                 Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-5-4 20:33
                   Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-5-12 9:15
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-5-20 0:56
                   Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-11-15 2:47
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-12-19 12:03
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-1-4 13:15
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-1-10 13:07
                       Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-1-16 8:45
                         Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-4-6 3:47
                           Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-7-26 11:20

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