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webadm | 投稿日時: 2007-11-30 15:28 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3090 |
問題10:正弦波の合成 角速度、周波数、位相についての認識を確かめる問題に代わって今度は正弦波の合成に関する認識を確かめる問題。
引用: 次ぎの場合の合成電流を求めよ。 三角関数の合成の問題である。 (1)の場合、 i=i1+i2=Im*sinωt+Im*cosωt=Im*(sinωt+cosωt) 三角関数の公式 sinA+cosA=sqrt(2)*sin(π/4+A) により i=sqrt(2)*Im*sin(ωt+π/4) 著者は三角関数の加法定理の公式を適用できるように式を変形している。 (2)の場合、 i=i1+i2=Im*sinωt+Im*sin(ωt-π/2)=Im*(sinωt+sin(ωt-π/2)) =Im*(sinωt-cosωt) ここで三角関数の公式 cosA-sinA=sqrt(2)*sin(π/4-A)=sqrt(2)*cos(π/4+A) により i=-sqrt(2)*Im*cos(ωt+π/4) =sqrt(2)*Im*sin(ωt-π/2+π/4) =sqrt(2)*Im*sin(ωt-π/4) (3)の場合、 i=i1+i2+i3=Im1*sin(ωt+θ1)+Im2*sin(ωt+θ2)+Im3*sin(ωt+θ3) 三角関数の加法定理 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB をつかって3つのsinをそれぞれ置き換えると i=Im1*(sin(ωt)cos(θ1)+cos(ωt)sin(θ1))+Im2*(sin(ωt)cos(θ2)+cos(ωt)sin(θ2))+Im3*(sin(ωt)cos(θ3)+cos(ωt)sin(θ3)) =(Im1*cos(θ1)+Im2*cos(θ2)+Im3*cos(θ3))*sin(ωt)+(Im1*sin(θ1)+Im2*sin(θ2)+Im3*sin(θ3))*cos(ωt) ここで Ima=Im1*cos(θ1)+Im2*cos(θ2)+Im3*cos(θ3) Imb=Im1*sin(θ1)+Im2*sin(θ2)+Im3*sin(θ3) Im=sqrt(Ima^2+Imb^2) sin(θ)=Imb/Im cos(θ)=Ima/Im tan(θ)=Ima/Imb と置くと三角関数の合成定理により i=Ima*sin(ωt)+Imb*cos(ωt)=Im*((Ima/Im)*sin(ωt)+(Imb/Im)*cos(ωt)) =Im*(cos(θ)sin(ωt)+sin(θ)cos(ωt)) 三角関数の加法定理により i=Im*sin(ωt+θ) θ=arctan(Ima/Imb) となる。 (4)も同様に i=i1+I2+i3+...+iN=Im1*sin(ωt+θ1)+Im2*sin(ωt+θ2)+Im3*sin(ωt+θ3)+...+ImN*sin(ωt+θN) =Im1*(sin(ωt)cos(θ1)+cos(ωt)sin(θ1))+Im2*(sin(ωt)cos(θ2)+cos(ωt)sin(θ2))+...+ImN*(sin(ωt)cos(θN)+cos(ωt)sin(θN)) =(Im1*cos(θ1)+Im2*cos(θ2)+...+ImN*cos(θN))*sin(ωt)+(Im1*sin(θ1)+Im2*sin(θ2)+...+ImN*sin(θN))*cos(ωt) Ima=Σ(Imn*cos(θn)) (n=1,2,...,N) Imb=Σ(Imn*sin(θn)) (n=1,2,...,N) Im=sqrt(Ima^2+Imb^2) sin(θ)=Imb/Im cos(θ)=Ima/Im tan(θ)=Imb/Ima と置くと i=Ima*sin(ωt)+Imb*cos(ωt) =Im*((Ima/Im)*sin(ωt)+(Imb/Im)*cos(ωt)) =Im*(cos(θ)*sin(ωt)+sin(θ)cos(ωt)) 三角関数の加法定理により i=Im*sin(ωt+θ) θ=arctan(Imb/Ima) と表すことが出来る。 |
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