今度は同一周波数の２つの正弦波電流の間の位相差がπ[rad]の場合に合成された正弦波電流の実効値がもとの２つの正弦波電流の実効値の差に等しいことと示せというもの。

位相差がπということは180度違うということである。すなわちまったく正反対の極性を持っていることを意味する。



それがわかれば答えは自明なのだけどちゃんと証明する必要がある。

i1=Im1*sin(ωt+θ)
i2=Im2*sin(ωt+θ+π)

の二つの正弦波電流を合成することを考える。

i=i1+i2=Im1*sin(ωt+θ)+Im2*sin(ωt+θ+π)

三角関数の加法定理を利用して式を展開すると

i=Im1*(sin(ωt)cos(θ)+cos(ωt)sin(θ))+Im2*(sin(ωt)cos(θ+π)+cos(ωt)sin(θ+π))
=(Im1*cos(θ)+Im2*cos(θ+π))*sin(ωt)+(Im1*sin(θ)+Im2*sin(θ+π))*cos(ωt)

ここで

Ima=Im1*cos(θ)+Im2*cos(θ+π)
Imb=Im1*sin(θ)+Im2*sin(θ+π)
Im=sqrt(Ima^2+Imb^2)
sin(φ)=Imb/Im
cos(φ)=Ima/Im
tan(φ)=Imb/Ima

とすると三角関数の合成定理により

i=Im*((Ima/Im)*sin(ωt)+(Imb/Im)*cos(ωt))
=Im*(cos(φ)*sin(ωt)+sin(φ)*cos(ωt))
=Im*sin(ωt+φ)

φ=arctan(Imb/Ima)

と表すことができる。

ここで問題になっている振幅の実効値をIとすると

I=Im/sqrt(2)

ということになる。従ってIは

I=sqrt(Ima^2+Imb^2)/sqrt(2)
=sqrt((Im1*cos(θ)+Im2*cos(θ+π))^2+(Im1*sin(θ)+Im2*sin(θ+π))^2)/sqrt(2)
=sqrt((Im1^2*cos(θ)^2+2*Im1*Im2*cos(θ)*cos(θ+π)+Im2^2*cos(θ+π)^2)+(Im1^2*sin(θ)^2+2*Im1*Im2*sin(θ)*sin(θ+π)+Im2^2*sin(θ+π)^2)/sqrt(2)

(%i5) I=sqrt((Im1*cos(s)+Im2*cos(s+%pi))^2+(Im1*sin(s)+Im2*sin(s+%pi))^2)/sqrt(2);
(%o5) I=sqrt((Im1*sin(s)-Im2*sin(s))^2+(Im1*cos(s)-Im2*cos(s))^2)/sqrt(2)
(%i6) factor(%);
(%o6) I=(abs(Im2-Im1)*sqrt(sin(s)^2+cos(s)^2))/sqrt(2)
(%i8) trigreduce(I=(abs(Im2-Im1)*sqrt(sin(s)^2+cos(s)^2))/sqrt(2));
(%o8) I=abs(Im2-Im1)/sqrt(2)

すなわち

I=|Im2-Im1|/sqrt(2)=|Im2/sqrt(2)-Im1/sqrt(2)|
=|I2-I1|

ということで２つの正弦波電流の実効値I1,I2の差であることが証明された。