解説の時には出て来なかった禁断のLC並列回路に流れる電流の式を代数的に求め、電流が0になる条件を求めよというもの。



正弦波交流電源は

e=Em*cosωt

として与えられている。

回路を流れる電流の瞬時値はキルヒホッフの法則により

i=iC+iL

ここで

iC=C*de/dt
L*diL/dt=e

de/dt=-ω*Em*sinωt

diL/dt=e/L

両辺を積分すると

iL=(1/L)*∫edt=(1/L)*Em*sinωt/ω=(1/ωL)*Em*sinωt

従って

iC=-ωC*Em*sinωt
iL=(1/ωL)*Em*sinωt

∴i=iC+iL=Em*((1/ωL)-ωC)*sinωt

題意から電流が0となるのはまったく電流が流れなくなる条件ということで

(1/ωL)-ωC=0

という条件で電流はまったく流れなくなる。

すなわち

1/ωL=ωC

∴ω=sqrt(1/(L*C))=1/sqrt(L*C)

ということになる。

例によってお約束で微分方程式の定常解のみを扱っている。LC並列回路の微分方程式の過渡解を含む一般解は、非常に扱いずらい。特に電源が正弦波交流の場合にはなおさら複雑怪奇となるし、回路に抵抗が存在しないのでエネルギーが失われず充放電を繰り返し恐ろしいことにもなるし、永遠に落ち着かない可能性もある。