残り２問。そのひとつは既に学んでいるRL直列回路と並列に抵抗をつないだ回路に流れる電流とインピーダンスを導くもの。



電源が

e=Em*sin(ωt+θ)

で表されるとすると

キルヒホッフの法則により

i=i1+i2

i1=e/R1=(Em/R1)*sin(ωt+θ)

RL直列回路を流れる電流は

i2=(Em/sqrt(R2^2+(ωL)^2))*sin(ωt+θ-φ)

φ=atan(ωL/R2)

従って

i=(Em/R1)*sin(ωt+θ)+(Em/sqrt(R2^2+(ωL)^2))*sin(ωt+θ-φ)
=Em*((1/R1)*sin(ωt+θ)+(1/sqrt(R2^2+(ωL)^2))*sin(ωt+θ-φ))
=Em*((1/R1)*sin(ωt+θ)+(1/sqrt(R2^2+(ωL)^2))*(sin(ωt+θ)*cos(φ)-cos(ωt+θ)*sin(φ)))
=Em*((1/R1+cos(φ)/sqrt(R2^2+(ωL)^2))*sin(ωt+θ)-(sin(φ)/sqrt(R2^2+(ωL)^2))*cos(ωt+θ))

ここで

sin(φ)=ωL/sqrt(R2^2+(ωL)^2)
cos(φ)=R2/sqrt(R2^2+(ωL)^2)

であるので代入すると

i=Em*((1/R1+R2/(R2^2+(ωL)^2))*sin(ωt+θ)-(ωL/(R2^2+(ωL)^2))*cos(ωt+θ)

ここで

|Y|=sqrt((1/R1+R2/(R2^2+(ωL)^2))^2+(ωL/(R2^2+(ωL)^2))^2)
=sqrt(1/R1^2+2*R2/(R1*(R2^2+(ωL)^2))+R2^2/(R2^2+(ωL)^2)^2+(ωL)^2/(R2^2+(ωL)^2))
=sqrt(1/R1^2+2*R2/(R1*(R2^2+(ωL)^2))+1/(R2^2+(ωL)^2)

sin(φ1)=(ωL/(R2^2+(ωL)^2))/|Y|
cos(φ1)=(1/R1+R2/(R2^2+(ωL)^2))/|Y|
tan(φ1)=(ωL/(R2^2+(ωL)^2))/(1/R1+R2/(R2^2+(ωL)^2))

と置くと

i=Em*|Y|*(sin(ωt+θ)*cos(φ1)-cos(ωt+θ)*sin(φ1))
=Em*|Y|*sin(ωt+θ-φ1)

φ1=atan(ωL/(R2^2+(ωL)^2))/(1/R1+R2/(R2^2+(ωL)^2))

(%i7) (o*L/(R2^2+(o*L)^2))/(1/R1+R2/(R2^2+(o*L)^2));
(%o7) (o*L)/((R2^2+o^2*L^2)*(R2/(R2^2+o^2*L^2)+1/R1))
(%i8) factor(%);
(%o8) (o*L*R1)/(R2^2+R1*R2+o^2*L^2)

φ1=atan(ωL*R1/(R2^2+R1*R2+(ωL)^2)

また

Im=Em*|Y|=Em*sqrt(1/R1^2+2*R2/(R1*(R2^2+(ωL)^2))+1/(R2^2+(ωL)^2)


なので

i=Im*sin(ωt+θ-φ1)

と表すことができる。

またインピーダンスは

|Z|=1/|Y|

なので

|Z|=1/sqrt(1/R1^2+2*R2/(R1*(R2^2+(ωL)^2))+1/(R2^2+(ωL)^2)

と表すことができる。

著者の以下の解とでは平方根の中の一部の項の符号が違う。

|Z|=Em/Im={sqrt(1/R1^2+1/(R2^2+ω^2*L^2)-2*R2/(R1*(R2^2+ω^2*L^2))}^-1

著者は(2.5),(2.7)の正弦波の合成の式を使っていると書いてあるが、θ1-θ2の値が正であろうと負であろうと、元の正弦波の合成が加算であれば負の項は出てこないのだが著者のミスだろうか。