直流回路で学んだY-Δ変換は抵抗をインピーダンスに置き換えた交流回路でも成り立つ。



連立方程式を解くだけなのでMaximaでやってしまおう。

(%i1) e1: Z1+Z2=1/(1/Z12+1/(Z23+Z31));
(%o1) Z2+Z1=1/(1/(Z31+Z23)+1/Z12)
(%i2) e2: Z2+Z3=1/(1/Z23+1/(Z31+Z12));
(%o2) Z3+Z2=1/(1/(Z31+Z12)+1/Z23)
(%i3) e3: Z3+Z1=1/(1/Z31+1/(Z12+Z23));
(%o3) Z3+Z1=1/(1/Z31+1/(Z23+Z12))

Z1,Z2,Z3の関係はそれぞれ、

(%i5) solve([e1,e2,e3],[Z1,Z2,Z3]);
(%o5) [[Z1=(Z12*Z31)/(Z31+Z23+Z12),Z2=(Z12*Z23)/(Z31+Z23+Z12),Z3=(Z23*Z31)/(Z31+Z23+Z12)]]

従って

Z1=(Z12*Z31)/(Z31+Z23+Z12)
Z2=(Z12*Z23)/(Z31+Z23+Z12)
Z3=(Z23*Z31)/(Z31+Z23+Z12)

という関係が成り立つ。

また逆に

(%i6) solve([e1,e2,e3],[Z12,Z23,Z31]);
(%o6) [[Z12=0,Z23=0,Z31=0],[Z12=((Z2+Z1)*Z3+Z1*Z2)/Z3,Z23=((Z2+Z1)*Z3+Z1*Z2)/Z1,Z31=
((Z2+Z1)*Z3+Z1*Z2)/Z2]]

ということから

Z12=(Z2*Z3+Z1*Z3+Z1*Z2)/Z3
Z23=(Z2*Z3+Z1*Z3+Z1*Z2)/Z1
Z31=(Z2*Z3+Z1*Z3+Z1*Z2)/Z2

という関係も成り立つ。

特殊な解としてすべてのインピーダンスが０の場合があるがそれを除く場合ということに。