直流回路で学んだブリッジ回路が交流でも同じように成り立つ。



ブリッジを橋渡しする検流計Gに流れる電流Igが０である場合にはブリッジは平衡状態にあるので以下の関係が成り立つ。

I1*Z1=I2*Z2
I1*Z3=I2*Z4

上記からI1を消去するために以下のように書き換える

I1*Z1-I2*Z2=0
I1*Z3-I2*Z4=0

第一の式にZ3を乗じたものに、第二の式にZ1を乗じたものを差し引く

I1*Z1*Z3-I2*Z2*Z3=0
-) I1*Z3*Z1-I2*Z4*Z1=0
----------------------
I2*Z4*Z1-I2*Z2*Z3=0

従って

I2*Z4*Z1=I2*Z2*Z3

両辺をI2で割って消去すると

Z4*Z1=Z2*Z3

両辺をZ4*Z2で割ると


Z1/Z2=Z3/Z4

という関係が成り立つ。

ここでZ1,Z2,Z3,Z4を直交形式で表すと

Z1=R1+jX1
Z2=R2+jX2
Z3=R3+jX3
Z4=R4+jX4

それぞれ先の関係式に代入すると

Z4*Z1=(R4+jX4)*(R1+jX1)
=(R4*R1-X4*X1)+j(R1*X4+R4*X1)
Z2*Z3=(R2+jX2)*(R3+jX3)
=(R2*R3-X2*X3)+j(R3*X2+R2*X3)

従って

(R4*R1-X4*X1)+j(R1*X4+R4*X1)
=(R2*R3-X2*X3)+j(R3*X2+R2*X3)

書き直すと

(R4*R1-X4*X1)-(R2*R3-X2*X3)+j(R1*X4+R4*X1-(R3*X2+R2*X3))=0

すなわち上式が成り立つには実数部と虚数部ともに０でなければならないことから

(R4*R1-X4*X1)-(R2*R3-X2*X3)=0
かつ
(R1*X4+R4*X1)-(R3*X2+R2*X3))=0

が成り立つ必要がある。

従って

(R4*R1-X4*X1)=(R2*R3-X2*X3)
もしくは
(R4*R1-R2*R3)=(X4*X1-X2*X3)
かつ
(R1*X4+R4*X1)=(R3*X2+R2*X3)

という関係が成り立つ。

また別の関係式から

Z1/Z2
=(R1+jX1)/(R2+jX2)
=(R1+jX1)*(R2-jX2)/((R2+jX2)*(R2-jX2))
=(R1*R2+X1*X2+j(X1*R2-X2*R1))/(R2^2+(X2)^2)
Z3/Z4
=(R3+jX3)/(R4+jX4)
=(R3+jX3)*(R4-jX4)/((R4+jX4)*(R4-jX4))
=(R3*R4+X3*X4+j(X3*R4-X4*R3))/(R4^2+(X4)^2)

従って

(R1*R2+X1*X2+j(X1*R2-X2*R1))/(R2^2+X2^2)=(R3*R4+X3*X4+j(X3*R4-X4*R3))/(R4^2+X4^2)

両辺に(R4^2+X4^2)*(R2^2+X2^2)を乗じると

(R1*R2+X1*X2+j(X1*R2-X2*R1))*(R4^2+X4^2)=
(R3*R4+X3*X4+j(X3*R4-X4*R3))*(R2^2+X2^2)

整理すると

(R1*R2+X1*X2)*(R4^2+X4^2)+j(X1*R2-X2*R1)*(R4^2+X4^2)
=(R3*R4+X3*X4)*(R2^2+X2^2)+j(X3*R4-X4*R3)*(R2^2+X2^2)

従って

(R1*R2+X1*X2)*(R4^2+X4^2)-(R3*R4+X3*X4)*(R2^2+X2^2)+j((X1*R2-X2*R1)*(R4^2+X4^2)-(X3*R4-X4*R3)*(R2^2+X2^2))=0

が成り立つ時は実数部の虚数部の共に０になる必要から

(R1*R2+X1*X2)*(R4^2+X4^2)-(R3*R4+X3*X4)*(R2^2+X2^2)=0
かつ
(X1*R2-X2*R1)*(R4^2+X4^2)-(X3*R4-X4*R3)*(R2^2+X2^2)=0

が成り立つことになる。

上記の式から(R4^2+X4^2)の項を消去するために第一の式に(X1*R2-X2*R1)を乗じ、第二の式に(R1*R2+X1*X2)を乗じたものを差し引くと

(X1*R2-X2*R1)*(R1*R2+X1*X2)*(R4^2+X4^2)-(X1*R2-X2*R1)*(R3*R4+X3*X4)*(R2^2+X2^2)=0
-) (R1*R2+X1*X2)*(X1*R2-X2*R1)*(R4^2+X4^2)-(R1*R2+X1*X2)*(X3*R4-X4*R3)*(R2^2+X2^2)=0
-----------------------------------
(R1*R2+X1*X2)*(X3*R4-X4*R3)*(R2^2+X2^2)-(X1*R2-X2*R1)*(R3*R4+X3*X4)*(R2^2+X2^2)=0

(R2^2+X2^2)で割って整理すると

(R1*R2+X1*X2)*(X3*R3-X4*R3)-(X1*R2-X2*R1)*(R3*R4+X3*X4)=0

従って

(R1*R2+X1*X2)*(X3*R3-X4*R3)=(X1*R2-X2*R1)*(R3*R4+X3*X4)

なる関係も成り立つことになる。