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webadm | 投稿日時: 2008-6-1 0:40 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3087 |
【8】RLC直列回路のQの公式の証明 次ぎなる問題は難問である。
既に学んだQの定義 Q=f0/(f2-f1) (=ω0/(ω2-ω1)) を証明せよというもの。 これが結構難しい。証明のストラテジーが思い浮かばない。 とりあえず半値の電流I1,I2と共振点での電流I0の関係は |I1|=|I0|/√2 |I2|=|I0|/√2 ここで |I0|=|E|/R |I1|=|E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2) |I2|=|E|/√(R^2+(ω2L-1/(ω2C))^2) でそれぞれ置き換えると |E|/√(R^2+(ω1L-1/(ω1C))^2)=|E|/(R*√2) |E|/√(R^2+(ω2L-1/(ω2C))^2)=|E|/(R*√2) 整理すると (ω1L-1/(ω1C))^2-R^2=0 (ω2L-1/(ω2C))^2-R^2=0 という関係になる。ここで Δω=ω2-ω1 とした場合にこれらの3式を連立方程式といsてω1,ω2,ΔωをMaximaでいきなり解いてみると (%i14) e1:(o1*L-1/(o1*C))^2-R^2=0; (%o14) (o1*L-1/(o1*C))^2-R^2=0 (%i15) e2:(o2*L-1/(o2*C))^2-R^2=0; (%o15) (o2*L-1/(o2*C))^2-R^2=0 (%i16) e3:deltao=o2-o1; (%o16) deltao=o2-o1 (%i17) solve([e1,e2,e3],[o1,o2,deltao]); (%o17) [[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=0],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=- (sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=-sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao= sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=0],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2 =(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=- (sqrt(C*R^2+4*L)-sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=(sqrt(C*R^2+4*L)+sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=- (sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L), deltao=-R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=-(sqrt(C*R^2+4*L)+sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=- (sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=(sqrt(C*R^2+4*L)-sqrt(C)*R)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=- (sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=-R/L],[o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=0],[o1= (sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=-sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2= (sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),deltao=sqrt(C*R^2+4*L)/(sqrt(C)*L)],[o1=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),o2=-(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=0]] (%i18) ω1,ω2,Δωはすべて0より大きい正の値でなければならないので o1=(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L),o2 =(sqrt(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L),deltao=R/L 整理すると ω1=√(C^2*R^2+4*C*L)-C*R)/(2*C*L) ω2=√(C^2*R^2+4*C*L)+C*R)/(2*C*L) Δω=R/L が解ということになる。 Δω=ω2-ω1であるので Q=ω0/(ω2-ω1) =ω0/Δω =ω0/(R/L) =ω0L/R と共振点のリアクタンスと抵抗の比となるのでQそのものである。 従って Q=f0/(f2-f1)=ω0/(ω2-ω1)=ω0L/R が成り立つことが証明される。 著者は共振点での電流と任意の点での電流の比の式が1/√2になる二次方程式からω1、ω2をそれぞれ解くことによってω2-ω1を導き同様の結果を得ている。 |
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