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webadm | 投稿日時: 2008-6-1 2:12 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088 |
【10】RLC直列回路のQ 次ぎの問題も難題。
RLC直列回路の回路定数が未知で、共振点の角周波数ω0と電流I0と共振点からΔωだけ離れた角周波数での電流Iのみが既知の場合にQを求めよというもの。 素子の定数が未知なのでそれを使う公式は使えない。また半値の角周波数ω1,ω2も与えられていないのでω0とI0それにΔωとIの3つのみでQを表す式を導けという問題である。 とりあえずやってみよう。角周波数ωの時の電流Iは |I|=|E|/√(R^2+(ωL-1/(ωC))^2) で表される。また共振周波数ω0の時の電流I0は |I0|=|E|/R で表される。 従って第一の式の|E|を消去するために第二の式から |E|=|I0|*R を代入すると |I|=|I0|*R/√(R^2+(ωL-1/(ωC))^2) となる。次ぎにLとCを消去するためにQの定義 Q=ω0*L/R=1/(ω0*C*R) よりLとCについて解くと L=Q*R/ω0 C=1/(ω0*Q*R) をそれぞれ代入すると |I|=|I0|*R/√(R^2+(ω*Q*R/ω0-ω0*Q*R/ω)^2) 両辺を二乗して整理すると |I|^2=|I0|^2*R^2/(R^2+Q^2*R^2*(ω/ω0-ω0/ω)^2) =|I0|^2/(1+Q^2*(ω^2-ω0^2)^2/(ω0*ω)^2) 見事にR,L,Cの未知数が消去された。両辺に(1+Q^2*(ω^2-ω0^2)^2/(ω0*ω)^2を乗じてQについての式に書き直すと Q=((ω0*ω)/(ω^2-ω0^2))*√((|I0|^2-|I|^2)/|I|^2) =((ω0*ω)/((ω+ω0)*(ω-ω0)))*√((|I0|^2-|I|^2)/|I|^2) =((ω0*ω)/((ω+ω0)*Δω))*√((|I0|^2-|I|^2)/|I|^2) ということになる。 これでも間違いでは無いが、著者は更に ω=ω0+Δω に関してΔωがω0に対して十分小さい値であれば Q=((ω0*(ω0+Δω))/((ω0+ω0+Δω)*Δω))*√((|I0|^2-|I|^2)/|I|^2) =((ω0^2+ω0*Δω)/(2*ω0*Δω+Δω^2))*√((|I0|^2-|I|^2)/|I|^2) ≒(ω0/(2*Δω))*√((|I0|^2-|I|^2)/|I|^2) と近似式を導いている。 |
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