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webadm | 投稿日時: 2008-6-5 10:20 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088 |
【12】RLC直列回路の出力(続き) 次の問題は前の問題の続き。
問題の趣旨が一見するとよくわからない。解答例を見て問題の趣旨を理解した次第。 Q=ωL/Rが10より大きい場合、先のECが最大値となるCの値をC=1/ω^2Lで近似できるとして、その場合本来のCの値との誤差が何%以内に収まるかというのが第一問。 ECが最大値となるCは先の問題で C=L/(R^2+(ωL)^2) と導かれた。これに対して近似解を C'=1/(ω^2L) とした場合の誤差はC'とCの差をCで割ったもの (C'-C)/C で表される。それぞれの式を代入すると (1/(ω^2L)-L/(R^2+(ωL)^2))/(L/(R^2+(ωL)^2) (%i3) (1/(o^2*L)-L/(R^2+(o*L)^2))/(L/(R^2+(o*L)^2)); (%o3) ((R^2+o^2*L^2)*(1/(o^2*L)-L/(R^2+o^2*L^2)))/L (%i4) factor(%); (%o4) R^2/(o^2*L^2) R^2/(ωL)^2=1/Q^2 Q > 10なので 1/Q^2=1/100 従って1%以内に収まるということになる。 第二の設問は|ECmax|=Q*|E|と近似される場合に、真の|ECmax|との誤差が0.5%以内に収まることを示せというもの。 |ECmax|は前の問題で |ECmax|=|E|*sqrt(1+(ωL/R)^2) =|E|*sqrt(1+Q^2) で表されるので近似値との誤差の割合は (|ECmax|'-|ECmax|)/|ECmax|=(Q*|E|-|E|*sqrt(1+Q^2))/(|E|*sqrt(1+Q^2)) =(Q-sqrt(1+Q^2))/sqrt(1+Q^2) =Q/sqrt(1+Q^2)-1 =1/sqrt(1/Q^2+1)-1 ここでQ > 10とすると 1/sqrt(1/10^2+1)-1 =-0.00496 従って0.5%以内に収まるということがわかる。 著者の場合、平方根の逆数の式を級数展開して同じ結論を得ているが、Q > 10なので分母はQが大きくなればなるほど1に近づいていくので誤差は限りなく0に近づいていくことは明白である。 |
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