またの呼び名を可逆定理という。検索すると電気回路以外に関するものがいっぱいでてくる。

便宜と接待の関係、もしくは接待と便宜の関係。

ご祝儀と引き出物の関係。

お祝いとお返しの関係。

成果と報酬の関係。

債務と責務の関係。

パーティに招待されたらホストとダンスを踊るとか。

電気回路の相反定理は電磁気学のそれと相似している。どちらかというと電磁気学の方が先なのかもしれない。

著者は詳細記述を省略して結論だけ述べているので何がなんだかわからない。

任意の線形回路があったとして、その岐路に電圧源E1,E2,...,Enが存在してそれぞれの岐路にI1,I2,...,Inがながれているとすると、電圧源がE1',E2',...,En'に変化したとき電流I1',I2',...,In'が流れるものとすると

E=(E1,E2,...,En)

E'=(E1',E2',...,En')

Z=([Z11,Z12,...,Z1n],[Z21,Z22,...,Z2n],...,[Zn1,Zn2,...,Znn])

I=(I1,I2,...,In)

I'=(I1',I2',...,In')

E=Z*I

E'=Z*I'

成る関係が成り立つ。

ここで転置行列の性質を使うと

(E)t=(Z*I)t
=(I)t*(Z)t

ここでZは対称行列なので

Z=(Z)t

従って

(E)t=(I)t*Z

両辺にI'を乗じると

(E)t*I'=(I)t*Z*I'

ここで

E'=Z*I'

なので

(E)t*I'=(I)t*E'

従って行列を展開すると

(E1,E2,...,En)*([I1'],[I2'],...,[In'])=([I1],[I2],...,[In])*(E1',E2',...,En')
=E1*I1'+E2*I2'+...+En*In'
=I1*E1'+I2*E2',...,+In*En'

∴ΣEi*Ii'=ΣEi'*Ii (i=1〜n)

という関係が成り立つ。

これは電磁気学の相反定理とまったく同じである。

電圧源がひとつしか存在しないときは

Ek*Ik'=Ek'*Ik

ということになる。