著者は更にウルトラ短い解説で結論しか書いていないが、これも今までの定理と同様に行列の性質を利用して代数的に証明することができる。

線形回路網中の任意のインピーダンスZに電流Iが流れているということは

I=(I1,...,In)

Z=([Z11,...,Z1n],[Z21,...,Z2n],...,[Zn1,...,Znn])

E=(E1,...,En)

とした場合

I=Z^-1*E

が成り立っていることを意味する。

ここで任意のインピーダンスZがZ+ΔZに変化した場合

ΔZ=([0,...,0],[0,...,0],...,[0,...,ΔZnn])

ΔI=(ΔI1,...,ΔInn)

I+ΔI=(Z+ΔZ)^-1*E

が同様に成り立つ。ΔIは回路各インピーダンスの電流変化である。

従って電流の変化は

ΔI=(Z+ΔZ)^-1*E-I

ここで

I=Z^-1*E

を代入すると

ΔI=(Z+ΔZ)^-1*E-Z^-1*E
=((Z+ΔZ)^-1-Z^-1)*E

単位行列の性質により

U=(Z+ΔZ)^-1*(Z+ΔZ)

従って

Z^-1=U*Z^-1
=(Z+ΔZ)^-1*(Z+ΔZ)*Z^-1

これを代入すると

ΔI=((Z+ΔZ)^-1-Z^-1)*E
=(Z+ΔZ)^-1*(U-(Z+ΔZ)*Z^-1)*E
=(Z+ΔZ)^-1*(U-U-ΔZ*Z^-1)*E
=(Z+ΔZ)^-1*(-ΔZ*Z^-1*E)

ここで再び

I=Z^-1*E

なので

ΔI=(Z+ΔZ)^-1*(-ΔZ*I)

ということになる。

ここで

ΔZ*I=([0,...,0],[0,...,0],...,[0,...,ΔZnn])*(I1,...,Inn)
=(0,...,ΔZnn*Inn)

(Z+ΔZ)^-1=(([Z11,...,Z1n],[Z21,...,Z2n],...,[Zn1,...,Znn])+([0,...,0],[0,...,0],...,[0,...,ΔZnn]))^-1
=(([Z11,...,Z1n],[Z21,...,Z2n],...,[Zn1,...,Znn+ΔZnn])^-1

なので

ΔI=(ΔI1,...,ΔIn)=
(([Z11,...,Z1n],[Z21,...,Z2n],...,[Zn1,...,Znn+Δnn])^-1*([0,...,-ΔZnn*Inn)

従って全体の電流の変化は他の電源をすべて０にしてInnと逆方向の電源-ΔZnn*Innを加えた場合に各部分に流れる電流に等しいということが証明される。