ひずみ波の実効値は正弦波交流の時と同様に瞬時値のRMS値として定義される。

ひずみ波の瞬時値電圧を

e=E0+ΣEmn*sin(nωt+θn) (n=1,∞)

とすると実効値は

|E|=sqrt((1/T)*∫e^2dt)
=sqrt(E0^2+|E1|^2+|E2|^2+...)

で表される。

ただし

|En|=Emn/√2 (n=1,2,3,...)

なぜそうなるのか検証してみよう。

|E|=sqrt((1/T)*∫e^2dt)=sqrt((1/T)*∫(E0+ΣEmn*sin(nωt+θn))^2)dt
=sqrt((1/T)*∫(E0^2+Em1^2*sin(ωt+θ1)^2+Em2^2*sin(2ωt+θ2)^2+...
+E0*(Em1*sin(ωt+θ1)+Em2*sin(2ωt+θ2)+...)
+Em1*sin(ωt+θ1)*(E0+Em2*sin(2ωt+θ2)+...)
+...)dt
=sqrt((1/T)*(∫E0^2dt+∫Em1^2*sin(ωt+θ1)^2dt+∫Em2^2*sin(2ωt+θ2)^2+...
+∫E0*(Em1*sin(ωt+θ1)+Em2*sin(2ωt+θ2)+...)
+∫Em1*sin(ωt+θ1)*(E0+Em2*sin(2ωt+θ2)+...)
+...)

ここで

∫E0^2dt=E0^2*T


∫Emn^2*sin(nωt+θn)^2dt
=∫Emn^2*(1-cos(nωt+θn)^2)dt
=∫Emn^2*(1-(1+cos(2*(nωt+θn))/2)dt
=∫Emn^2*(1/2-cos(2*(nωt+θn)))dt
=Emn^2*T/2

∫E0*(Em1*sin(ωt+θ1)+Em2*sin(2ωt+θ2)+...)dt
=0

∫Em1*sin(ωt+θ1)*(E0+Em2*sin(2ωt+θ2)+...)dt
=∫Em1*sin(ωt+θ1)*E0dt+∫Em1*sin(ωt+θ1)*Em2*sin(2ωt+θ2)dt+...
=∫Em1*Em2*(cos(-ωt+θ1-θ2)-cos(3ωt+θ1+θ2))/2dt+...
=0

従って

|E|=sqrt((1/T)*(E0^2*T+ΣEmn^2*T/2)
=sqrt(E0^2+ΣEmn^2/2)

ここで

|En|=Emn/√2　(n=1,2,3,...)

と置くと

|E|=sqrt(E0^2+|E1|^2+|E2|^2+...)

ということになる。

同様に電力も瞬時値を最短周期で積分したものである。

負荷にかかる電圧と電流の瞬時値が

e=E0+ΣEmn*sin(nωt+θn)
i=I0+ΣImn*sin(nωt+θn+φn)

とすると

消費される電力の瞬時値は

p=e*i
=(E0+ΣEmn*sin(nωt+θn))*(I0+ΣImn*sin(nωt+θn+φn))
=E0*I0
+E0*ΣImn*sin(nωt+θn+φn)
+I0*ΣEmn*sin(nωt+θn)
+ΣEmn*Imn*sin(nωt+θn+φn)*sin(nωt+θn)
+ΣΣEmn*Imm*sin(nωt+θn)*sin(mωt+θm+φm) (n≠m)

となり消費電力は最短周期の平均値なので

Pa=(1/T)*∫pdt
=(1/T)*∫(E0*I0
+E0*ΣImn*sin(nωt+θn+φn)
+I0*ΣEmn*sin(nωt+θn)
+ΣEmn*Imn*sin(nωt+θn+φn)*sin(nωt+θn)
+ΣΣEmn*Imm*sin(nωt+θn)*sin(mωt+θm+φm))dt (n≠m)
=(1/T)*(∫E0*I0dt
+E0*∫ΣImn*sin(nωt+θn+φn)dt
+I0*∫ΣEmn*sin(nωt+θn)dt
+∫ΣEmn*Imn*sin(nωt+θn+φn)*sin(nωt+θn)dt
+∫ΣΣEmn*imm*sin(nωt+θn)*sin(mωt+θm+φm)dt

ここで

∫E0*I0dt=E0*I0*T

E0*∫ΣImn*sin(nωt+θn+φn)dt=0

I0*∫ΣEmn*sin(nωt+θn)dt=0

∫ΣEmn*Imn*sin(nωt+θn+φn)*sin(nωt+θn)dt
=∫Em1*Im1*sin(ωt+θ1+φ1)*sin(ωt+θ1)dt+∫Em2*Im2*sin(2ωt+θ2+φ2)*sin(2ωt+θ2)dt+...
=∫Em1*Im2*(cos(φ1)-cos(2ωt+2θ2+φ1))dt+∫Em2*Im2*(cos(φ2)-cos(4ωt+4θ2+φ2))dt+...
=ΣEmn*Imn*cos(φn)*T

∫ΣΣEmn*Imm*sin(nωt+θn)*sin(mωt+θm+φm)dt
=∫Em1*Im2*sin(ωt+θ1)*sin(2ωt+θ2+φ2)dt
+∫Em1*Im3*sin(ωt+θ1)*sin(3ωt+θ3+φ3)dt
+...
+∫Em2*Im1*sin(2ωt+θ2)*sin(ωt+θ1+φ1)dt
+∫Em2*Im3*sin(2ωt+θ2)*sin(3ωt+θ3+φ3)dt
+...
=∫Em1*Im2*(cos(-ωt+θ1-θ2-φ2)-cos(3ωt+θ1+θ2+φ2))dt
+∫Em1*Im3*(cos(-2ωt+θ1-θ3-φ3)-cos(4ωt+θ1+θ3+φ3))dt
+...
+∫Em2*Im1*(cos(ωt+θ2-θ1-φ1)-cos(3ωt+θ2+θ1+φ1))dt
+∫Em2*Im3*(cos(-ωt+θ2-θ3-φ3)-cos(5ωt+θ2+θ3+φ3))dt
+...
=0

従って

Pa
=(1/T)*(E0*I0*T+ΣEmn*Imn*cos(φn)*T)
=E0*I0+ΣEmn*Imn*cos(φn) (n=1,∞)

ここで

|En|=Emn/√2
|In|=Imn/√2

と置くと

Pa=E0*I0+Σ|En|*|In|*cos(φn)

ということになる。

同様にひずみ波の皮相電力は電圧の実効値と電流の実効値の積で表される

P0=|E|*|I|
=sqrt((E0^2+Σ|En|^2)*(I0^2+Σ|In|^2))

また力率は消費電力と皮相電力の比なので

cosφ=Pa/(|E|*|I|)

ということになる。