三相交流発電機は空間的に対称な三個のコイルと磁石の相対的な回転運動により起電力を発生するため、起電力は正負対称な波形となり直流分や偶数次の高調波は含まれない。

これは先の「特殊な形のひずみ波」の対称波で学んだ通り対称波は奇数次の高調波しか含まれないという理由からである。

各相の電圧の高調波には以下のような性質がある、k=1,3,5,...として高調波の次数nが

(1) n=3*kとなる高調波（第3,9,15,...)は、各相すべて零相分と等しい
(2) n=3*k+4となる高調波（第7,13,19,...)は、基本波と同じ相回転の対称三相電圧となる。k=0のときは基本波そのものである。
(3) n=3*k+2となる高調波(第5,11,17,...)は、基本波と相回転が逆、すなわち逆相順の対称三相電圧である。

これを証明してみたいのだが、同じ内容を扱っている参考書が見あたらない。最近の参考書はそもそもひずみ波を扱っていなかったり、フーリエ級数までは扱っているが三相回路については扱っていなかったりする。

面倒なのだろうか、どうも対称座標法がからんでくるあたりからして計算が面倒くさそうだが、やってみることにしよう。

三相の各電圧の瞬時値をea,eb,ecとすると、それぞれは

ea=a1*sin(ωt)+a3*sin(3ωt)+a5*sin(5ωt)+a7*sin(7ωt)+...

eb=a^2*a1*sin(ωt)+a^6*a3*sin(3ωt)+a^10*a5*sin(5ωt)+a^14*a7*sin(7ωt)+...

ec=a*a1*sin(ωt)+a^3*a3*sin(3ωt)+a^5*a5*sin(5ωt)+a^7*a7*sin(7ωt)+...

対称成分e0,e1,e2は

([e0],[e1],[e2])
=(1/3)*([1,1,1],[1,a,a^2],[1,a^2,a]).([ea],[eb],[ec])
=(1/3)*([1,1,1],[1,a,a^2],[1,a^2,a]).([a1*sin(ωt)+a3*sin(3ωt)+a5*sin(5ωt)+a7*sin(7ωt)+...],[a^2*a1*sin(ωt)+a^6*a3*sin(3ωt)+a^10*a5*sin(5ωt)+a^14*a7*sin(7ωt)+...],[a*a1*sin(ωt)+a^3*a3*sin(3ωt)+a^5*a5*sin(5ωt)+a^7*a7*sin(7ωt)+...])
=(1/3)*([a1*sin(ωt)+a3*sin(3ωt)+a5*sin(5ωt)+a7*sin(7ωt)+...+a*(a^2*a1*sin(ωt)+a^6*a3*sin(3ωt)+a^10*a5*sin(5ωt)+a^14*a7*sin(7ωt)+...)+a^2*(a*a1*sin(ωt)+a^3*a3*sin(3ωt)+a^5*a5*sin(5ωt)+a^7*a7*sin(7ωt)+...)],[a1*sin(ωt)+a3*sin(3ωt)+a5*sin(5ωt)+a7*sin(7ωt)+...+a^2*(a^2*a1*sin(ωt)+a^6*a3*sin(3ωt)+a^10*a5*sin(5ωt)+a^14*a7*sin(7ωt)+...)+a*(a*a1*sin(ωt)+a^3*a3*sin(3ωt)+a^5*a5*sin(5ωt)+a^7*a7*sin(7ωt)+...)])
=(1/3)*([(1+a+a^2)*a1*sin(ωt)+(1+a^3+a^6)*a3*sin(3ωt)+(1+a^5+a^10)*a5*sin(5ωt)+(1+a^7+a^14)*a7*sin(7ωt)+...],[(1+2*a^3)*a1*sin(ωt)+(1+a^5+a^7)*a3*sin(3ωt)+(1+a^7+a^11)*a5*sin(5ωt)+(1+a^9+a^15)*a7*sin(7ωt)+...],[(1+a^2+a^4)*a1*sin(ωt)+(1+a^4+a^8)*a3*sin(3ωt)+(1+a^6+a^7)*a5*sin(5ωt)+(1+a^8+a^16)*a7*sin(7ωt)+...])
=(1/3)*([(1+a+a^2)*a1*sin(ωt)+3*a3*sin(3ωt)+(1+a+a^2)*a5*sin(5ωt)+(1+a+a^2)*a7*sin(7ωt)+...],[3*a1*sin(ωt)+(1+a+a^2)*a3*sin(3ωt)+(1+a+a^2)*a5*sin(5ωt)+3*a7*sin(7ωt)+...],[(1+a+a^2)*a1*sin(ωt)+(1+a+a^2)*a3*sin(3ωt)+3*a5*sin(5ωt)+(1+a+a^2)*a7*sin(7ωt)+...])
=(1/3)*([3*a3*sin(3ωt)+...],[3*a1*sin(ωt)+3*a7*sin(7ωt)+...],[3*a5*sin(5ωt)+...])
=([a3*sin(3ωt)+...],[a1*sin(ωt)+a7*sin(7ωt)+...],[a5*sin(5ωt)+...])

e0=a3*sin(3ωt)+...
e1=a1*sin(ωt)+a7*sin(7ωt)+...
e2=a5*sin(5ωt)+...

ということになり

n=3*kの高調波は零相分に、n=3*k+4の高調波は正相分に、n=3*k+2の高調波は逆相分になることが証明された。

三相ひずみ電力は単相ひずみ波と同様に各相の電力の和であるので

対称三相ひずみ波の相電圧瞬時値は

e=ΣEmn*sin(nωt) (n=1,3,5,7,...)

線電流瞬時値は

i=ΣImn*sin(nωt+φn) (n=1,3,5,7,...)

であるので電力の瞬時値は

p=3*e*i
=3*ΣEmn*Imnsin(nωt)*sin(nωt+φn) (n=1,3,5,7,...)
=3*(ΣEmn*Imn*sin(nωt)*sin(nωt+φn) (n=1,3,5,7,...)
+ΣΣEmn*Imm*sin(nωt)*sin(mωt+φm)) (n≠m)
=3*(Em1*Im1*sin(ωt)*sin(ωt+φ1)+Em3*Im3*sin(3ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em5*Im5*sin(5ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em7*Im7*sin(7ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em1*Im3*sin(ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em1*Im5*sin(ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em1*Im7*sin(ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em3*Im1*sin(3ωt)*sin(ωt+φ1)+Em3*Im5*sin(3ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em3*Im7*sin(3ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em5*Im1*sin(5ωt)*sin(ωt+φ1)+Em5*Im3*sin(5ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em5*Im7*sin(5ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em7*Im1*sin(7ωt)*sin(ωt+φ1)+Em7*Im3*sin(7ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em7*Im5*sin(7ωt)*sin(5ωt+φ5)+...)

従って有効電力は

Pa=(1/T)∫pdt (t=0,T)
=(1/T)∫3*(Em1*Im1*sin(ωt)*sin(ωt+φ1)+Em3*Im3*sin(3ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em5*Im5*sin(5ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em7*Im7*sin(7ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em1*Im3*sin(ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em1*Im5*sin(ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em1*Im7*sin(ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em3*Im1*sin(3ωt)*sin(ωt+φ1)+Em3*Im5*sin(3ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em3*Im7*sin(3ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em5*Im1*sin(5ωt)*sin(ωt+φ1)+Em5*Im3*sin(5ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em5*Im7*sin(5ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em7*Im1*sin(7ωt)*sin(ωt+φ1)+Em7*Im3*sin(7ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em7*Im5*sin(7ωt)*sin(5ωt+φ5)+...)dt
=(1/T)*3*(∫Em1*Im1*sin(ωt)*sin(ωt+φ1)+Em3*Im3*sin(3ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em5*Im5*sin(5ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em7*Im7*sin(7ωt)*sin(7ωt+φ7)+...)dt
+∫(Em1*Im3*sin(ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em1*Im5*sin(ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em1*Im7*sin(ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em3*Im1*sin(3ωt)*sin(ωt+φ1)+Em3*Im5*sin(3ωt)*sin(5ωt+φ5)+Em3*Im7*sin(3ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em5*Im1*sin(5ωt)*sin(ωt+φ1)+Em5*Im3*sin(5ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em5*Im7*sin(5ωt)*sin(7ωt+φ7)+...
+Em7*Im1*sin(7ωt)*sin(ωt+φ1)+Em7*Im3*sin(7ωt)*sin(3ωt+φ3)+Em7*Im5*sin(7ωt)*sin(5ωt+φ5)+...)dt)
=(1/T)*3*(∫Em1*Im1*(cos(-φ1)-cos(2ωt+φ1))/2+Em3*Im3*(cos(-φ3)-cos(6ωt+φ3))/2+Em5*Im5*(cos(-φ5)-cos(10ωt+φ5))/2+Em7*Im7*(cos(-φ7)-cos(14ωt+φ7))/2+...)dt
+∫(Em1*Im3*(cos(-2ωt-φ3)-sin(4ωt+φ3))+Em1*Im5*(cos(-4ωt-φ5)-cos(6ωt+φ5))+Em1*Im7*(cos(-6ωt-φ7)-cos(8ωt+φ7))+...
+Em3*Im1*(cos(2ωt-φ1)-cos(4ωt+φ1))+Em3*Im5*(cos(-2ωt-φ5)*sin(8ωt+φ5))+Em3*Im7*(sin(-4ωt-φ7)-cos(10ωt+φ7))+...
+Em5*Im1*(cos(4ωt-φ1)-cos(6ωt+φ1))+Em5*Im3*(cos(2ωt-φ3)-cos(8ωt+φ3))+Em5*Im7*(cos(-2ωt)-cos(12ωt+φ7))+...
+Em7*Im1*(cos(6ωt-φ1)-cos(8ωt+φ1))+Em7*Im3*(cos(4ωt-φ3)-cos(10ωt+φ3))+Em7*Im5*(cos(2ωt-φ5)-cos(12ωt+φ5))+...)dt)
=3*(Em1*Im1*cos(φ1)/2+Em3*Im3*cos(φ3)/2+Em5*Im5*cos(φ5)/2+Em7*Im7*cos(φ7)/2+...)
=3*ΣEmn*Imn*cos(φn)/2 (n=1,3,5,7,...)

ここで

|En|=Emn/√2
|In|=Imn/√2

と置くと

Pa=3*Σ|En|*|In|*cos(φn)

ということになる。

一方相間電圧の実効値は相電圧の√3倍なので

|Vn|=√3*|En|

であるので相電圧と線電流で表すと

Pa=√3*Σ|Vn|*|In|*cos(φn)

ということになる。


P.S

著者はk=0,1,2,...と定義しているが、それだと偶数次の高調波も含まれてしまうので、本来はk=1,3,5,...という奇数の整数列でなければならない。