フラット表示 | 前のトピック | 次のトピック |
投稿者 | スレッド |
---|---|
webadm | 投稿日時: 2009-8-22 11:14 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3087 |
【14】ひずみ波の実効値 次ぎも実効値に関する問題。
e=ΣEn*sin(nωt+θn) で与えられる電圧がインダクタンスLに加えられた時にその電圧と電流の実効値を求めよというもの。またLを電圧と電流の実効値で表せというもの。 これもひずみ波の実効値の公式を忘れてしまっても、線形回路網の重ね合わせの理と正弦波交流の実効値と忘れなければ導くことができる。 最初にLに加わる電圧の実効値は |E|=sqrt((1/T)∫e^2dt) =sqrt((1/T)∫(ΣEn*sin(nωt+θn))^2dt) =sqrt((1/T)∫(E1*sin(ωt+θ1)+E2*sin(2ωt+θ2)+E3*sin(3ωt+θ3)+...+En*sin(nωt+θn))^2dt) =sqrt((1/T)∫(E1^2*sin(ωt+θ1)^2+E2^2*sin(2ωt+θ2)^2+E3^2*sin(3ωt+θ3)^2+En^2*sin(nωt+θn)^2+E1*sin(ωt+θ1)*(E2*sin(2ωt+θ2)+E3*sin(3ωt+θ3)+...+En*sin(nωt+θn)+E2*sin(2ωt+θ2)*(E1*sin(ωt+θ1)+E3*sin(3ωt+θ3)+...+En*sin(nωt+θn))+...)dt) =sqrt((1/T)*(E1^2∫sin(ωt+θ1)^2dt+E2^2∫sin(2ωt+θ2)^2dt+E3^2∫sin(3ωt+θ3)^2dt)) =sqrt((1/T)*(E1^2∫(1/2-cos(2ωt+2θ1)/2)dt+E2^2∫(1/2-cos(4ωt+2θ2)/2)dt+E3^2∫(1/2-cos(6ωt+2θ3)/2)dt)) =sqrt(E1^2/2+E2^2/2+E3^2/2+...+En^2/2) =(1/√2)*sqrt(E1^2+E2^2+E3^2+...+En^2) ということになる。 一方Lに流れる電流の瞬時値は I=(1/L)∫edt =(1/L)∫ΣEn*sin(nωt+θn)dt =(1/L)∫(E1*sin(ωt+θ1)+E2*sin(2ωt+θ2)+E3*sin(3ωt+θ3)+...+En*sin(nωt+θn))dt =(1/L)*(E1∫sin(ωt+θ1)dt+E2∫sin(2ωt+θ2)dt+E3∫sin(3ωt+θ3)dt+...+En∫sin(nωt+θn)dt) =(1/L)*(E1*(-cos(ωt+θ1)/ω)+E2*(-cos(2ωt+θ2)/2ω)+E3*(-cos(3ωt+θ3)/3ω)+...+En*(-cos(nωt+θn)/nω)) =-(1/ωL)*(E1*cos(ωt+θ1)+E2*cos(2ωt+θ2)/2+E3*cos(3ωt+θ3)/3+...+En*cos(nωt+θn)/n) ということになる。従ってLを流れる電流の実効値は |I|=sqrt((1/T)∫I^2dt) =sqrt((1/T)∫(-(1/ωL)*(E1*cos(ωt+θ1)+E2*cos(2ωt+θ2)/2+E3*cos(3ωt+θ3)/3+...+En*cos(nωt+θn)/n))^2dt) =(1/ωL)*sqrt((1/T)∫(E1^2*cos(ωt+θ1)^2+E2^2*cos(2ωt+θ2)^2/4+E3^2*cos(3ωt+θ3)^2/9+...+En^2*cos(nωt+θn)^2/n^2+E1*cos(ωt+θ1)*(E2*cos(2ωt+θ2)/2+E3*cos(3ωt+θ3)/3+...+En*cos(nωt+θn)/n)+E2*cos(2ωt+θ2)*(E1*cos(ωt+θ1)+E3*cos(3ωt+θ3)+...+En*cos(nωt+θn)+...)dt) =(1/ωL)*sqrt((1/T)*(E1^2∫cos(ωt+θ1)^2dt+(E2^2/4)∫cos(2ωt+θ2)^2dt+(E3^2/9)∫cos(3ωt+θ3)dt)) =(1/ωL)*sqrt((1/T)*(E1^2∫(1/2+sin(2ωt+2θ1)/2)dt+(E2^2/4)∫(1/2+sin(4ωt+2θ2)/2)dt+(E3^2/9)∫(1/2+sin(6ωt+2θ3)/2)dt+...+(En^2/n^2)∫(1/2+sin(2nωt+2θn)/2)dt)) =(1/ωL)*sqrt(E1^2/2+(E2^2/8)+(E3^2/18)+...+(En^2/2n^2)) =(1/√2ωL)*sqrt(E1^2+(E2^2/4)+(E3^2/9)+...+(En^2/n^2)) ということになる。 従ってLは上の式より L=(1/√2ω|I|)*sqrt(E1^2+(E2^2/4)+(E3^2/9)+...+(En^2/n^2)) 分子と分母にそれぞれ電圧の実効値の左辺と右辺を乗ずると L=(|E|/√2ω|I|)*sqrt(E1^2+(E^2/4)+(E3^2/9)+...+(En^2/n^2))/(1/√2)*sqrt(E1^2+E2^2+E3^2+...+En^2) =(|E|/ω|I|)*sqrt((E1^2+(E2^2/4)+(E3^2/9)+...+(En^2/n^2))/(E1^2+E2^2+E3^3+...+En^2)) ということになる。 ここで|E|/ω|I|は実効値から計算される見かけ上のインダクタンスとすると残りの係数はインダクタンスの補正係数と呼ぶ。 著者はひずみ波の実効値の公式をそのまま持ってきているが、基本波それに高調波の実効値の記号とひずみ波の基本波それに高調波の振幅の記号に同じEnを用いているので誤解を招く。本来は |E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2+|E3|^2+...+|En|^2) ただし |En|=En/√2 とすべきところだろう。これでもまだ紛らわしいのだが。 もしくは最初から振幅と実効値の記号を分けて。 e=ΣEmn*sin(nωt+θn) として |En|=Emn/√2 とでもするべきだろう。 |
フラット表示 | 前のトピック | 次のトピック |
投稿するにはまず登録を | |