次はRC直列回路とRL直列回路が並列に接続された負荷へ以下のひずみ波電圧を加えた場合の全体を流れる電流の実効値と消費電力を求める問題。

e=80√2*sin(ωt)+30√2*cos(3ωt+30°)-10√2*sin(5ωt-40°)



この場合負荷回路全体を合成インピーダンスZとみなして線形回路の重ね合わせによって基本波、高調波それぞれを単独電源とした場合、消費電力は

Pa=|E1||I1|cosφ1+|E3||I3|cosφ3+|E5||I5|cosφ5

として求めることができる。

また同様に全体を流れる電流の実効値も基本波、高調波それぞれ単独電源とした場合に合成インピーダンスZに流れる電流の実効値から

|I|=sqrt(|I1|^2+|I3|^2+|I5|^2)

として求めることができる。

やってみよう。

基本波、高調波に関する電圧の実効値はそれぞれ

|E1|=80√2/√2=80 [V]
|E3|=30√2/√2=30 [V]
|E5|=10√2/√2=10 [V]

基本波に対する合成インピーダンスは

Z1=1/(1/(R1-j/ωC)+1/(R2+jωL)))
=1/((R1+j/ωC)/(R1^2+(1/ωC)^2)+(R2-jωL)/(R2^2+(ωL)^2))
=1/(R1/(R1^2+(1/ωC)^2)+R2/(R2^2+(ωL)^2)+j((1/ωC)/(R1^2+(1/ωC)^2)-(ωL)/(R2^2+(ωL)^2)))

合成インピーダンスの絶対値は

|Z1|=1/sqrt((R1/(R1^2+(1/ωC)^2)+R2/(R2^2+(ωL)^2))^2+((1/ωC)/(R1^2+(1/ωC)^2)-(ωL)/(R2^2+(ωL)^2))^2)
=1/sqrt((5/(5^2+15^2)+10/(10^2+2^2))^2+(15/(5^2+15^2)-2/(10^2+2^2))^2)
=1/sqrt((5/(25+225)+10/(100+4))^2+(15/(25+225)-2/(100+4))^2)
=1/sqrt((5/250+10/104)^2+(15/250-2/104)^2)
=1/sqrt((1/50+5/52)^2+(3/50-1/52)^2)
=1/sqrt(((52+50*5)/(50*52))^2+((156-50)/(50*52))^2)
=1/sqrt((302/2600)^2+(106/2600)^2)
=1/sqrt((151/1300)^2+(53/1300)^2)
=1300/sqrt(151^2+53^2)
=1300/sqrt(25610)
=8.123 [Ω]

従って基本波に関する電流の実効値は

|I1|=|E1|/|Z1|=80/8.123=9.85 [A]

同様に各高調波についても

Z3=1/(1/(R1-j/3ωC)+1/(R2+j3ωL)))
=1/((R1+j/3ωC)/(R1^2+(1/3ωC)^2)+(R2-j3ωL)/(R2^2+(3ωL)^2))
=1/(R1/(R1^2+(1/3ωC)^2)+R2/(R2^2+(3ωL)^2)+j((1/3ωC)/(R1^2+(1/3ωC)^2)-(3ωL)/(R2^2+(3ωL)^2)))

|Z3|=1/sqrt((R1/(R1^2+(1/3ωC)^2)+R2/(R2^2+(3ωL)^2))^2+((1/3ωC)/(R1^2+(1/3ωC)^2)-(3ωL)/(R2^2+(3ωL)^2))^2)
=1/sqrt((5/(5^2+15^2/9)+10/(10^2+9*2^2))^2+((15/3)/(5^2+15^2/9)-3*2/(10^2+9*2^2))^2)
=1/sqrt((5/(25+225/9)+10/(100+36))^2+(5/(25+225/9)-6/(100+36))^2)
=1/sqrt((1/10+5/68)^2+(1/10-3/68)^2)
=1/sqrt((68+50)/(10*68))^2+((68-30)/(10*68))^2)
=1/sqrt((118/680)^2+(38/680)^2)
=680/sqrt(118^1+38^2)
=340/sqrt(3842)
=5.48 [Ω]

|I3|=|E3|/|Z3|=30/5.48=5.47 [A]

Z5=1/(1/(R1-j/5ωC)+1/(R2+j5ωL)))
=1/((R1+j/5ωC)/(R1^2+(1/5ωC)^2)+(R2-j5ωL)/(R2^2+(5ωL)^2))
=1/(R1/(R1^2+(1/5ωC)^2)+R2/(R2^2+(5ωL)^2)+j((1/5ωC)/(R1^2+(1/5ωC)^2)-(5ωL)/(R2^2+(5ωL)^2)))

|Z5|=1/sqrt((R1/(R1^2+(1/5ωC)^2)+R2/(R2^2+(5ωL)^2))^2+((1/5ωC)/(R1^2+(1/5ωC)^2)-(5ωL)/(R2^2+(5ωL)^2))^2)
=1/sqrt((5/(5^2+15^2/25)+10/(10^2+25*2^2))^2+((15/5)/(5^2+15^2/25)-5*2/(10^2+25*2^2))^2)
=1/sqrt((5/(25+225/25)+10/(100+100))^2+(3/(25+225/25)-10/(100+100))^2)
=1/sqrt((5/34+1/20)^2+(3/34-1/20)^2)
=1/sqrt((5*20+34)/(34*20))^2+((3*20-34)/(34*20))^2)
=1/sqrt(134/680)^2+(26/680)^2)
=680/sqrt(134^2+26^2)
=340/sqrt(4658)
=4.98 [Ω]

|I5|=|E5|/|Z5|=10/4.98=2.01 [A]

ということになる。

従って回路全体を流れるひずみ波の電流実効値は

|I|=sqrt(|I1|^2+|I3|^2+|I5|^2)
=sqrt(9.85^2+5.47^2+(-2.01)^2)
=11.4 [A]

ということになる。

また消費電力を求めるために、基本波、高調波それぞれに対する力率を求める必要がある。それは各合成インピーダンスの偏角から

cosφ1=Real(Z1)/|Z1|
=((R2/(R2^2+(ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/ωC)^2))/((R2/(R2^2+(ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/ωC)^2))^2+((1/ωC)/(R1^2+(1/ωC)^2)-ωL/(R2^2+(ωL)^2))^2))/(1/sqrt((R1/(R1^2+(1/ωC)^2)+R2/(R2^2+(ωL)^2))^2+((1/ωC)/(R1^2+(1/ωC)^2)-(ωL)/(R2^2+(ωL)^2))^2))
=(R2/(R2^2+(ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/ωC)^2))/sqrt((R2/(R2^2+(ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/ωC)^2))^2+((1/ωC)/(R1^2+(1/ωC)^2)-ωL/(R2^2+(ωL)^2))^2)
=(10/(10^2+2^2)+5/(5^2+15^2))/sqrt((10/(10^2+2^2)+5/(5^2+15^2))^2+(15/(5^2+15^2)-2/(10^2+2^2))^2)
=(10/104+5/250)/sqrt((10/104+5/250)^2+(15/250-2/104)^2)
=(151/1300)/sqrt((151/1300)^2+(53/1300)^2)
=151/sqrt(151^2+53^2)
=151/sqrt(25610)
=0.943

cosφ3=Real(Z3)/|Z3|
=((R2/(R2^2+(3ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/3ωC)^2))/((R2/(R2^2+(3ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/3ωC)^2))^2+((1/3ωC)/(R1^2+(1/3ωC)^2)-3ωL/(R2^2+(3ωL)^2))^2))/(1/sqrt((R1/(R1^2+(1/3ωC)^2)+R2/(R2^2+(3ωL)^2))^2+((1/3ωC)/(R1^2+(1/3ωC)^2)-(3ωL)/(R2^2+(3ωL)^2))^2))
=(R2/(R2^2+(3ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/3ωC)^2))/sqrt((R2/(R2^2+(3ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/3ωC)^2))^2+((1/3ωC)/(R1^2+(1/3ωC)^2)-3ωL/(R2^2+(3ωL)^2))^2)
=(10/(10^2+9*2^2)+5/(5^2+15^2/9))/sqrt((10/(10^2+9*2^2)+5/(5^2+15^2/9))^2+((15/3)/(5^2+15^2/9)-3*2/(10^2+9*2^2))^2)
=(10/136+5/50)/sqrt((10/136+5/50)^2+(5/50-6/136)^2)
=(59/340)/sqrt((59/340)^2+(19/340)^2)
=59/sqrt(59^2+19^2)
=59/sqrt(3842)
=0.952


cosφ5=Real(Z5)/|Z5|
=((R2/(R2^2+(5ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/5ωC)^2))/((R2/(R2^2+(5ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/5ωC)^2))^2+((1/5ωC)/(R1^2+(1/5ωC)^2)-5ωL/(R2^2+(5ωL)^2))^2))/(1/sqrt((R1/(R1^2+(1/5ωC)^2)+R2/(R2^2+(5ωL)^2))^2+((1/5ωC)/(R1^2+(1/5ωC)^2)-(5ωL)/(R2^2+(5ωL)^2))^2))
=(R2/(R2^2+(5ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/5ωC)^2))/sqrt((R2/(R2^2+(5ωL)^2)+R1/(R1^2+(1/5ωC)^2))^2+((1/5ωC)/(R1^2+(1/5ωC)^2)-5ωL/(R2^2+(5ωL)^2))^2)
=(10/(10^2+25*2^2)+5/(5^2+15^2/25))/sqrt((10/(10^2+25*2^2)+5/(5^2+15^2/25))^2+((15/5)/(5^2+15^2/25)-5*2/(10^2+25*2^2))^2)
=(10/200+5/34)/sqrt((10/200+5/34)^2+(3/34-10/200)^2)
=(67/340)/sqrt((67/340)^2+(13/340)^2)
=67/sqrt(67^2+13^2)
=67/sqrt(4658)
=0.982

ということになる。

従って消費電力は

Pa=|E1||I1|cosφ1+|E3||I3|cosφ2+|E5||I5|cosφ3
=80*9.85*0.943+30*5.47*0.952+10*2.01*0.982
=919.05 [W]

ということになる。

ちなみに著者は回路の複素アドミタンスを使って、複素電流値を求め、それをフェーザ表記で実効値と偏角を算出している。また電流の瞬時値の式も導いているが、電流の実効値と消費電力を求めるには必ずしもその必要はない。

また著者は力率を求める際に決定的な過ちを犯している。

合成アドミッタンスの偏角と電圧の瞬時値の位相から電流の瞬時値の位相を求めたまでは良いが、力率を電流の位相から求めているがこれは明らかな間違いである。理論のときに学んだ公式を導く過程でも、電圧の位相は電流に含まれる位相分でキャンセルされ負荷の偏角のみが有効電力を左右することになるからである。

これを証明するために、著者が導きだした電流の瞬時値の式と題意の電圧の瞬時値の式から有効電力の式を導いてみよう。

e=80√2*sin(ωt)+30√2*cos(3ωt+30°)-10√2*sin(5ωt-40°)

i=9.84√2*sin(ωt+19.4°)+5.48√2*cos(3ωt+47.8°)-2.01√2*sin(5ωt-29.1°)

瞬時値電力は

p=e*i
=(80√2*sin(ωt)+30√2*cos(3ωt+30°)-10√2*sin(5ωt-40°))*(9.84√2*sin(ωt+19.4°)+5.48√2*cos(3ωt+47.8°)-2.01√2*sin(5ωt-29.1°))
=80√2*9.84√2*sin(ωt)*sin(ωt+19.4°)+30√2*5.48√2*cos(3ωt+30°)*cos(3ωt+47.8°)+10√2*2.01√2*cos(5ωt-40°)*sin(5ωt-40°)*sin(5ωt-29.1°)+80√2*sin(ωt)*(5.48√2*cos(3ωt+47.8°)-2.01√2*sin(5ωt-29.1°))+30√2*cos(3ωt+30°)*(9.84√2*sin(ωt+19.4°)-2.01√2*sin(5ωt-29.1°))-10√2*sin(5ωt-40°)*(9.84√2*sin(ωt+19.4°)+5.48√2*cos(3ω+47.8°))

有効電力は瞬時値電力の平均なので

Pa=(1/T)∫pdt
=(1/T)∫(80√2*9.84√2*sin(ωt)*sin(ωt+19.4°)+30√2*5.48√2*cos(3ωt+30°)*cos(3ωt+47.8°)+10√2*2.01√2*sin(5ωt-40°)*sin(5ωt-29.1°)+80√2*sin(ωt)*(5.48√2*cos(3ωt+47.8°)-2.01√2*sin(5ωt-29.1°))+30√2*cos(3ωt+30°)*(9.84√2*sin(ωt+19.4°)-2.01√2*sin(5ωt-29.1°))-10√2*sin(5ωt-40°)*(9.84√2*sin(ωt+19.4°)+5.48√2*cos(3ω+47.8°)))dt
=(1/T)*(80√2*9.84√2∫sin(ωt)*sin(ωt+19.4°)dt+30√2*5.48√2∫cos(3ωt+30°)*cos(3ωt+47.8°)dt+10√2*2.01√2∫sin(5ωt-40°)*sin(5ωt-29.1°)dt)
=(1/T)*(80*9.84*2∫(cos(-19.4°)/2-cos(2ωt+19.4°)/2)dt+30*5.48*2∫(cos(-17.8°)/2+cos(6ωt+77.8°)/2)dt+10*2.01*2∫(cos(-10.9°)/2-cos(10ωt-69.1°)/2)dt)
=80.9.84*cos(19.4°)+30*5.48*cos(17.8°)+10*2.01*cos(10.9°)
=80.9.84*0.943+30*5.48*0.952+10*2.01*0.982
=918.57 [W]

ということになる。著者の電流実効値とは小数点以下２桁目が違うのでこちらの計算結果にわずかな違いが出ているが基本的にはあっている。一方著者の解は明らかに間違いであることが証明された。

またこの検証過程で著者の電流の瞬時値の式操作の過程に誤りがあるのを発見したので、上記の検証ではそれは訂正したものを使用している。

著者は電流の瞬時値の式を

i=9.84√2*sin(ωt+19.4°)+5.48√2*cos(3ωt+30°+17.8°)-2.01√2*sin(5ωt-40°+10.9°)
=9.84√2*sin(ωt+19.4°)+5.48√2*cos(3ωt+47.8°)-2.01*sin(5ωt-29.1°)

としているが、最後に2.01√2を転記する際に√2が消えてしまっている。

また良く見ると消費電力の計算式にも転記ミスと思われるものがある。

Pa=|E1||I1|cosφ1+|E3||I3|cosφ3+|E5||I5|cosφ5
=80*9.64*cos(19.4°)+30*5.51*cos(47.8°)+10*2.01*cos(29.1°)

とあるが、|I3|が5.51ということになっているが、瞬時値電流の式では5.48とあるので明らかに誤記である。

今まで見て来た中で解き方からして間違っているというのはなかったのと、転記ミスとはいえ誤記が多いのはちょっとひどすぎる。