次は電荷が線上、面上、体積内に一様に連続して分布している場合を考える。

線電荷

太さが点電荷と同じ線上の線要素dsあたり一定の電荷が密度λで分布していると仮定する。これは実際には太さが0でない電荷を帯びた電線を十分離れた距離であれば太さが無視できる場合に線電荷と見なすことを可能とする。



線電荷から十分離れた点Pにおける電位φpは線分ds上の電荷λdsからの電位を積分することによって得られ



ということになる。

面電荷

厚みが点電荷と同じ面上の面要素dSあたり一定の密度σで電荷分布していると仮定する。これによって実際には厚みが0ではない電荷を帯びた球面や平面、任意の曲面導体も厚みが無視できるような十分離れた距離から見れば面電荷とみなすことが可能となる。



面電荷から十分な距離r離れた点Pにおける電位は面要素ds毎の電荷σからの電位dφを積分することによって



ということになる。

体積電荷

閉空間内の体積要素dVあたり一定の密度ρで電荷が分布していると仮定する。これによって電荷を帯びた気体分子などが閉空間内に一定の密度で存在する場合に体積電荷と見なすことができる。



体積電荷から十分な距離r離れた点Pにおける電位は体積要素ds毎の電荷ρからの電位dφを積分することによって



ということになる。

点Pでの電界については、点Pでの電位φpから



ということになる。

また上記の線電荷、面電荷、体積電荷は点電荷と同様に複数共存した場合、重ね合わせの理が使える



P.S

積分の際にはそれぞれの電荷の分布形状に最も適した座標系を選んでその上で積分するのが普通である。そのために各種の座標変換を駆使しなければならないので演習の前に慣れて置くことは必須だ。ものすごい勢いでビタミンが欠乏するのでビタミン剤も欠かせない。結局は大半数学的な視点や技巧を学ぶことになる。これは電気回路理論おもちゃ箱で経験したのと似ている。