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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-5-23 8:58
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3005
Zobel変換
次ぎの問題は今まで登場してきたT形回路とπ形回路をそれぞれ等価変換(Zobel変換)する問題。ただしL1C1=L2C3が成り立つものとする。



これも以前の問題の結果を利用して著者とは別解でやってみよう。

最初に見通しがよくなるようにT形回路とπ形回路を以下のように表す。



T形回路のインピーダンス行列は以前の問題の解より

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />Z_{11} & Z_{12}\\<br />Z_{21} & Z_{22}<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Z_1+Z_2 & Z_2\\<br />Z_2 & Z_2+Z_3<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

同様にπ形回路のアドミッタンス行列も以前の問題の解より

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />Y_{11} & Y_{12}\\<br />Y_{21} & Y_{22}<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Y_a+Y_b & -Y_b\\<br />-Y_b & Y_b+Y_c<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

一方各回路をそれぞれのパラメータで表すと



次にT形回路のアドミッタンス行列をZ1,Z2,Z3で表すと

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />Y_{11} & Y_{12}\\<br />Y_{21} & Y_{22}<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Z_{11} & Z_{12}\\<br />Z_{21} & Z_{22}<br />\end{array}\right]^{-1}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />Z_1+Z_2 & Z_2\\<br />Z_2 & Z_2+Z_3<br />\end{array}\right]^{-1}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />\frac{Z_2+Z_3}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3} & -\frac{Z_2}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}\\<br />-\frac{Z_2}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3} & \frac{Z_1+Z_2}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

従ってπ形回路のYa,Yb,Ycを等価なT形回路のZ1,Z2,Z3で表すと

\begin{eqnarray}<br />Y_a&=&Y_{11}+Y_{12}\\<br />&=&\frac{Z_3}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}\\<br />Y_b&=&-Y_{12}\\<br />&=&\frac{Z_2}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}\\<br />Y_c&=&Y_{22}+Y_{12}\\<br />&=&\frac{Z_1}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}<br />\end{eqnarray}

ここで題意よりT形回路のZ1,Z2,Z3は

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&\frac{1}{j\omega C_1+\frac{1}{j\omega L_1}}\\<br />&=&\frac{j\omega L_1}{1-{\omega}^2 L_1 C_1}\\<br />Z_2&=&j\omega L_2\\<br />Z_3&=&\frac{1}{j\omega C_3}\\<br />&=&-\frac{j}{\omega C_3}<br />\end{eqnarray}

これを先のYa,Yb,Ycの式にそれぞれ代入するとL1C1=L2C3が成り立つ場合

\begin{eqnarray}<br />Y_a&=&\frac{Z_3}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}\\<br />&=&-\frac{j}{\omega C_3\left(-\frac{{\omega}^2L_1 L_2}{1-{\omega}^2L_1 C_1}+\frac{L_2}{C_3}+\frac{L_1}{C_3\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)}\right)}\\<br />&=&-\frac{j\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}}{\omega\left(L_1\cancel{\left({\omega}^2L_2 C_3-1\right)}+L_2\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}\right)}\\<br />&=&-\frac{j}{\omega\left(L_1+L_2\right)}\\<br />Y_b&=&\frac{Z_2}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}\\<br />&=&\frac{j\omega L_2}{-\frac{{\omega}^2L_1 L_2}{1-{\omega}^2L_1 C_1}+\frac{L_2}{C_3}+\frac{L_1}{C_3\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)}}\\<br />&=&\frac{j\omega L_2 C_3\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}}{L_1\cancel{\left({\omega}^2L_2 C_3-1\right)}+L_2\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}}\\<br />&=&\frac{j\omega L_2 C_3}{L_1+L_2}\\<br />Y_c&=&\frac{Z_1}{Z_1 Z_2+Z_2 Z_3+Z_1 Z_3}\\<br />&=&\frac{j\omega L_1}{\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)\left(-\frac{{\omega}^2L_1 L_2}{1-{\omega}^2L_1 C_1}+\frac{L_2}{C_3}+\frac{L_1}{C_3\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)}\right)}\\<br />&=&-\frac{j\omega L_1 C_3}{L_1\left({\omega}^2L_2 C_3-1\right)+L_2\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}\\<br />&=&-\frac{j\omega L_1 C_3}{\left(L_1+L_2\right)\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}<br />\end{eqnarray}

従って等価なπ形回路は

\begin{eqnarray}<br />Z_a&=&\frac{1}{Y_a}\\<br />&=&-\frac{1}{\frac{j}{\omega\left(L_1+L_2\right)}}\\<br />&=&j\omega\left(L_1+L_2\right)\\<br />&=&j\omega L_a\\<br />L_a&=&L_1+L_2\\<br />Z_b&=&\frac{1}{Y_b}\\<br />&=&\frac{1}{\frac{j\omega L_2 C_3}{L_1+L_2}}\\<br />&=&-\frac{j\left(L_1+L_2\right)}{\omega\left(L_2 C_3\right)}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega\left(\frac{L_2 C_3}{L_1+L_2}\right)}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega C_b}\\<br />C_b&=&\frac{L_2 C_3}{L_1+L_2}=\frac{C_3}{\frac{L_1}{L_2}+1}=\frac{C_3}{\frac{C_3}{C_1}+1}=\frac{C_1 C_3}{C_1+C_3}\\<br />Z_c&=&\frac{1}{Y_c}\\<br />&=&-\frac{1}{\frac{j\omega L_1 C_3}{\left(L_1+L_2\right)\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}}\\<br />&=&-\frac{\left(L_1+L_2\right)\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}{j\omega L_1 C_3}\\<br />&=&\frac{L_1+L_2}{j\omega L_1 C_3}-\frac{\left(L_1+L_2\right){\omega}^2\cancel{L_1} C_1}{j\omega \cancel{L_1} C_3}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega\left(\frac{L_1 C_3}{L_1+L_2}\right)}+j\omega\frac{\left(L_1+L_2\right)C_1}{C_3}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega C_c}+j\omega L_c\\<br />C_c&=&\frac{L_1 C_3}{L_1+L_2}=\frac{C_3}{1+\frac{L_2}{L_1}}=\frac{C_3}{1+\frac{C_1}{C_3}}=\frac{{C_3}^2}{C_1+C_3}\\<br />L_c&=&\frac{\left(L_1+L_2\right)C_1}{C_3}=\frac{\left(L_1+L_2\right)L_2}{L_1}<br />\end{eqnarray}

ということになる。

今度は逆にπ形回路のインピーダンス行列をYa,Yb,Ycで表すと

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />Z_{11} & Z_{12}\\<br />Z_{21} & Z_{22}<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Y_{11} & Y_{12}\\<br />Y_{21} & Y_{22}<br />\end{array}\right]^{-1}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />Y_a+Y_b & -Y_b\\<br />-Y_b & Y_b+Y_c<br />\end{array}\right]^{-1}\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />\frac{Y_c+Y_b}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c} & \frac{Y_b}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}\\<br />\frac{Y_b}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c} & \frac{Y_a+Y_b}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

従ってT形回路のインピーダンスZ1,Z2,Z3をπ形回路のYa,Yb,Ycで表すと

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&Z_{11}-Z_{12}\\<br />&=&\frac{Y_c}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}\\<br />Z_2&=&Z_{12}\\<br />&=&\frac{Y_b}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}\\<br />Z_3&=&Z_{22}-Z_{12}\\<br />&=&\frac{Y_a}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}<br />\end{eqnarray}

題意よりπ形回路のYa,Yb,Ycは

\begin{eqnarray}<br />Y_a&=&\frac{1}{j\omega L_1+\frac{1}{j\omega C_1}}\\<br />&=&\frac{j\omega C_1}{1-{\omega}^2L_1 C_1}\\<br />Y_b&=&\frac{1}{j\omega L_2}\\<br />&=&-\frac{j}{\omega L_2}\\<br />Y_c&=&j\omega C_3<br />\end{eqnarray}

これを先のZ1,Z2,Z3の式に代入するとL1C1=L2C3が成り立つ場合

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&\frac{Y_c}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}\\<br />&=&\frac{j\omega C_3}{\frac{C_1}{L_2\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)+\frac{C_3}{L_2}-\frac{{\omega}^2C_1 C_3}{1-{\omega}^2L_1 C_1}}}\\<br />&=&\frac{j\omega L_2 C_3\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}}{C_1\cancel{\left({\omega}^2L_2 C_3-1\right)}+C_3\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}}\\<br />&=&\frac{j\omega L_2 C_3}{C_1+C_3}\\<br />&=&j\omega L^{\'}_1\\<br />L^{\'}_1&=&\frac{L_2 C_3}{C_1+C_3}=\frac{L_2}{\frac{C_1}{C_3}+1}=\frac{L_2}{\frac{L_2}{L_1}+1}=\frac{L_1 L_2}{L_1+L_2}\\<br />Z_2&=&\frac{Y_b}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}\\<br />&=&-\frac{j}{\omega L_2\left(\frac{C_1}{L_2\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)}+\frac{C_3}{L_2}-\frac{{\omega}^2C_1 C_3}{1-{\omega}^2L_1 C_1}\right)}\\<br />&=&-\frac{j\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}}{\omega\left(C_1\cancel{\left({\omega}^2L_2 C_3-1\right)}+C_3\cancel{\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}\right)}\\<br />&=&-\frac{j}{\omega\left(C_1+C_3\right)}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega C^{\'}_2}\\<br />C^{\'}_2&=&C_1+C_3\\<br />Z_3&=&\frac{Y_a}{Y_a Y_b+Y_a Y_c+Y_b Y_c}\\<br />&=&\frac{j\omega C_1}{\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)\left(\frac{C_1}{L_2\left(1-{\omega}^2L_1 C_1\right)}+\frac{C_3}{L_2}-\frac{{\omega}^2C_1 C_3}{1-{\omega}^2L_1 C_1}\right)}\\<br />&=&-\frac{j\omega L_2 C_1}{C_1\left({\omega}^2L_2 C_3-1\right)+C_3\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}\\<br />&=&-\frac{j\omega L_2 C_1}{\left(C_1+C_3\right)\left({\omega}^2L_1 C_1-1\right)}\\<br />&=&\frac{1}{\left(C_1+C_3\right)\left(j\omega\frac{L_1}{L_2}+\frac{1}{j\omega L_2 C_1}\right)}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega\frac{L_1\left(C_1+C_3\right)}{L_2}+\frac{C_1+C_3}{j\omega L_2 C_1}}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega C^{\'}_3+\frac{1}{j\omega L^{\'}_3}}\\<br />C^{\'}_3&=&\frac{L_1\left(C_1+C_3\right)}{L_2}=\frac{C_3\left(C_1+C_3\right)}{C_1}\\<br />L^{\'}_3&=&\frac{L_2 C_1}{C_1+C_3}=\frac{L_2}{1+\frac{C_3}{C_1}}=\frac{L_2}{1+\frac{L_1}{L_2}}=\frac{{L_2}^2}{L_1+L_2}<br />\end{eqnarray}

ということになる。

ちなみにC'3の値が著者の解答とは違っているが、こちらが正しい。著者の解はL2/L1をL1/L2と転記ミスしている。

それぞれ回路図に表すと



と言う結果になる。

P.S.

ふう、ほとんどが計算で大変だった。最初T形回路とπ形回路の素子定数の添字を一緒にして混乱したので、改めてπ形回路由来はa,b,cでT形回路由来は1,2,3とした。途中の式の操作はMaximaを使って確認するも、入力ミスがあったりして更に頭が混乱してしまった。最後に著者の解答に驚愕の誤記があるというどんでん返しで寝込むかと思った。結局CならCだけから、LならLだけから成るように式を整えるのは人間が意図的にやらないとどうしようもなかった。

そういえばZobel変換というのは検索してもまったくひっかからない。おそらくΔ-Y等価変換と同じだと思われるが、Valkenburgによると1899年に既にA.E.KennelyがElectric World and Engineering誌の記事"The equivalence of triangles and three-point stars in conducting networks"で示しているのでZobel由来と言う人はほとんど居ないのだろう。Zobelが二端子対回路で同じことを示したのはそれからずっと後のことだし。


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題名 投稿者 日時
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