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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-6-26 12:55
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3005
もうひとつの:影像インピーダンス
次ぎも影像インピーダンスの応用問題。

以下のH型回路の端子22'の電圧が端子11'の1/3倍になるときR1及びRの値を求めよというもの。



与えられているH型回路は軸対称回路でRはその反復インピーダンスである。

解法のストラテジーとしてはいくつか考えられるが、著者はオーソドックスな回路解析によって導いている。それとは別解をやってみよう。

前問は与えられた影像インピーダンスを持つように回路定数を導く問題だったが、今度のは与えられた伝搬定数を実現する回路定数を決定せよというもの。これも逆問題である。

幸いにして回路は純抵抗回路なので反復伝搬定数は常に実数である。従って反復伝搬定数の式から定数を導く方法が使えそうである。

まず反復伝搬定数の式を導くことにしよう。

回路は対称回路なので、伝送行列の固有値から反復伝達定数を求めることができる。

例によってより単純な3つの部分回路の縦続接続として伝送行列を求めよう

\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}1&2 R_1\\0&1\end{array}\right]\\<br />F_2&=&\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{R_2}&1\end{array}\right]\\<br />F&=&F_1 F_2 F_1=\left[\begin{array}1&2 R_1\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{R_2}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&2 R_1\\0&1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{R_2+2 R_1}{R_2} & \frac{4 R_1 \left( R_2+R_1\right) }{R_2}\\ \frac{1}{R_2} & \frac{R_2+2 R_1}{R_2}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

次ぎにこの伝送行列の固有値から反復伝搬定数を求め最終的に与えられた条件を満たすR1を解く。

\begin{eqnarray}<br />\left|\lambda I-F\right|&=&\left|\begin{array}\lambda-\frac{R_2+2 R_1}{R_2} & -\frac{4 R_1 \left( R_2+R_1\right) }{R_2}\\ -\frac{1}{R_2} & \lambda-\frac{R_2+2 R_1}{R_2}\end{array}\right|\\<br />&=&{\left( \lambda-\frac{R_2+2 R_1}{R_2}\right) }^{2}-\frac{4 R_1 \left( R_2+R_1\right) }{{R_2}^{2}}\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{R_2+2 R_1-2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{R_2+2 R_1+2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}\right)\right)\\<br />\lambda&=&\frac{R_2+2 R_1\pm 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}\\<br />\theta&=&\ln\left(\frac{R_2+2 R_1+ 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}\right)\\<br />e^{\theta}&=&\frac{E_1}{E_2}=\frac{R_2+2 R_1+ 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}\\<br />&=&3\\<br />e^{-\theta}&=&\frac{E_2}{E_1}=\frac{R_2}{R_2+2 R_1+ 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}\\<br />&=&\frac{1}{3}\\<br />\cosh\left(\theta\right)&=&\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\frac{\frac{R_2+2 R_1+ 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}+\frac{R_2}{R_2+2 R_1+ 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}}{2}=\frac{R_2+2 R_1}{R_2}=1+\frac{2 R_1}{R_2}\\<br />&=&\frac{3+\frac{1}{3}}{2}<br />&=&\frac{5}{3}\\<br />R_1&=&\frac{R_2\left(\cosh\left(\theta\right)-1\right)}{2}\\<br />&=&\frac{120\left(\frac{5}{3}-1\right)}{2}\\<br />&=&40\,[\Omega]<br />\end{eqnarray}

ふう、一瞬これどうやって解くんだ(;´Д`)って不安になったけどストラテジーには間違いがなかった。かなりトリッキーだね。

ああ、あとRも求めないといけないのを忘れるところだった。テストなら一問落とすところだった。

Rは影像インピーダンス(反復インピーダンス)なので例によって伝送行列の固有ベクトルから導くと

\begin{eqnarray}<br />\left(\lambda I-F\right)&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{R_2+2 R_1}\pm 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}-\cancel{\frac{R_2+2 R_1}{R_2}} & -\frac{4 R_1 \left( R_2+R_1\right) }{R_2}\\ -\frac{1}{R_2} & \frac{\cancel{R_2+2 R_1}\pm 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}-\cancel{\frac{R_2+2 R_1}{R_2}}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2} & -\frac{4 R_1 \left( R_2+R_1\right) }{R_2}\\ -\frac{1}{R_2} & \frac{\pm 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{01}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}Z_{01} -\frac{4 R_1 \left( R_2+R_1\right) }{R_2}\\ -Z_{01}\frac{1}{R_2} + \frac{\pm 2\sqrt{ R_1 \left( R_2+R_1\right)}}{R_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{01}&=&2\sqrt{R_1 \left( R_2+R_1\right)}\\<br />Z&=&Z_{01}=Z_{02}=2\sqrt{R_1 \left( R_2+R_1\right)}\\<br />&=&2\sqrt{40 \left( 120+40\right)}\\<br />&=&160\,[\Omega]<br />\end{eqnarray}

ということになる。
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