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webadm	投稿日時: 2010-11-25 9:18
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	対称回路次は対称回路に関する問題以下の回路が対称か否か、また２等分定理が適用できるかどうか答えよというもの。直感的には左右対称なような気がする。ちょっと図の上半分の部分を書き換えてみるとそれは確かめることができる。左右ひっくり返しても回路は一緒だ。しかしこうした直感的なものは実用的には十分だが理論としてははなはだ説得力に欠けるし、一般的でもない。もう一度対称回路の定義に立ち戻る必要がある。対称回路とは・伝送行列の対角要素が同じ（A=D）と定義できる。題意の回路は同一のT型回路を左右ひっくり替えして並列接続したものである。以前の問題で導いた異なる伝送行列を持つ２つの二端子対回路を並列接続した場合の合成回路の伝送行列の公式を使い、F1を片方のT字型回路、F2をその鏡像回路とすると $\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}A_1&B_1\\C_1&D_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}1&Z_1\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_3}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&Z_2\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}1+\frac{Z_1}{Z_3}&\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{Z_3}\\\frac{1}{Z_3}&1+\frac{Z_2}{Z_3}\end{array}\right]\\<br />F_2&=&\left[\begin{array}A_2&B_2\\C_2&D_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}1&Z_2\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_3}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&Z_1\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}1+\frac{Z_2}{Z_3}&\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{Z_3}\\\frac{1}{Z_3}&1+\frac{Z_1}{Z_3}\end{array}\right]\\<br />F&=&\left[\begin{array}\frac{A_1 B_2+A_2 B_1}{B_1+B_2} & \frac{B_1 B_2}{B_1+B_2}\\C_1+C_2+\frac{\left(A_2-A_1\right)\left(D_1-D_2\right)}{B_1+B_2} & \frac{D_1 B_2+D_2 B_1}{B_1+B_2}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2 Z_3+Z_2+Z_1}{2 Z_3} & \frac{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{2 Z_3}\cr \frac{\left( Z_2+Z_1\right) \left( 4 Z_3+Z_2+Z_1\right) }{2 Z_3 \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) } & \frac{2 Z_3+Z_2+Z_1}{2 Z_3}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}$ 従ってA=Dなので対称回路ではあるが、軸対称かどうかはこれだけではわからない。 Bartllett's bisection theoremを理論で学んだことになっているが、実は良くわかっていなかったのである。ここでちゃんと線形代数的に新解釈しておくことにしよう。対称回路では２つの映像インピーダンスは同一となるのは先の計算結果からも明らか。そこで対称回路が軸対称回路であると想定すると中心軸に鏡を置いた場合にはまったく同じ回路が向かい合わせに接続されたように見えたのと等価であるはず。軸対称回路では端子対条件（電圧と電流）を対称に与えた場合にはその極性によって２通りになる。最初のケースは回路に外部から対称の電流が流入する場合、重ね合わせの理によって中心軸を流れる電流は互いに逆方向で打ち消しあうことになり流れる電流は0とならなければならない。これは中心軸で半分に切断した回路の切断面がオープンになっているのと等価である。半回路の端子側からみたインピーダンスをZocは回路全体の四端子定数から以下の関係が成り立つ。 $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}E\\I\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}A&B\\C&D\end{array}\right]\left[\begin{array}E\\-I\end{array}\right]\\<br />E&=&A E-B I\\<br />I&=&C E -D I\\<br />Z_{oc}&=&\frac{E}{I}=\frac{1+D}{C}=\frac{B}{A-1}<br />\end{eqnarray}$ ここで四端子定数を映像パラメータで置き換えるとZocは $\begin{eqnarray}<br />Z_{oc}&=&\frac{E}{I}=\frac{1+D}{C}=\frac{B}{A-1}\\<br />&=&\frac{1+\sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}}cosh\theta}{\frac{1}{\sqrt{Z_{01}Z_{02}}}sinh\theta}\\<br />&=&Z_{0}\frac{1+cosh\theta}{sinh\theta}\\<br />&=&Z_{0}coth\frac{\theta}{2}\\<br />Z_{0}&=&\sqrt{Z_{01}Z_{02}}=Z_{01}=Z_{02}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。もう一方の条件では同様に以下の関係が成り立つ。 $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}E\\I\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}A&B\\C&D\end{array}\right]\left[\begin{array}-E\\I\end{array}\right]\\<br />E&=&-A E+B I\\<br />I&=&-C E +D I\\<br />Z_{sc}&=&\frac{E}{I}=\frac{D-1}{C}=\frac{B}{A+1}\\<br />&=&\frac{\sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}}cosh\theta-1}{\frac{1}{\sqrt{Z_{01}Z_{02}}}sinh\theta}\\<br />&=&Z_{0}\frac{cosh\theta-1}{sinh\theta}\\<br />&=&Z_{0}tanh\frac{\theta}{2}\\<br />Z_{0}&=&\sqrt{Z_{01}Z_{02}}=Z_{01}=Z_{02}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここでBartlett's bisection theoremが成り立つ場合には、ZocとZscをパラメータとして持つ等価な対称格子型回路が存在することになる。前述の２つの回路条件を重ね合わせの理で等価な回路を表すとということになる。従って上記が成り立つための必要十分条件は $\begin{eqnarray}<br />\frac{1+D}{C}=\frac{B}{A-1}\\<br />\frac{D-1}{C}=\frac{B}{A+1}<br />\end{eqnarray}$ が成り立つということにつきる。上記の式を整理すると $\begin{eqnarray}<br />\left(1+D\right)\left(A-1\right)-B C&=&A+A D-1-D-B C=0\\<br />\left(D-1\right)\left(A+1\right)-B C&=&A D -A+D-1-B C=0\\<br />A&=&D\\<br />A D-B C&=&1<br />\end{eqnarray}$ 従ってA=DかつAD-BC=1が必要十分条件ということになる。したがって問題の回路は二等分定理を適用可能である。これは著者の回答とはまったく違う。確認のために、問題の回路と等価な対称格子型回路を合成してみよう。 $\begin{eqnarray}<br />Z_{oc}&=&\frac{E}{I}=\frac{1+D}{C}=\frac{B}{A-1}\\<br />&=&\frac{\cancel{1+\frac{2 Z_3+Z_2+Z_1}{2 Z_3}}}{\frac{\left( Z_2+Z_1\right) \cancel{\left( 4 Z_3+Z_2+Z_1\right)} }{\cancel{2 Z_3}\left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }}\\<br />&=&\frac{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{Z_2+Z_1}\\<br />Z_{sc}&=&\frac{E}{I}=\frac{D-1}{C}=\frac{B}{A+1}\\<br />&=&\frac{\cancel{\frac{2 Z_3+Z_2+Z_1}{2 Z_3}-1}}{\frac{\cancel{\left(Z_2+Z_1\right)} \left( 4 Z_3+Z_2+Z_1\right) }{\cancel{2 Z_3} \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }}\\<br />&=&\frac{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{4 Z_3+Z_2+Z_1}<br />\end{eqnarary}$ 対称格子型回路の伝送行列は $\begin{eqnarray}<br />F&=&\left[\begin{array}\frac{Z_{sc}+Z_{oc}}{Z_{oc}-Z_{sc}}&\frac{2 Z_{sc} Z_{oc}}{Z_{oc}-Z_{sc}}\\ \frac{2}{Z_{oc}-Z_{sc}}&\frac{Z_{sc}+Z_{oc}}{Z_{oc}-Z_{sc}}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{4 Z_3+Z_2+Z_1}+\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{Z_2+Z_1}}{\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{Z_2+Z_1}-\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{4 Z_3+Z_2+Z_1}}&\frac{2 \frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{4 Z_3+Z_2+Z_1} \frac{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{Z_2+Z_1}}{\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{Z_2+Z_1}-\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{4 Z_3+Z_2+Z_1}}\\ \frac{2}{\frac{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{Z_2+Z_1}-\frac{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{4 Z_3+Z_2+Z_1}}&\frac{\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{4 Z_3+Z_2+Z_1}+\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{Z_2+Z_1}}{\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{Z_2+Z_1}-\frac{\cancel{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}}{4 Z_3+Z_2+Z_1}}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2\,Z3+Z2+Z1}{2\,Z3} & \frac{Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{2 Z_3}\cr \frac{\left( Z_2+Z_1\right) \left( 4 Z_3+Z_2+Z_1\right) }{2 Z_3 \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) } & \frac{2 Z_3+Z_2+Z_1}{2 Z_3}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これは元の回路と同じである。従ってBartlett's bisection theoremが適用できるということになる。著者の解はむしろ軸対称回路かどうかという題意であれば正しいが二等分定理が適用できるかという題意であれば相反な対称回路(A=DかつAD-BC=1）であればOKなので正しくないということになる。軸対称回路かどうかを直感的な方法ではなく線形代数的に判別できないものだろうか？　それは読者の課題としよう（´∀｀　）

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題名	投稿者	日時
2端子対回路演習問題	webadm	2010-5-20 4:53
インピーダンスパラメータ	webadm	2010-5-20 5:54
インピーダンスパラメータとアドミッタンスパラメータ	webadm	2010-5-22 23:43
インピーダンスパラメータとハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-23 1:32
インピーダンス行列とアドミッタンス行列	webadm	2010-5-23 10:12
T形回路	webadm	2010-5-23 16:25
続：T形回路	webadm	2010-5-23 16:33
π形回路	webadm	2010-5-23 17:20
Zobel変換	webadm	2010-5-23 17:58
ハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-24 17:53
アドミッタンスパラメータと４端子定数	webadm	2010-5-26 11:41
伝送行列	webadm	2010-5-26 14:34
T形回路の伝送行列	webadm	2010-5-26 15:14
4端子定数	webadm	2010-5-27 3:18
続：伝送行列	webadm	2010-5-27 13:50
続：４端子定数	webadm	2010-5-27 22:14
続々：４端子定数	webadm	2010-5-29 3:39
インピーダンス行列	webadm	2010-5-29 11:27
アドミッタンス行列	webadm	2010-5-29 11:57
またまた：４端子定数	webadm	2010-5-30 11:15
二端子対回路の並列接続	webadm	2010-5-30 12:37
もうひとつの：４端子定数	webadm	2010-5-30 12:45
アドミッタンスパラメータ	webadm	2010-6-3 12:42
まだまだ：４端子定数	webadm	2010-6-5 13:04
影像パラメータと４端子定数	webadm	2010-6-5 13:44
影像パラメータ	webadm	2010-6-12 22:30
続：影像パラメータ	webadm	2010-6-13 5:07
続々：影像パラメータ	webadm	2010-6-17 5:13
影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 16:21
続：影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 19:40
まだまだ：影像パラメータ	webadm	2010-6-22 18:50
もうひとつの：影像パラメータ	webadm	2010-6-25 21:54
４端子定数と影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 0:45
インピーダンス整合	webadm	2010-6-26 11:27
もうひとつの：影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 21:55
反復インピーダンスと４端子定数	webadm	2010-6-27 0:05
反復パラメータ	webadm	2010-6-28 21:04
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π形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータ	webadm	2010-7-8 21:06
相互誘導回路と理想変成器	webadm	2010-7-28 6:11
Norton変換	webadm	2010-8-17 10:44
続：Norton変換	webadm	2010-8-17 20:48
容量性変成器	webadm	2010-8-18 3:42
抵抗性変成器	webadm	2010-8-21 10:11
理想ジャイレーター	webadm	2010-10-31 3:26
続：理想ジャイレータ	webadm	2010-11-19 2:41
続々：ジャイレータ	webadm	2010-11-23 21:29
» 対称回路	webadm	2010-11-25 9:18
続：対称回路	webadm	2010-11-30 0:01
続々：対称回路	webadm	2010-11-30 9:27
またまた：対称回路	webadm	2010-11-30 23:28
軸対称二端子対回路	webadm	2010-12-3 8:26
一方向性回路	webadm	2010-12-8 9:13
続：一方向性回路	webadm	2010-12-8 10:37
Zパラメータ	webadm	2010-12-9 22:51
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４端子定数	webadm	2010-12-14 6:51
理想オペアンプ	webadm	2010-12-14 7:03
続々：Zパラメータ	webadm	2010-12-20 10:10
reactance回路	webadm	2010-12-20 22:52
全域通過回路	webadm	2010-12-23 13:53
最小位相推移回路	webadm	2010-12-23 21:54
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続々：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 9:38

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