次の問題は容量性か誘導性いずれかのみからなるフィルタ回路に関するもの。



X1,X2がともに容量性もしくは誘導性リアクタンスの場合、以下の条件を満たす時にフィルタ特性を有することと、通過域と遮断周波数を求めよというもの。



リアクタンス素子のみから成る二端子対回路は、そのインピーダンス行列が歪Helmite行列（行列要素がすべて純虚数）になることから、どちらも数学的には共通の性質を有することは容易に想像できる。

特に著者はこの回路が何と呼ばれるかは教えてくれていないが、勝手に定K形フィルタとはZ1Z2が負の実数になることから反定K形フィルタと呼ぶことにしよう。本当はどうなのかは謎、定K形フィルタの一種に数えてもよいのかもしれない。Z1Z2が定数になるという意味では一緒だから。

実務でも高周波回路ではコンデンサだけからなるフィルタ回路は有用である。インダクタンスは作るのが面倒だし、内部抵抗と浮遊容量結合を伴うので、理想的なインダクタンスとはならないからだ。コンデンサそのものも実際には漏れコンダクタンスを伴うしリード線がインダクタンスを持つが、チップコンデンサならそうした要素は低減できる。なので挿入損失の少ない実用的な高周波フィルタができる。

フィルタ特性を有するか否かは映像伝達定数の減衰定数を調べればすぐにわかる。映像伝達定数は二端子対回路であれば4端子定数を使って共通に表され





ということになる。従って遮断周波数は通過域と減衰域の境界点の条件



を満たすリアクタンスX1をとる周波数ということになる。X1が誘導性リアクタンスの場合



ということになる。同様にX1が容量性リアクタンスの場合



ということになる。

著者の解と同じようにはなったが、途中で矛盾点に気づいた。

題意のX1,X2がリアクタンスだとすると、X1,X2は共に誘導性もしくは容量性のいずれかで正か負の実数をとるからX1X2は常に正の実数となる。しかし題意ではX1 X2=-R^2と負の実数をとるとしている。これが第一の矛盾点である。

しからば題意のX1,X2がインピーダンスだと解釈すると、X1,X2は共に誘導性もしくは容量性のいずれかで正もしくは負の純虚数となり、X1X2は常に負の実数となるのでX1X2=-R^2としても矛盾はない。しかしそうすると、今度は映像伝達定数が常に実数となってしまう第二の矛盾点を生じる。回路はフィルタ特性ではなく減衰器の特性を持つことになってしまい題意に即さない。

この問題は題意に矛盾点があり、その矛盾の故に数式上ではフィルタ特性が得られるというものである。

実際にキャパシタもしくはインダクタンスだけを用いて回路のような逆L字回路を構成すると、それはちょうど抵抗で逆L字回路を構成したのと同様にフィルタではなくアッテネータの特性を示すことになる。

変な問題で頭を悩ましてしまった。頭が変になるところだったよ（；´Д｀）

P.S

嘘だと思ったら著者の解の映像インピーダンスの式がX1＜Rの時にどんな値をとるか計算してみるとよい。映像インピーダンスが負の実数（負性抵抗）をとることを確認できるだろう。それはそうした映像インピーダンスを持つ二端子対回路が受動素子だけでは実現できないことを意味する。これが第三の矛盾点である。

すなわちこの問題の題意は

・２つの負性抵抗からなる逆L字回路はフィルタ特性を有する

ということを確認しその遮断周波数を求めよということだったというわけである。これはちょっとひねり過ぎていないだろうか？