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webadm	投稿日時: 2011-9-18 21:23
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089	続：誘導M形フィルタへの変換誘導M形フィルタに関する最後の問題。これまでは定K形低域フィルタを誘導M形フィルタに変換する問題だったが、今度は定K形高域フィルタを変換する問題。低域フィルタと高域フィルタの特性は、標準化された周波数を変数とする同一関数として現れるのは既にご承知の通り。標準化された周波数は低域フィルタと高域フィルタとで互いに逆数として定義される。すなわち低域フィルタと高域フィルタは数学的には互いに同形であり、一対一の写像関係を持つと言える。なんの話だったっけ。ああ、定K形高域フィルタの誘導M形変換ね。以下の定K形高域フィルタを考える直列誘導M形に変換する場合、Z1'=mZ1、Zi1=Zi1mを満たすZ2'を導けばよいので $\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&\frac{1}{s\,C}\\<br />Z_2&=&s\,L\\<br />Z_1\,Z_2&=&R^2=\left(\frac{1}{s\,C}\right)\,s\,L=\frac{L}{C}\\<br />Z_{1f}&=&\frac{Z_1}{2}+2\,Z_2=\frac{\frac{1}{s\,C}}{2}+2\,s\,L\\<br />&=&\frac{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}{2\,s\,C}\\<br />Z_{1s}&=&\frac{Z_1}{2}=\frac{\frac{1}{s\,C}}{2}\\<br />&=&\frac{1}{2\,s\,C}\\<br />Z_{i1}&=&\sqrt{Z_{1f}\,Z_{1s}}=\sqrt{\left(\frac{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}{2\,s\,C}\right)\frac{1}{2\,s\,C}}\\<br />&=&\frac{\sqrt{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}}{2\,s\,C}\\<br />Z_1^{\'}&=&m\,Z_1=\frac{m}{s\,C}\\<br />Z_{1fm}&=&\frac{Z_1^{\'}}{2}+2\,Z_2^{\'}=\frac{\frac{m}{s\,C}}{2}+2\,Z_2^{\'}\\<br />&=&\frac{m}{2\,s\,C}+2\,Z_2^{\'}\\<br />Z_{1sm}&=&\frac{Z_1^{\'}}{2}=\frac{\frac{m}{s\,C}}{2}\\<br />&=&\frac{m}{2\,s\,C}\\<br />Z_{i1m}&=&\sqrt{Z_{1fm}\,Z_{1sm}}=\sqrt{\left(\frac{m}{2\,s\,C}+2\,Z_2^{\'}\right)\frac{m}{2\,s\,C}}\\<br />&=&\frac{\sqrt{m\,\left( 4\,s\,Z_2^{\'}\,C+m\right) }}{2\,s\,C}\\<br />Z_{i1}&=&Z_{i1m}\\<br />\frac{\sqrt{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}}{2\,s\,C}&=&\frac{\sqrt{m\,\left( 4\,s\,Z_2^{\'}\,C+m\right) }}{2\,s\,C}\\<br />Z_2^{\'}&=&\frac{4\,{s}^{2}\,C\,L-{m}^{2}+1}{4\,m\,s\,C}\\<br />&=&\frac{\cancel{4}\,{s}\cancel{^{2}}\,\cancel{C}\,L}{\cancel{4}\,m\,\cancel{s\,C}}+\frac{1-m^2}{4\,m\,s\,C}\\<br />&=&\frac{{s}\,L}{m}+\frac{1-m^2}{4\,m\,s\,C}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを回路図に記すとということになる。並列誘導M形への変換はZ2'=Z2/m、Zi2=Zi2mとした場合のZ1'を求めればよいので $\begin{eqnarray}<br />Z_{2f}&=&2\,Z_2=2\,s\,L\\<br />Z_{2s}&=&\frac{1}{\frac{1}{2\,Z_2}+\frac{2}{Z_1}}=\frac{1}{\frac{1}{2\,s\,L}+\frac{2}{\frac{1}{s\,C}}}\\<br />&=&\frac{2\,s\,L}{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}\\<br />Z_{i2}&=&\sqrt{Z_{2f}\,Z_{2s}}=\sqrt{\left(2\,s\,L\right)\frac{2\,s\,L}{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}}\\<br />&=&\frac{2\,s\,L}{\sqrt{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}}\\<br />Z_2^{\'}&=&\frac{Z_2}{m}=\frac{s\,L}{m}\\<br />Z_{2fm}&=&2\,Z_2^{\'}=\frac{2\,s\,L}{m}\\<br />Z_{2sm}&=&\frac{1}{\frac{1}{2\,Z_2^{\'}}+\frac{2}{Z_1^{\'}}}=\frac{1}{\frac{1}{2\,s\,L}+\frac{2}{Z_1^{\'}}}\\<br />&=&\frac{2\,s\,Z_1^{\'}\,L}{4\,s\,L+Z_1^{\'}}\\<br />Z_{i2m}&=&\sqrt{Z_{2fm}\,Z_{2sm}}=\sqrt{\left(\frac{2\,s\,L}{m}\right)\frac{2\,s\,Z_1^{\'}\,L}{4\,s\,L+Z_1^{\'}}}\\<br />&=&2\,s\,L\,\sqrt{\frac{Z_1^{\'}}{m\,\left( 4\,s\,L+Z_1^{\'}\right) }}\\<br />Z_{i2}&=&Z_{i2m}\\<br />\frac{2\,s\,L}{\sqrt{4\,{s}^{2}\,C\,L+1}}&=&2\,s\,L\,\sqrt{\frac{Z_1^{\'}}{m\,\left( 4\,s\,L+Z_1^{\'}\right) }}\\<br />Z_1^{\'}&=&\frac{4\,m\,s\,L}{4\,{s}^{2}\,C\,L-m+1}\\<br />&=&\frac{1}{\frac{\cancel{4}\,{s}\cancel{^{2}}\,C\,\cancel{L}}{\cancel{4}\,m\,\cancel{s\,L}}+\frac{1-m^2}{4\,m\,s\,L}}\\<br />&=&\frac{1}{\frac{{s}\,C}{m}+\frac{1-m^2}{4\,m\,s\,L}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを回路に記すとということになる。

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