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webadm	投稿日時: 2012-8-26 3:21
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	時間のべき関数次の問題は時間tのべき関数のLaplace変換以下のLaplace変換を求めよ (1) $t$ (2) $t^2$ (3) $t^n$ というもの。またしてもへそ曲がりな方法でやってみよう。 tは1の積分関数であるからして、時間積分のLaplace変換の性質を用いれば $\begin{eqnarray}<br />\int_{0}^{t}1\,d\tau&=&t\\<br />\mathcal{L}\left[1\right]&=&\int_{0}^{\infty}1\,e^{-s\,t}dt=\left[-\frac{e^{-s\,t}}{s}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}<br />\mathcal{L}\left[t\right]&=&\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}1\,d\tau\right]=\frac{1}{s}\mathcal{L}\left[1\right]\\<br />&=&\frac{1}{s^2}<br />\end{eqnarray}$ また $t^2$ は時間微分すると $2\,t$ であることから線型性と時間積分のLaplace変換の性質により $\begin{eqnarray}<br />\frac{d}{dt}t^2&=&2\,t\\<br />\int_{0}^{t}2\,t\,d\tau&=&t^2\\<br />\mathcal{L}\left[t^2\right]&=&\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}2\,\int_{0}^{t}1\,d\tau\,d\tau\right]=\frac{2}{s^2}\mathcal{L}\left[1\right]\\<br />&=&\frac{2}{s^3}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これまでの結果から $t^n$ のLaplace変換は数学的帰納法によって $\begin{eqnarray}<br />\frac{d}{dt}t^n&=&n\,t^{n-1}\\<br />\int_{0}^{t}n\,t^{n-1}\,d\tau&=&t^n\\<br />\mathcal{L}\left[t^n\right]&=&\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}n\,t^{n-1}d\tau\right]=\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}n\int_{0}^{t}\left(n-1\right)\cdots\int_{0}^{t}2\,\int_{0}^{t}1\,d\tau\cdots d\tau\right]=\frac{n!}{s^{n}}\mathcal{L}\left[1\right]\\<br />&=&\frac{n!}{s^{n+1}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。なんだ簡単じゃないか( ´∀`) 著者は最後の式で1のLaplace変換が1/sであることを忘れて、n!/s^n+1を1のLaplace変換に乗じてしまっている。それは誤りである。上記のへそまがりな解法で明らかのようにn!/s^nでなければならない。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
» 時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
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まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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