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webadm	投稿日時: 2012-8-31 5:08
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	Laplace逆変換次はLaplace逆変換の問題次の関数のLaplace逆変換を求めよ。 $(1) 1/(s+3) (2) 1/s(s+a) (3) 1/(s+a)(s+b) (4) (3s+4)/(s+a)(s+b) (5) (3s+8)/(s^2+9) (6) 2/(s^2(s^2+a^2)) (7) 1/s^2(s+a) (8) 3/s(s^2+a^2)$ というもの。 (1)は1/sのLaplace逆変換と推移定理より $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]&=&1=U\left(t\right)\ \ \ \ \left(0\le t \le \infty\right)\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+3}\right]&=&e^{-3\,t}=U\left(t\right)\,e^{-3\,t}\ \ \ \ \left(0\le t \le \infty\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。U(t)は単位ステップ関数である。1とU(t)のLaplace変換は共に1/sなので区別がつかない曖昧性がある。Laplace変換自体が定義区間が[0,∞]で右半平面しかs平面に移さないからである。 (2)はF1(s)=1/s,F2(s)=1/(s+a)なる２つのs関数の積であるからたたみこみ積分の性質を使って $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]&=&1=U\left(t\right)\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]&=&e^{-a\,t}=U\left(t\right)\,e^{-a\,t}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\,\frac{1}{s+a}\right]&=&\int_{0}^{t}e^{-a\,\left(t-\tau\right)}d\tau=\left[\frac{e^{-a\,\left(t-\tau\right)}}{a}\right]_{0}^{t}=\frac{1}{a}-\frac{e^{-a\,t}}{a}\\<br />&=&\frac{1}{a}\left(1-e^{-a\,t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。どこかで見覚えのある式だ。 (3)も同様にたたみ込み積分の性質を使うと $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]&=&e^{-a\,t}=U\left(t\right)\,e^{-a\,t}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+b}\right]&=&e^{-b\,t}=U\left(t\right)\,e^{-b\,t}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s+a\right)}\frac{1}{\left(s+b\right)}\right]&=&\int_{0}^{t}e^{-a\,\tau}\,e^{-b\,\left(t-\tau\right)}d\tau=e^{-b\,t}\int_{0}^{t}\,e^{\left(b-a\right)\,\tau}d\tau=e^{-b\,t}\left[\frac{e^{\left(b-a\right)\,\tau}}{b-a}\right]_{0}^{t}=e^{-b\,t}\left[\frac{e^{\left(b-a\right)\,t}}{b-a}-\frac{1}{b-a}\right]\\<br />&=&\frac{e^{-a\,t}-e^{-b\,t}}{b-a}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 (4)は上の結果と導関数のLaplace変換の性質を使えば $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3\,s+4}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3\,s}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}+\frac{4}{\left(s+b\right)\left(s+b\right)}\right]=3\,\mathcal{L}^{-1}\left[s\,\frac{1}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}\right]+4\,\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}\right]\\<br />&=&3\,\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{-a\,t}-e^{-b\,t}}{b-a}\right)+\frac{4\left(e^{-a\,t}-e^{-b\,t}\right)}{b-a}=\frac{-3\,a\,e^{-a\,t}+3\,b\,e^{-b\,t}}{b-a}+\frac{4\,e^{-a\,t}-4\,e^{-b\,t}}{b-a}\\<br />&=&\frac{\left(3\,a-4\right)\,e^{-a\,t}-\left(3\,b-4\right)\,e^{-b\,t}}{a-b}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 (5)は三角関数のLaplace変換対の公式を使うと $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3\,s+8}{s^2+9}\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3\,s}{s^2+9}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{8}{s^2+9}\right]=3\,\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+9}\right]+\frac{8}{3}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3}{s^2+9}\right]\\<br />&=&3\,\cos\,3\,t+\frac{8}{3}\sin\,3\,t\\<br />&=&\sqrt{3^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2}\left(\sin\phi\,\cos\,3\,t+\cos\phi\,\sin\,3\,t\right)\\<br />&=&\frac{\sqrt{145}}{3}\sin\left(3\,t+\phi\right)\\<br />\sin\phi&=&\frac{9}{\sqrt{145}}\\<br />\cos\phi&=&\frac{8}{\sqrt{145}}\\<br />\tan\phi&=&\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{9}{8}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 (6)も畳み込み積分の性質を使えば $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2}{s^2\left(s^2+a^2\right)}\right]&=&\frac{2}{a}\,\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\frac{a}{\left(s^2+a^2\right)}\right]=\frac{2}{a}\,\int_{0}^{t}\tau\,\sin\left(a\,\left(t-\tau\right)\right)d\tau=\frac{2}{a}\left[\frac{\tau\,\cos\left(a\left(t-\tau\right)\right)}{a}\right]_{0}^{t}-\frac{2}{a^2}\int_{0}^{t}\cos\left(a\left(t-\tau\right)\right)d\tau\\<br />&=&\frac{2\,t}{a^2}-\frac{2}{a^2}\left[-\frac{\sin\left(a\left(t-\tau\right)\right)}{a}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&\frac{2\,t}{a^2}-\frac{2\,\sin\,a\,t}{a^3}\\<br />&=&\frac{2}{a^2}\left(t-\sin\,a\,t\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 (7)は(6)とちょっと似ているが時間推移した指数関数のLaplace変換との積の形をしている $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2\left(s+a\right)}\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\frac{1}{\left(s+a\right)}\right]=\int_{0}^{t}\tau\,e^{-a\,\left(t-\tau\right)}d\tau=\left[\frac{\tau\,e^{-a\,\left(t-\tau\right)}}{a}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{a}\int_{0}^{t}e^{-a\,\left(t-\tau\right)}d\tau\\<br />&=&\frac{t}{a}-\frac{1}{a}\left[\frac{e^{-a\,\left(t-\tau\right)}}{a}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&\frac{t}{a}-\frac{1}{a^2}+\frac{e^{-a\,t}}{a^2}\\<br />&=&\frac{1}{a^2}\left(a\,t-1+e^{-a\,t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。最後の(8)も畳み込み積分の性質で $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3}{s\left(s^2+a^2\right)}\right]&=&\frac{3}{a}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\frac{a}{\left(s^2+a^2\right)}\right]=\frac{3}{a}\int_{0}^{t}\sin\left(a\left(t-\tau\right)\right)d\tau=\frac{3}{a}\left[\frac{\cos\left(a\left(t-\tau\right)\right)}{a}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&\frac{3}{a}\left[\frac{1}{a}-\frac{\cos\,a\,t}{a}\right]\\<br />&=&\frac{3}{a^2}\left(1-\cos\,a\,t\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ぬるぽ( ´∀`) P.S 他にも"意図的に1を乗じる"というテクニックで別のs関数の積に書き直すことでたたみ込み積分の性質で簡単にLaplace逆変換することができる。なんでも馬鹿の一つ覚えで部分分数に分解すればいいというわけではない。この辺りがLaplace変換の面白さと判り易さかもしれない。とにかく複素積分を避ければなんとでもなりそうである。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
» Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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