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webadm	投稿日時: 2012-9-2 3:37
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続：微分方程式次も微分方程式の問題つぎの微分方程式を解け $(1) dy^2/dt^2+2dy/dt-8y=1 (y(0)=0,y'(0)=0) (2) dy^2/dt^2+3y=0 (y(0)=3, y'(0)=4) (3) dy^2/dt^2+2dy/dt+y=sin2t (y(0)=y'(0)=0)$ というもの。前問は一階線型常微分方程式だったが今度は二階線型常微分方程式である。手順は前問と変わらない (1)について $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[y\left(t\right)\right]&=&Y\left(s\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d}{dt}y\left(t\right)\right]&=&s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d^2}{dt}y\left(t\right)\right]&=&s\left(s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)\right)-y^{\'}\left(0\right)=s^2\,Y\left(s\right)-s\,y\left(0\right)-y^{\'}\left(0\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}-8\,y\right]&=&s^2\,Y\left(s\right)-s\,y\left(0\right)-y^{\'}\left(0\right)+2\left(s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)\right)-8\,Y\left(s\right)=\left(s^2+2\,s-8\right)Y\left(s\right)=\mathcal{L}\left[1\right]=\frac{1}{s}\\<br />Y\left(s\right)&=&\frac{1}{s\left(s^2+2\,s-8\right)}=\frac{1}{s\left(\left(s+1\right)^2-9\right)}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[Y\left(s\right)\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s\left(\left(s+1\right)^2-9\right)}\right]=\frac{1}{3}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\frac{3}{\left(\left(s+1\right)^2-9\right)}\right]=\frac{1}{3}\int_{0}^{t}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3}{\left(s+1\right)^2-9}\right]dt=\frac{1}{3}\int_{0}^{t}e^{-\tau}\sinh\,3\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{3}\left[\frac{e^{-\tau}\cosh\,3\,\tau}{3}\right]_{0}^{t}+\frac{1}{9}\int_{0}^{t}e^{-\tau}\cosh\,3\,\tau\,d\tau=\frac{1}{9}e^{-t}\cosh\,3\,t-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left[\frac{e^{-\tau}\sinh\,3\,\tau}{3}\right]_{0}^{t}+\frac{1}{27}\int_{0}^{t}e^{-\tau}\sinh\,3\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{9}e^{-t}\cosh\,3\,t-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}e^{-t}\sinh\,3\,t+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{9}e^{-t}\cosh\,3\,t-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}e^{-t}\sinh\,3\,t\right)\\<br />&=&\frac{1}{9}e^{-t}\cosh\,3\,t-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}e^{-t}\sinh\,3\,t+\frac{1}{72}e^{-t}\cosh\,3\,t-\frac{1}{72}+\frac{1}{216}e^{-t}\sinh\,3\,t\\<br />&=&\frac{1}{8}e^{-t}\cosh\,3\,t-\frac{1}{8}+\frac{1}{24}e^{-t}\sinh\,3\,t\\<br />&=&\frac{1}{8}\left(\left(\cosh\,3\,t+\frac{1}{3}\sinh\,3\,t\right)e^{-t}-1\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の解とは見た目異なるが、指数関数表現やLaplace変換してみれば同じであることを確かめることができる。部分分数展開を使わなくても良いのである。 (2)は初期条件が0ではないことに注意して $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[\frac{d^2y}{dt^2}+3\,y\right]&=&s^2\,Y\left(s\right)-s\,y\left(0\right)-y^{\'}\left(0\right)+3\,Y\left(s\right)=s^2\,Y\left(s\right)-3\,s-4+3\,Y\left(s\right)=\left(s^2+3\right)Y\left(s\right)-\left(3\,s+4\right)=\mathcal{L}\left[0\right]=0\\<br />Y\left(s\right)&=&\frac{3\,s+4}{s^2+3}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[Y\left(s\right)\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3\,s+4}{s^2+3}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3\,s}{s^2+3}+\frac{4}{s^2+3}\right]=3\,\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+3}\right]+4\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\frac{s}{\left(s^2+3\right)}\right]=3\,\cos\sqrt{3}\,t+4\,\int_{0}^{t}\cos\sqrt{3}\,\tau\,d\tau\\<br />&=&3\,\cos\sqrt{3}\,t+4\left[\frac{\sin\sqrt{3}\,\tau}{\sqrt{3}}\right]_{0}^{t}=3\,\cos\sqrt{3}\,t+\frac{4}{\sqrt{3}}\sin\sqrt{3}\,t=\sqrt{\frac{43}{3}}\left(\sin\phi\,\cos\sqrt{3}\,t+\cos\phi\,\sin\sqrt{3}\,t\right)\\<br />&=&\sqrt{\frac{43}{3}}\sin\left(\sqrt{3}\,t+\phi\right)\\<br />\sin\phi&=&\frac{3\,\sqrt{3}}{\sqrt{43}}\\<br />\cos\phi&=&\frac{4}{\sqrt{43}}\\<br />\tan\phi&=&\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{\sqrt{3}}{4}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。最後の(3)は非同次方程式でかつ右辺が三角関数である点に注意すれば $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}+y\right]&=&s^2\,Y\left(s\right)-s\,y\left(0\right)-y^{\'}\left(0\right)+2\,\left(s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)\right)+Y\left(s\right)=\left(s^2+2\,s+1\right)Y\left(s\right)=\mathcal{L}\left[\sin\,2\,t\right]=\frac{2}{s^2+4}\\<br />Y\left(s\right)&=&\frac{2}{\left(s^2+2\,s+1\right)\left(s^2+4\right)}=\frac{2}{\left(s+1\right)^2\left(s^2+4\right)}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[Y\left(s\right)\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2}{\left(s+1\right)^2\left(s^2+4\right)}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s+1\right)^2}\frac{2}{\left(s^2+4\right)}\right]=\int_{0}^{t}\left(t-\tau\right)\,e^{-\left(t-\tau\right)}\,\sin\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&t\,e^{-t}\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau-e^{-t}\int_{0}^{t}\tau\,e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&t\,e^{-t}\left(\cancel{\frac{1}{5}e^{t}\sin\,2\,t}+\frac{2}{5}-\cancel{\frac{2}{5}e^{t}\cos\,2\,t}\right)-e^{-t}\left(\cancel{\frac{1}{5}t\,e^{t}\sin\,2\,t}-\cancel{\frac{2}{5}t\,e^{t}\cos\,2\,t}+\frac{3}{25}e^{t}\sin\,2\,t-\frac{4}{25}+\frac{4}{25}e^{t}\cos\,2\,t\right)\\<br />&=&\frac{2}{5}t\,e^{-t}-\frac{3}{25}\sin\,2\,t+\frac{4}{25}e^{-t}-\frac{4}{25}\cos\,2\,t\\<br />&=&\frac{2}{5}\left(t+\frac{2}{5}\right)e^{-t}-\frac{1}{5}\left(\cos\phi\,\sin\,2\,t+\sin\phi\,\cos\,3\,t\right)\\<br />&=&\frac{1}{5}\left(2\left(t+\frac{2}{5}\right)e^{-t}-\sin\left(2\,t+\phi\right)\right)\\<br />\sin\phi&=&\frac{4}{5}\\<br />\cos\phi&=&\frac{3}{5}\\<br />\tan\phi&=&\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{4}{3}\\<br /><br />\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau&=&\left[-\frac{e^{\tau}\cos\,2\,\tau}{2}\right]_{0}^{t}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}e^{\tau}\cos\,2\,\tau\,d\tau=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{t}\cos\,2\,t+\frac{1}{2}\left[\frac{e^{\tau}\sin\,2\,\tau}{2}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{4}\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{4}e^{t}\sin\,2\,t+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{t}\cos\,2\,t-\frac{1}{4}\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{4}{5}\left(\frac{1}{4}e^{t}\sin\,2\,t+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{t}\cos\,2\,t\right)\\<br />&=&\frac{1}{5}e^{t}\sin\,2\,t+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}e^{t}\cos\,2\,t\\<br /><br />\int_{0}^{t}\tau\,e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau&=&\left[-\frac{\tau\,e^{\tau}\cos\,2\,\tau}{2}\right]_{0}^{t}+\frac{1}{2}\int_{0}\left(e^{\tau}+\tau\,e^{\tau}\right)\cos\,2\,\tau\,d\tau=-\frac{1}{2}t\,e^{t}\cos\,2\,t+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}e^{\tau}\cos\,2\,\tau\,d\tau+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\tau\,e^{\tau}\cos\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&-\frac{1}{2}t\,e^{t}\cos\,2\,t+\frac{1}{2}\left[\frac{e^{\tau}\sin\,2\,\tau}{2}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{4}\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau+\frac{1}{2}\left[\frac{\tau\,e^{\tau}\sin\,2\,\tau}{2}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{4}\int_{0}\left(e^{\tau}+\tau\,e^{\tau}\right)\sin\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&-\frac{1}{2}t\,e^{t}\cos\,2\,t+\frac{1}{4}e^{t}\sin\,2\,t-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}e^{t}\sin\,2\,t+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}e^{t}\cos\,2\,t\right)+\frac{1}{4}t\,e^{t}\sin\,2\,t-\frac{1}{4}\int_{0}\tau\,e^{\tau}\sin\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{4}{5}\left(\frac{1}{4}t\,e^{t}\sin\,2\,t-\frac{1}{2}t\,e^{t}\cos\,2\,t+\frac{3}{20}e^{t}\sin\,2\,t-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}e^{t}\cos\,2\,t\right)\\<br />&=&\frac{1}{5}t\,e^{t}\sin\,2\,t-\frac{2}{5}t\,e^{t}\cos\,2\,t+\frac{3}{25}e^{t}\sin\,2\,t-\frac{4}{25}+\frac{4}{25}e^{t}\cos\,2\,t<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の解とは見た目異なるが、sinφとcosφの定義が逆になっているだけで度値である。 Laplace変換はヒューリスティックなテクニックを必要とする初等的な微分方程式の解法によらず、常に誰でも一定の手順でプログラム的に解が得られる点でHeavisideの演算子法と良く似ている。部分分数に展開する方法だとHeavisideの演算子法と変わらないので、そうでない方法をとってみた。これも実はHeavisideの演算子法をDuhamel積分に帰着させるやり方と同じである。 P.S 時間領域での有界な関数（物理現象）が存在すると、時間とは無関係に不変的に存在する別の空間にそれとまったく同形な複素関数が存在するということは興味深い事実である。我々が目にしている物理現象は、どっかまったく違う空間によって予め定められているということかもしれない。良く考えると、単に同形だから、片方が存在しなければもう片方も存在しないだけなんだけどね。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
» 続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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