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webadm	投稿日時: 2012-9-4 5:54
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089	断続部のある回路次は難しいそうな断続部のある回路過渡現象の演習問題ではまったよね静止状態にある図のような回路において、t=0でスイッチS1を閉じ、t=TでスイッチS2を閉じると同時にS1を開くとき、キャパシタンスCに流れる電流iはどうなるか。というもの。これは以下の様にRC直列回路にパルス状の電圧が加わったのと同じである。もしくはEU(t)というステップ電源と-EU(t-T)という反転ステップ電源の重ね合わせと同じである。最初に時間領域で回路方程式をたてると $\begin{eqnarray}<br />R\,i\left(t\right)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i\left(\tau\right)d\tau&=&E\left(U\left(t\right)-U\left(t-T\right)\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを複素周波数領域の回路方程式に変換するためには両辺をLaplace変換すればよい、どちらもLaplace変換の変換対表や性質から複素周波数領域の電流I(s)は $\begin{eqnarray}<br />\left(R+\frac{1}{C\,s}\right)I\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}i^{-1}\left(0\right)&=&\frac{E}{s}\left(1-e^{-T\,s}\right)\\<br />I\left(s\right)&=&\frac{E\left(1-e^{-T\,s}\right)-\frac{1}{C}i^{-1}\left(0\right)}{s\left(R+\frac{1}{C\,s}\right)}=\frac{E\left(1-e^{-T\,s}\right)-i^{-1}\left(0\right)}{R\left(s+\frac{1}{R\,C}\right)}\\<br />&=&\frac{E}{R}\left(\frac{1}{s+\frac{1}{R\,C}}-\frac{1}{s+\frac{1}{R\,C}}e^{-T\,s}\right)\ \ \ \ \left(i^{-1}\left(0\right)=0\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。あとはこれを時間領域に戻すだけであるが変換対と推移定理を使えば簡単 $\begin{eqnarray}<br />\math{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]&=&e^{-a\,t}\\<br />\math{L}^{-1}\left[F\left(s\right)\,e^{-a\,s}\right]&=&f\left(t-a\right)U\left(t-a\right)\\<br />i\left(t\right)&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E}{R}\left(\frac{1}{s+\frac{1}{R\,C}}-\frac{1}{s+\frac{1}{R\,C}}e^{-T\,s}\right)\right]=\frac{E}{R}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+\frac{1}{R\,C}}-\frac{1}{s+\frac{1}{R\,C}}e^{-T\,s}\right]\\<br />&=&\frac{E}{R}\left(e^{-\frac{1}{R\,C}\,t}-e^{-\frac{1}{R\,C}\,\left(t-T\right)}\,U\left(t-T\right)\right)\\<br />&=&\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{R\,C}\,t}\left(1-e^{\frac{1}{R\,C}\.T}\,U\left(t-T\right)\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。基本は時定数RCで決まる指数関数的に電流の絶対値は減少していく。t=Tを境に電流が逆向きに変わるのがわかる。ひとつの式で表すと狐につままれた気分がするが、以下の様に表せば親切である $\begin{eqnarray}<br />i\left(t\right)&=&\begin{case}<br />\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{R\,C}\,t}\ \ \ \ \left(0\le t\lt T\right)\\<br />\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{R\,C}\,t}\left(1-e^{\frac{1}{R\,C}\,T}\right)\ \ \ \ \left(t\ge T\right)<br />\end{case}<br />\end{eqnarray}$ ２つの式は定義域が重なっていないことに注意。t=Tは不連続点である。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
» 断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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