次はRLC直並列回路

図のような回路のスイッチをt=0で閉じるとき、インダクタンスL、抵抗Rを流れる電流を求めよ。ただし、キャパシタンスCには初期電荷はないものとする。



というもの。

以下の関係が成り立つ



２つの式をそれぞれLaplace変換すると



これを行列とベクトルを使って書き直すと



ということになる。これをIについて解くと



ということになる。Laplace逆変換の見通しが良くなるように、「意図的に1を乗じる」テクニックを使って式を書き換えている。

あとはこれをLaplace逆変換すればよく





ということになる。これは不足減衰の場合である。

同様に過減衰の場合



ということになる。

最後に臨界減衰の場合



ということになる。

最後の臨界減衰については、極限操作以外の方法を試してみたがうまくいかなかった。それは読者の課題としよう( ´∀`)

P.S

著者の解では最終的にどうLaplace逆変換結果を得たのかは省略している。おそらくは、分母の式はそのまま、分子の式だけを(s+a)とaに分けて２つの有理式として変換対と推移定理を使ったのだと思われる。

なので基本的にs領域での連立方程式を解いて、あとは個別にLaplace逆変換という流れでは著者の解と同じであり別解とは言えないかもしれないが、行列とベクトルを使ってすっきり見通しよくしたという点が異なる。時間領域での連立微分方程式はs領域ではただの連立一次方程式になるので、s領域で解いてそれをLaplace逆変換した方が遠回りに見えて近道というわけである。無論Heavisideの演算子法の方がもっと近道ではある。

Laplace変換を使って問題を解くと、プログラム的なので誰がやっても大まかな流れは同じということになるのは致し方がない。

P.S

著者はsin(xt)/xに関するx→0の極限値を導く式を示しているがそこには間違いがあることを注意しておく。

正しくはl'Hospitalの定理を用いて



あるいは



である。