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webadm	投稿日時: 2012-9-9 16:31
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089	続：LC直列回路次はちょっと変わったLC直列回路。LC並列回路かもしれない。図の回路において、インダクタンスL1,L2には電流は流れていないものとする。いまt=0でスイッチを閉じたときL1,L2にはいくらの電流がながれるか。ただし、キャパシタンスCの初期電荷をQとする。というもの。以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />L_1\frac{d{i_1}}{dt}+\frac{1}{C}\int\,\left(i_1+i_2\right)dt&=&0\\<br />L_2\frac{d{i_2}}{dt}+\frac{1}{C}\int\,\left(i_1+i_2\right)dt&=&0<br />\end{eqnarray}$ 両辺をそれぞれLaplace変換すると $\begin{eqnarray}<br />L_1\left(s\,I_1\left(s\right)-i_1\left(0\right)\right)+\frac{1}{C}\left(\frac{1}{s}I_1\left(s\right)+\frac{1}{s}i_{1}^{-1}\left(0\right)+\frac{1}{s}I_2\left(s\right)+\frac{1}{s}i_2^{-1}\left(0\right)\right)&=&s\,L_1\,I_1\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}I_1\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}I_2\left(s\right)-L_1\,i_1\left(0\right)+\frac{1}{C\,s}i_1^{-1}\left(0\right)+\frac{1}{C\,s}i_2^{-1}\left(0\right)=0\\<br />L_2\left(s\,I_2\left(s\right)-i_1\left(0\right)\right)+\frac{1}{C}\left(\frac{1}{s}I_1\left(s\right)+\frac{1}{s}i_{1}^{-1}\left(0\right)+\frac{1}{s}I_2\left(s\right)+\frac{1}{s}i_2^{-1}\left(0\right)\right)&=&s\,L_2\,I_2\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}I_1\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}I_2\left(s\right)-L_2\,i_2\left(0\right)+\frac{1}{C\,s}i_1^{-1}\left(0\right)+\frac{1}{C\,s}i_2^{-1}\left(0\right)=0\\<br />\left(s\,L_1+\frac{1}{C\,s}\right)I_1\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}I_2\left(s\right)&=&L_1\,i_1\left(0\right)-\frac{1}{C\,s}\left(i_1^{-1}\left(0\right)+i_2^{-1}\left(0\right)\right)=\frac{1}{C\,s}Q\ \ \ \ \left(i_1\left(0)=0,\ i_1^{-1}\left(0\right)+i_2^{-1}\left(0\right)=-Q\right)\\<br />\left(s\,L_2+\frac{1}{C\,s}\right)I_2\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}I_1\left(s\right)&=&L_2\,i_2\left(0\right)-\frac{1}{C\,s}\left(i_1^{-1}\left(0\right)+i_2^{-1}\left(s\right)\right)=\frac{1}{C\,s}Q\ \ \ \ \left(i_1\left(0)=0,\ i_2^{-1}\left(0\right)+i_2^{-1}\left(0\right)=-Q\right)<br />\end{eqnarray}$ これを行列とベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf I}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}s\,L_1+\frac{1}{C\,s}&\frac{1}{C\,s}\cr \frac{1}{C\,s}&s\,L_2+\frac{1}{C\,s}\end{bmatrix}\\<br />{\bf I}&=&\begin{bmatrix}I_1\left(0\right)\cr I_2\left(s\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}\frac{1}{C\,s}Q\cr \frac{1}{C\,s}Q\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ これをIについて解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf I}&=&{\bf F^{-1}}{\bf F}{\bf I}={\bf F^{-1}}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}s\,L_1+\frac{1}{C\,s}&\frac{1}{C\,s}\cr \frac{1}{C\,s}&s\,L_2+\frac{1}{C\,s}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\frac{1}{C\,s}Q\cr \frac{1}{C\,s}Q\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{\cancel{{L}_{2}}\,Q}{{L}_{1}\,\cancel{{L}_{2}}\,C\left({s}^{2}+\frac{{L}_{2}+{L}_{1}}{L_1\,L_2\,C}\right)}\cr \frac{\cancel{{L}_{1}}\,Q}{\cancel{{L}_{1}}\,{L}_{2}\,C\,\left({s}^{2}+\frac{{L}_{2}+{L}_{1}}{{L}_{1}\,{L}_{2}\,C}\right)}\end{bmatrix}=\frac{Q}{C}\,\sqrt{\frac{L_1\,L_2\,C}{L_2+L_1}}\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}}{L_1\,\left(s^2+\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}\right)}\cr \frac{\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}}{L_2\,\left(s^2+\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}\right)}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これをそれぞれLaplace逆変換すると $\begin{eqnarray}<br />{\bf i}&=&\begin{bmatrix}i_1\left(t\right)\cr i_2\left(t\right)\end{bmatrix}=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{Q}{C}\,\sqrt{\frac{L_1\,L_2\,C}{L_2+L_1}}\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}}{L_1\,\left(s^2+\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}\right)}\cr \frac{\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}}{L_2\,\left(s^2+\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}\right)}\end{bmatrix}\right]=\frac{Q}{C}\,\sqrt{\frac{L_1\,L_2\,C}{L_2+L_1}}\begin{bmatrix}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}}{L_1\,\left(s^2+\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}\right)}\right]\cr \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}}{L_2\,\left(s^2+\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}\right)}\right]\end{bmatrix}=\frac{Q}{C}\,\sqrt{\frac{L_1\,L_2\,C}{L_2+L_1}}\begin{bmatrix}\frac{1}{L_1}\,\sin\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}\,t\cr \frac{1}{L_2}\sin\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}\,t\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}Q\sqrt{\frac{L_2}{\left(L_2+L_1\right)L_1\,C}}\sin\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}\,t\cr Q\sqrt{\frac{L_1}{\left(L_2+L_1\right)L_2\,C}}\sin\sqrt{\frac{L_2+L_1}{L_1\,L_2\,C}}\,t\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 Cの初期電荷が-Qと充電時とは逆極性（電流の向きが逆方向）になる点に注意。さらに別解として、下の図の様にCの初期電荷として直列にQ/Cを電圧として持つ電源を回路に挿入、C自体からは初期電荷を取り去った回路で立式する方法がある。それは読者の課題としよう( ´∀`) P.S Heavisideの演算子法では立式時点で不変量として初期電荷が右辺に現れる必要があったが、Laplace変換では積分関数のLaplace変換時に積分定数が現れるのでそれに初期条件を与えれば良いので楽である。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
» 続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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