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webadm	投稿日時: 2012-9-9 23:33
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	RC並列回路次はRC並列回路に関する問題静止状態にある図の回路において、t=0でスイッチを閉じて直流電圧Eを加えたときキャパシタンスC1,C2の両端の電圧および流れる全電流iを求めよ。というもの。以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />e_1+e_2&=&E\\<br />i-G_1\,e_1-C_1\,\frac{d{e_1}}{dt}&=&0\\<br />i-G_2\,e_2-C_2\,\frac{d{e_2}}{dt}&=&0<br />\end{eqnarray}$ これをLaplace変換すると $\begin{eqnarray}<br />E_1\left(s\right)+E_2\left(s\right)&=&\frac{E}{s}\\<br />I\left(s\right)-G_1\,E_1\left(s\right)-C_1\left(s\,E_1\left(s\right)-e_1\left(0\right)\right)&=&I\left(s\right)-\left(G_1+s\,C_1\right)E_1\left(s\right)+C_1\,e_1\left(0\right)=0\\<br />I\left(s\right)-G_2\,E_2\left(s\right)-C_2\left(s\,E_2\left(s\right)-e_2\left(0\right)\right)&=&I\left(s\right)-\left(G_2+s\,C_2\right)E_2\left(s\right)+C_2\,e_2\left(0\right)=0<br />\end{eqnarray}$ これを行列とベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf V}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}1&1&0\cr -\left(G_1+s\,C_1\right)& 0&1\cr 0&-\left(G_2+s\,C_2\right)&1\end{bmatrix}\\<br />{\bf V}&=&\begin{bmatrix}E_1\left(s\right)\cr E_2\left(s\right)\cr I\left(s\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}\frac{E}{s}\cr -C_1\,e_1\left(0\right)\cr -C_2\,e_2\left(0\right)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{E}{s}\cr 0\cr 0\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(e_1\left(0\right)=e_2\left(0\right)=0\right)<br />\end{eqnarray}$ これをVについて解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf V}&=&{\bf F^{-1}}{\bf F}{\bf V}={\bf F^{-1}}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}1&1&0\cr -\left(G_1+s\,C_1\right)& 0&1\cr 0&-\left(G_2+s\,C_2\right)&1\end{bmatrix}\\<br />{\bf V}&=&\begin{bmatrix}E_1\left(s\right)\cr E_2\left(s\right)\cr I\left(s\right)\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\frac{E}{s}\cr 0\cr 0\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{C_2\,\left( s+\frac{{G}_{2}}{C_2}\right) \,E}{s\,\left(C_1+C_2\right)\left( s+\frac{{G}_{2}+{G}_{1}}{C_1+C_2}\right) }\cr \frac{C_1\,\left( s+\frac{{G}_{1}}{C_1}\right) \,E}{s\,\left(C_1+C_2\right)\left(s+\frac{{G}_{2}+{G}_{1}}{C_1+C_2}\right) }\cr \frac{C_1\,C_2\,\left( s+\frac{{G}_{1}}{C_1}\right) \,\left(s+\frac{{G}_{2}}{C_2}\right) \,E}{s\,\left(C_1+C_2\right)\left( s+\frac{{G}_{2}+{G}_{1}}{C_1+C_2}\right) }\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これをLaplace逆変換するとということになる。著者の解とはi(t)の一部が異なっている。これはC1とC2が初期電荷無しで電源に直列に接続されているため、t=0でe1(0)=e2(0)=0で短絡状態となるため無限大の電流が流れようとするためである。それに初期条件としてe1(0)=e2(0)=0としたはずなのに蓋を開けてみればe1(0)+e2(0)=Eと矛盾した結果になっている。著者はこの矛盾に気づいていないか、知っていても華麗にスルーしていると思われる。この矛盾を解消するのは読者の課題としよう( ´∀`)

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
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指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
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RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
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RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
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相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
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