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webadm	投稿日時: 2012-9-15 6:15
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	まだまだ：RL直列回路あと残すところ２問、もうすぐだ。次もRL直列回路だが入力が階段関数になっている。 RL直列回路に図のようなパルス波電圧を加えたとき流れる電流を求めよ。というもの。これは１９世紀に登場した電信網で電信信号を入力する際の受信端の電流挙動を解析したHeavisideにちなんだ問題である。Heavisideは集中定数回路ではなく今でいう分布定数回路で最初から考えたわけだから偉い。今の人はまず集中定数回路を教わってから最後に分布定数回路を教わるが、歴史的な発生順序はそれとまったく逆である。だからといって歴史的順序で学ぶのが良いと言いたいわけではないが、昔の人の苦労は想像を絶するものがあるということである。入力波形は単位ステップ関数(Heaviside関数）で表すことができる時間領域でまず考えると $\begin{eqnarray}<br />R\,i+L\frac{d{i}}{dt}&=&E\,U\left(t\right)+E\,U\left(t-T\right)-2\,E\,U\left(t-2\,T\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを推移定理と変換対をうまく使ってLaplace変換すると $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[i\left(t\right)\right]&=&I\left(s\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d{i\left(t\right)}}{dt}\right]&=&s\,I\left(s\right)-i\left(0\right)\\<br />\mathcal{L}\left[U\left(t\right)\right]&=&\frac{1}{s}\\<br />\mathcal{L}\left[U\left(t-a\right)\right]&=&\frac{1}{s}e^{-a\,s}\\<br />R\,I\left(s\right)+L\left(s\,I\left(s\right)-i\left(0\right)\right)&=&E\frac{1}{s}+E\,\frac{1}{s}e^{-T\,s}-2\,E\,\frac{1}{s}e^{-2\,T\,s}\\<br />I\left(s\right)&=&\frac{E+E\left(e^{-T\,s}-2\,e^{-2\,T\,s}\right)}{s\left(R+s\,L\right)}=\frac{E\left(1+\left(e^{-T\,s}-2\,e^{-2\,T\,s}\right)\right)}{s\,L\,\left(s+\frac{R}{L}\,t\right)}<br />\end{eqnarray}$ あとはこれをLaplace逆変換するだけ $\begin{eqnarray}<br />i\left(t\right)&=&\mathcal{L}^{-1}\left[I\left(s\right)\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\left(1+e^{-T\,s}-2\,e^{-T\,s}\right)}{s\,L\,\left(s+\frac{R}{L}\,t\right)}\right]\\<br />&=&\frac{E}{L}\,\int_{0}^{t}\left(1+\left(U\left(\tau-T\right)-2\,U\left(\tau-2\,T\right)\right)\right)\,e^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}d\tau=\frac{E}{L}e^{-\frac{R}{L}\,t}\int_{0}^{t}\left(1+\left(U\left(\tau-T\right)-2\,U\left(\tau-2\,T\right)\right)\right)e^{\frac{R}{L}\,\tau}d\tau=\frac{E}{L}e^{-\frac{R}{L}\,t}\left(\int_{0}^{t}e^{\frac{R}{L}\,\tau}d\tau+\int_{0}^{t}U\left(\tau-T\right)e^{\frac{R}{L}\,\tau}d\tau-2\,\int_{0}^{t}U\left(\tau-2\,T\right)e^{\frac{R}{L}\,\tau}d\tau\right)\\<br />&=&\frac{E}{L}e^{-\frac{R}{L}\,t}\left(\left[\frac{L\,e^{\frac{R}{L}\,\tau}}{R}\right]_{0}^{t}+\frac{L}{R}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}-e^{\frac{R}{L}\,T}\right)U\left(t-T\right)-\frac{L}{R}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}-e^{\frac{R}{L}\,n\,T}\right)U\left(t-n\,T\right)\right)=\frac{E}{L}e^{-\frac{R}{L}\,t}\left(\frac{L}{R}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}-1\right)+\frac{L}{R}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}-e^{\frac{R}{L}\,T}\right)U\left(t-T\right)-\frac{2\,L}{E}\left(e^{\frac{R}{L}\,t-e^{\frac{R}{L}\,2\,T}}\right)U\left(t-2\,T\right)\right)\\<br />&=&\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}\,t}\right)+\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}\right)U\left(t-T\right)-\frac{2\,E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}\left(t-2\,T\right)}\right)\,U\left(t-2\,T\right)<br />&=&\begin{case}<br />\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}\,t}\right)\ \ \ \ \left(0\le t\le T\right)\\<br />\frac{E}{R}\left(2-e^{-\frac{R}{L}\,t}-2\,e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}\right)\ \ \ \ \left(T\le t \le 2\,T\right)\\<br />\frac{E}{R}\left(-e^{-\frac{R}{L}\,t}-2\,e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}+2e^{-\frac{R}{L}\,\left(t-2\,T\right)}\right)\ \ \ \ \left(2\,T\le t\right)<br />\end{case}<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />\int_{0}^{t}U\left(\tau-n\,T\right)e^{\frac{R}{L}\,\tau}d\tau&=&U\left(t-n\,T\right)\,\int_{T}^{t}e^{\frac{R}{L}\,\tau}d\tau=U\left(t-n\,T\right)\left[\frac{L\,U\left(\tau-n\,T\right)\,e^{\frac{R}{L}\,\tau}}{R}\right]_{T}^{t}\\<br />&=&\frac{L}{R}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}-e^{\frac{R}{L}\,n\,T}\right)U\left(t-n\,T\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 i(t)は区間[0,∞]で連続で解析接続される。著者の解ではt=Tそれにt=2Tで区間がオーバーラップしていないが、実際にはオーバーラップするのである。著者は異なる時間シフトした３つのステップ電圧電源(EU(t),EU(t-T),-2EU(t-2T))毎それぞれの電流i1(t),i2(t),i3(t)の重ね合わせで解を得ている。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
» まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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