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webadm	投稿日時: 2013-5-19 4:19
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089	無限長無損失線路これまでの問題は初期値問題だったが、今度は境界値問題無限長無損失線路の送電端にes(t)=Em e^-bt cosωtを加えるとき、任意の点xの電圧、電流はどうなるか。というもの。これも理論のときに直流電圧を加えた場合を解いてしまったが、今回は交流電圧を加えた場合となる。無損失線路(R=G=0)の基礎方程式をHeavisideの演算子とベクトルで表すと $\begin{eqnarray}<br />\frac{\partial}{\partial x}&=&p,\ \ \ \ \frac{\partial}{\partial t}=q\\<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}e\left(x,t\right)\cr i\left(x,t\right)\end{bmatrix}\\<br />\begin{bmatrix}p&L\,q\cr C\,q&p\end{bmatrix}{\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って特性方程式は $\begin{eqnarray}<br />\left\|\begin{array}p&L\,q\cr C\,q&p\end{array}\right\|&=&p^2-L\,C\,q^2=0<br />\left(p^2-L\,C\,q^2\right){\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを距離で二重積分しベクトルポテンシャルを出現させると $\begin{eqnarray}<br />\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}\left(p^2-L\,C\,q^2\right){\bf U}+{\bf K_0}\right)+{\bf K_1}&=&0<br />\end{eqnarray}$ これをUに関して解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&-\frac{{\bf K_1}p^2+{\bf K_0}p}{p^2-q^2\,L\,C}=-{\bf K_1}\left(\frac{p^2}{p^2-q^2\,L\,C}\right)-\frac{{\bf K_0}}{q\,\sqrt{L\,C}}\left(\frac{p\,q\,\sqrt{L\,C}}{p^2-q^2\,L\,C}\right)\\<br />&=&-{\bf K_1}\cosh\,x\,q\,\sqrt{L\,C}-\frac{{\bf K_0}}{q\,\sqrt{L\,C}}\sinh\,x\,q\,\sqrt{L\,C}<br />\end{eqnarray}$ また距離に関して解いただけの途中だが、この段階で距離に関して以下の境界条件を与えることができる。 $\begin{eqnarray}<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=0}&=&\begin{bmatrix}E_m\,e^{-b\,t}\,\cos\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}E_m\,e^{-b\,t}\,\cos\omega\,t\end{bmatrix}\\<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=x_0}&=&\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ここでx0を送電端から十分遠い位置とする。これを先の途中解に適用するとベクトルポテンシャルに関する連立方程式が得られる $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_m\,e^{-b\,t}\,\cos\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}E_m\,e^{-b\,t}\,\cos\omega\,t\end{bmatrix}&=&-{\bf K_1}<br />\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}&=&-{\bf K_1}\cosh\,x_0\,q\,\sqrt{L\,C}-\frac{{\bf K_0}}{q\,\sqrt{L\,C}}\sinh\,x_0\,q\,\sqrt{L\,C}<br />\end{eqnarray}$ 第一式を第二式に代入してK0を解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf K_1}&=&\begin{bmatrix}-E_m\,e^{-b\,t}\,\cos\omega\,t\cr -\frac{1}{Z_0}E_m\,e^{-b\,t}\,\cos\omega\,t\end{bmatrix}\\<br />{\bf K_0}&=&\begin{bmatrix}q\,\sqrt{L\,C}\coth\left(x_0\,q\,\sqrt{L\,C}\right)E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t\cr \frac{q\,\sqrt{L\,C}\coth\left(x_0\,q\,\sqrt{L\,C}\right)E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t}{Z_0}\frac{}{}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ここでx0→∞とするとK0は $\begin{eqnarray}<br />{\bf K_0}&=&\begin{bmatrix}q\,\sqrt{L\,C}E_m\,e^{-b\,t}^cos\omega\,t\cr \frac{q\,\sqrt{L\,C}E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t}{Z_0}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これらベクトルポテンシャルを途中解に代入して完全に解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}\cosh\left(x\,q\,\sqrt{L\,C}\right)E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t-\sinh\left(x\,q\,\sqrt{L\,C}\right)E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}\left(\cosh\left(x\,q\,\sqrt{L\,C}\right)E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t-\sinh\left(x\,q\,\sqrt{L\,C}\right)E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}e^{-x\,q\,\sqrt{L\,C}}E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}e^{-x\,q\,\sqrt{L\,C}}E_m\,e^{-b\,t}\cos\omega\,t\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{case}<br />\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t-x\sqrt{L\,C}\lt 0\right)\\<br />\begin{bmatrix}E_m\,e^{-b\,\left(t-x\,sqrt{L\,C}\right)}\cos\omega\left(t-x\,\sqrt{L\,C}\right)\cr \frac{1}{Z_0}E_m\,e^{-b\left(t-x\sqrt{L\,C}\right)}\cos\omega\left(t-x\,\sqrt{L\,C}\right)\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t-x\sqrt{L\,C}\ge 0\right)<br />\end{case}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者は信号がまだ伝わっていない空間での解を書いていないが、著者の解は既に信号が伝わった以降の解である点を注意しておく。 Z0は無損失線路の特性インピーダンスで $\begin{eqnarray}<br />Z_0&=&\sqrt{\frac{L}{C}}<br />\end{eqnarray}$ である。 P.S 最後に残った時間推移演算子は時間に関する項に全て作用することに注意しなければならない。なので本来はベクトルポテンシャルK0,K1は最初の段階で演算子関数の右側に現れなければならない。順序交換すると誤った結果を導くことになる。Maximaを使うとそんなことは気にもとめてくれないので、勝手に演算順序を交換してしまうので注意。時間推移演算子が最後に残ったが、それについては共立の「数学公式」のHeavisideの演算子の章には何故か見あたらない。幸いにして手元にあるCourant & Hilbertの"Methods of Mathematical Physics"のheavisideの演算子法の解説の中に書いてある。p524に引用： 5) A very important operator which is not rational, the exponential operator, is introduces for constant h by the definition $\begin{eqnarray}<br />\left(14\right)\ \ \ \ e^{-h\,p}f\left(t\right)&=&f\left(t-h\right)<br />\end{eqnarray}$ 理論のところでこれが出てきた時に安易に"Taylorの定理により"と書いた憶えがあるが、それはHeaviside流のこじつけであって、Taylorの定理そのものは解析関数の近似級数展開で級数展開そのものが関数と同値であることを意味しているわけではない。 Courant & Hilbert本には先ほどの引用した直後に以下のように補足されている。引用： which is suggested by the Taylor series for $exp(-hp)$ and f(t-h). However, this plausibility consideration cannot provide a satisfactory justification, because the definition should not depend on the analytic character of the function f(t). Our definition is justified rather by the fact that it implies the relations $exp(-hp)exp(-kp)f(t)=exp(-(h+k)p)f(t)$ and $(d/dh)exp(-hp)f(t)=-pexp(-hp)f(t)$ the latter is equivalent to the equation $(d/dh)f(t-h)=-(d/dt)f(t-h).$

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の過渡現象演習問題	webadm	2013-5-11 21:03
波動方程式	webadm	2013-5-12 20:14
無歪み線路	webadm	2013-5-18 21:57
» 無限長無損失線路	webadm	2013-5-19 4:19
無限長無歪み線路	webadm	2013-5-19 23:57
無限長RC線路	webadm	2013-5-20 6:55
損失のある無限長線路	webadm	2013-5-20 9:24
続：無損失線路	webadm	2013-5-21 7:38
続：無歪み線路	webadm	2013-5-24 15:12
続々：無損失線路	webadm	2013-6-8 20:35
もうひとつの：無損失線路	webadm	2013-6-9 22:09
続々：無歪み線路	webadm	2013-6-24 0:22
もうひとつの：無歪み線路	webadm	2013-7-15 8:42
続：RC線路	webadm	2013-7-15 17:17
続々：RC線路	webadm	2013-9-5 9:46
またまた：無損失線路	webadm	2013-9-8 21:11
まだまだ：無損失線路	webadm	2013-11-9 23:54
無損失線路は続くよ	webadm	2013-11-13 0:27
どこまでも無損失線路	webadm	2013-11-14 23:27
装荷回路	webadm	2013-11-17 12:57
ダンピング回路	webadm	2013-11-18 1:50
ブロッキングキャパシタ	webadm	2013-11-18 2:27

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