次は空間中に複数の点電荷が離散的に置かれている場合の問題

q1,q2,...,qn[C]のn個の点電荷がそれぞれ点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),...,Pn(xn,yn,zn)にあるとき、(1)点P(x,y,z)での電界と、(2)P点に電荷q[C]をおいたときに作用する力とを求めよ。



というもの。

これはかなり数理的な問題で、直感的に答えが導けるものではない。

１個以上の点電荷が空間に離散的に存在する場合には、それぞれの点電荷が空間中に作り出す電界は幸いにして線型的に重なる。

問題は点Pにおける各点電荷が作る電界を導くには点Pと各点電荷との距離を知らなければならない。

点Pと点P1,P2,...,Pnとの間の距離をr1,r2,..,rnと定義すると



ということになる。

r1,r2,...,rnの距離における各点電荷が作り出す電位ポテンシャルは



従って点Pに置けるq1,q2,...,qnが作り出す電位ポテンシャルはその重ね合わせで



ということになる。

従って点Pにおける電界は



となり各点電荷が作り出す電界の重ね合わせということがわかる。

各点電荷が点Pに関して作り出す電界は



従って点Pに関して点電荷q1,q2,...,qnが作り出す電界とその成分は



ということになる。

これが(1)に関する解答。

上記の電界点に電荷量qの点電荷を置いた場合に働く力とその成分は



ということになる。

ある座標での電界Eが既知であれば、そこに点電荷qを置いた時に受ける力はqEで与えられることを憶えていれば簡単である。それを思い出させる問題でもある。

電界は電位勾配なので、大きさが０でない電位勾配がある点に電荷量が０でない点電荷を置けば勾配と電荷量に比例した（双線型）力が発生し勾配を登り下りさせようとすると解釈することもできる。双線型なので、力を電荷量で微分すれば電界が得られる。電界が存在しない点にどんな電荷量の点電荷を置いてもCoulomb力は生じないし、逆も真なり。

もちろんCoulombの法則を使って各点電荷q1,q2,...,qnとqとの間のCoulomb力を総和するということでも同じ結果が得られるはずである。それは読者の課題としよう( ´∀`)

電磁気学の中で力が議論される機会は限られていて、そう沢山は出てこない。

P.S

電位と電界（電場）の区別が付くまでこの種の演習は繰り替えすべきである。どうにも日本語だとどれも似たような第一印象を与えるのでよろしくない。電位スカラー、電界はベクトルというのも最初頭に入らない。座標を変数として実数値の電位量を返すのが電位関数の式であり、それの一次微分形式（勾配ベクトル）が電界であり、その値はベクトルであり、座標軸に接する単位ベクトル毎に成分が存在する。とかなんとか、いろいろ辻褄が合うように自分で再構成するしかない。電界も電場も元々は同じElectric Fieldが語源だが、異なる分野でそれぞれ訳語が定められたものでどちらも今日までその地位を互いに譲らない。